Was besagt das Abtasttheorem??

stell dir vor du hast ein Signal mit 1Hz

nach dem Abtasttheorem musst du das mit 2 Hz abtasten
also 2 werte pro Sekunde.

zeichne einen sinus mit 1 Hz.

dann zeichne die 2 "Abtastpunkte" auf(z.b einer bei 0.25 und einer bei 
0.75.

kannst du einen Sinus der langsamer ist (0-1Hz) so hineinlegen das
die gleichen werte herauskommen?

kannst du einen Sinus der schneller (1Hz und hoeher) ist so hineinlegen 
das die gleichen werte herauskommen?

Gruesse

Interessant wäre vielleicht mal Dells Hintergrund. Welche Ausbildung 
hast du? Was weißt du über:

- Transformationen in den Frequenzbereich
- Fourierentwicklung

Dein Signal mag zwar auf den ersten Blick aussehen, als hätte es eine 
Frequenz von 111Hz, weil es sich alle 9ms periodisch wiederholt. Genauer 
betrachtet, besteht es aber aus der Überlagerung von Sinussignalen (und 
für diese gilt das Abtasttheorem) mit weit höherer Frequenz 
(Oberwellen). Und genau diese Oberwellen mußt du auch nach dem 
Abtasttheorem mit Abtasten, um irgendwann dein Originalsignal halbwegs 
zu rekonstruieren.
Tastest du dein 111Hz-Signal mit >222Hz ab, kann bestenfalls ein Sinus 
mit deiner Grundfrequenz aus der Rekonstruktion rauskommen.

Falls dir das alles überhaupt nichts sagt und du trotzdem damit arbeiten 
mußt, empfehle ich dir ein Elektrotechnikstudium oder ähnliches.

Schönen Gruß
Boxi

Als Beispiel:

Du hast eine Sinusschwingung. Diese musst du abtasten, um später
aus den Abtastwerten die Schwingung wieder zu rekonstruieren.

Hier (Fig. 1) ist die Schwingung.

(Es folgen noch 3 Postings)

Jetzt (Fig. 2) tastest du die Schwingung ab und rekonstruierst
daraus die originale Sinusschwingung.

Da du relativ oft abtastest (hohe Abtastfrequenz), kannst du
den originalen Sinus relativ gut rekonstruieren. Auch die
Frequenz des rekonstuierten Signals stimmt noch immer mit
der Frequenz des Originalsignals überein.


Aufbau der Graphik:
Die originale Sinusschwingung liegt im Hintergrund. Die senkrechten
Linien symbolisieren die Zeitpunkte der Abtastung. Der jeweilige
Wert der Abtastung ist als kleines Rechteck an der Kurve
eingezeichnet. Die daraus resultierende Rekonstruktion ist
als etwas stärkere Linie über den originalen Sinus drübergelegt.

Jetzt machst du die Abtastfrequenz kleiner, sprich du erhöhst
das Abtastintervall. Die daraus rekonstuierte Schwingung ist
mit einiger Phantasie immer noch als der originale Sinus
zu erkennen. Die rekonstruierte Kurve ein bischen verschleifen
und du bist wieder ziemlich gut am Original. Auch die Frequenz
des rekonstruierten Signals stimmt noch mit der Frequenz
des Originalsignals überein.

Tja.
Bis dann irgendwann der Punkt kommt, und du mit der Abtastfrequenz
unter die Grenze fällst. Und dann passiert Seltsames: Das rekonstruierte
Signal sieht gar nicht so schlecht aus. Der Sinus ist noch so einiger-
massen zu erkennen. Aber: Die Frequenz! Das rekonstruierte Signal
hat frequenzmässig mit dem Original nicht mehr viel zu tun.

Wenn die Kurvenform nicht stimmt, wie in den beiden vorangegangenen
Beispielen, dann ist das zwar nicht optimal, aber so wild auch wieder
nicht. Ein Pfeifton bleibt immer noch ein Pfeifton. Er klingt zwar
ein bischen anders (weil die Kurvenform nicht stimmt) aber zb. das
menschliche Gehirn kommt mit solchen Verzerrungen ganz gut klar.
Im letzten Beispiel ist aber ganz was anderes passiert: Aus einem
hohen Ton ist plötzlich ein tiefer Ton geworden.

An Dell (Gast):

Ich glaube ich weiß was Dein Problem ist, ich versuche mal weitestgehend 
die Mathematik rauszuhalten. Du nimmst die Periode Deines Signals von 
Peakanfang zu Peakanfang, nimmst die doppelte Frequenz als 
Abtastfrequenz und die Abtastpunkte landen auf eine Art und Weise auf 
dem Signal das eine Rekonstruktion des Signals nicht möglich ist, da die 
Anordung der Abtastpunkte überhaupt nicht nach Deinem Signal aussieht.

Richtig ist die Abtastfrequenz muß mindestens doppelt (besser größer) so 
hoch sein wie die maximale Signalfrequenz. Um so höher die 
Abtastfrequenz um so genauer kann man das ursprüngliche Signal 
rekonstruieren.

Falsch ist es bei Deinem Signal den Zeitraum von Peakanfang zu 
Peakanfang als Periode anzunehmen. Denn die sich daraus ergebene 
Frequenz entspricht nicht der auftretenden maximalen Signalfrequenz.

Etwas Theorie: Periodische Signale, wie Dein Signal, werden durch die 
Addition von Sinus- und Cosinussignalen bestimmter Frequenzen und 
Amplituden erzeugt. Das nennt man Fouriersynthese. Mit dem umgekehrten 
Weg der Fourierananlyse kann man die Sinus- und Cosinusbestandteile 
eines Signals bestimmen. Es ergeben sich "mathematische Reihen" mit 
Sinus- und/oder Cosinussignalen als Summanden. Das letzte Glied dieser 
"Reihe" stellt die maximal auftretende Signalfrequenz dar. Mit wieviel 
Summanden man aber rechnet hängt von der geforderten Genauigkeit ab, die 
man in Abhängigkeit der Anwendung festlegen muß. Keine Angst! Als 
Praktiker gehe ich jetzt mal näherungsweise an die Sache ran.

Steile Anstiege und Sprünge in einem Signal verursachen die hohen 
Frequenzen bei den Sinus- und Cosinusfunktionen der Fourieranalyse 
(nennt man Oberwellen), nicht die Signalbereiche mit einer sich langsam 
ändernden Amplitude (siehe bei Dir die Pausen zwischen den Peaks).

Näherungsweise über den Daumen gepeilt würde ich erstmal die Dauer 
Deiner Peaks als halbe Periode annehmen (Annahme: Dreiecksfunktion(Dein 
Signal ohne Pausen) ähnlich dem Sinus), und damit meine Abtastfrequenz 
festlegen. Legst du theoretisch den Beginn der Signalperiode mit der 
Abtastperiode auf einen Punkt müßte ein Abtastpunkt auf der Peakspitze 
liegen und mehrere Abtastpunkte auf der Pause zwischen den Peaks. Die 
Abtastpunkte sollten so annäherend dein Signal approximieren (annäherend 
darstellen).

Praktisch ist es aber so das die Lage der Signalperiode zur 
Abtastperiode zufällig ist. Das heißt, es ist nicht garantiert das mit 
der doppelten Abtastfrequenz ein Abtastpunkt genau auf den Peakspitzen 
liegt. Egal wie hoch du die Abtastfrequenz festlegst, das wird in der 
Regel nie so sein. Die Abtastpunkte werden immer vor oder nach der 
Peakspitze liegen. Du mußt einfach den ungünstigsten Fall annehmen, daß 
die Abtastpunkte eine Abtastperiode vor oder nach der Peakspitze liegen. 
Dann mußt du die Abtastfrequenz soweit erhöhen, daß das Signal so genau 
reproduzierbar ist, wie das Deine Anwendung verlangt. Sollte dabei eine 
Abtastfrequenz rauskommen, die für Deine Rahmenbedinungen zu hoch ist, 
dann mußte Du Dir eine komplett andere Lösung für Dein Problem 
überlegen. Wäre nicht Schlecht wenn du zu Deiner Anwendung mehr sagen 
könntest, eventuell wäre eine andere Lösung sowieso besser. Im Hinblick 
auf eine genaue Reproduzierbarkeit deines Signals mit geringem Aufwand, 
ist Dein Signal ungünstig, da es kein sich kontinuierlich änderndes 
Signal ist (siehe Peakspitzen!!!). Durch diese Spitzen liegt die 
eigentliche maximale Signalfrequenz ziemlich hoch, nur wenn du hier auf 
Genauigkeit verzichten kannst, ist die Abtastung deines Signals mit 
geringem Aufwand möglich.

Wie andere schon erwähnt haben mußt du vorher das Signal über einen 
Tiefpaß mit der Abtastfrequenz als Grenzfrequenz schicken. Sonst kommt 
es zu einer Schwebung (langsame Änderung) Deines Signals (Stichwort 
Aliasing; kein stabiles Bild auf dem Oszilloskop). Das wird zwar Deine 
Peaks etwas "rundlutschen" :-), aber dieses rundgelutschte Signal sollte 
reproduzierbar sein.

Letztlich ist es zusätzlich zum Abtasttheorem alles eine Frage der 
notwendigen Genauigkeit, ob sich Dein Problem mit einem geringen Aufwand 
lösen läßt.

Tschau Sven!

> Wie andere schon erwähnt haben mußt du vorher das Signal über einen
> Tiefpaß mit der Abtastfrequenz als Grenzfrequenz schicken. Sonst kommt
> es zu einer Schwebung (langsame Änderung) Deines Signals (Stichwort
> Aliasing; kein stabiles Bild auf dem Oszilloskop). Das wird zwar Deine
> Peaks etwas "rundlutschen" :-), aber dieses rundgelutschte Signal sollte
> reproduzierbar sein.

Falsch! Grenzfrequenz des Tiefpasses sollte kleiner als die Hälfte der 
Abtastfrequenz sein, sonst verletzt du das Abtasttheorem!

türlich hab ich das gesagt!

An  Boxi Boxitec:
Du hast natürlich recht! Asche auf mein Haupt ;-).

An weis nix (Gast):
Prinzipiell hast auch du recht, ich will Dir auch nicht auf den Schlips 
treten. Aber wenn man versucht exakt zu formulieren, dann gilt das 
Abtasttheorem grundsätzlich bei jedem Signalverlauf. Bei einem Sinus 
kann man die maximale Signalfrequenz am Sinus selbst ablesen, bei einem 
allgemeinen periodischen Signalverlauf kann man über die Fourieranalyse 
oder digital mit Hilfe der Fast Fourier Transformation (FFT) mit 2^n 
Stützstellen die maximale Signalfrequenz ermitteln.

Es bleibt aber trotzdem das Problem mit wieviel Oberwellen rechne ich, 
wie genau kann/muß der reproduzierbare Signalverlauf sein. Für eine 
Dreiecksfunktion z.B. gilt (w=Omega):

Dreiecksfunktion:
y(t) = -(2y/T)t+y für 0<=t<=T/2 und
y(t) = (2y/T)-y für T/2<=t<=T

Fourier-Reihe:
y(t) = y/2 + 4y/pi^2 [ 1/1^2*cos(w0t) + 1/3^2*cos(3w0t) + 
1/5^2*cos(5w0t) + ...]

Letztlich muß man einen maximal zulässigen Fehler festlegen, und die 
maximale Differenz zwischen realem Signal und der Fourier-Reihe 
bestimmen. Wird der maximale Fehler eingehalten ok, ansonsten müssen 
weitere Summanden der Fourier-Reihe berücksichtigt werden.

An  Dell (Gast):
Aufgrund Deiner Frage am Anfang liegt die Vermutung sicher nahe, daß Du 
mit der Mathematik rund um die Fourieranalyse nicht vertraut bist. 
Erhöhe einfach die Abtastfrequenz und verändere entsprechend die 
Grenzfrequenz des Tiefpasses, soweit das Du mit der Genauigkeit der 
reproduzierbaren Funktion zufrieden bist (Achtung Abstand der 
Abtastpunkte zu Signalspitzen). Aber wie gesagt, zu hohe 
Genauigkeitsanforderungen können die technischen Möglichkeiten Deiner 
Schaltung sprengen.

Tschau Sven!

An  Dell (Gast):
Wenn Du nicht lange rechnen sondern das Problem messtechnisch lösen 
willst, könnte man mal folgende Schaltung ausprobieren.

Verwende einen ADU und DAU mit paralleler Schnittstelle und kopple diese 
beiden direkt (ADU Ausgänge auf DAU Eingänge). Schalte beide so, daß sie 
permanent Daten einlesen bzw. ausgeben. Die Taktleitungen schließe an 
einen Taktgenerator an. Überprüfe mit einem Oszilloskope das 
ursprüngliche (ADU Eingang) und das synthetisierte Signal (DAU Ausgang). 
Der DAU sollte in einem Intervall, das der Abtastperiode entspricht, 
neue Daten ausgeben.

Erhöhe die Frequenz des Taktgenerators bis Du mit der Darstellung des 
synthetisierten Signals zufrieden bist, aber nur soweit wie es unbedingt 
notwendig ist, sonst erhälst Du eine unnötig hohe Abtastfrequenz.

Dem Datenblatt des ADU müßte zu entnehmen sein, wie die Taktfrequenz in 
die Abtastfrequenz umzurechnen ist. Wenn Du diese Beziehung kennst, 
kannst du mit Hilfe der Taktgeneratorfrequenz die Abtastfrequenz 
berechnen.

Tschau Sven!

Weis nix hats voll getroffen! Glaub in diesem Punkt haperts bei vielen 
im Verständniss (war anfangs auch bei mir so...)