Hallo, ich werde in Mathe bald eine Prüfung schreiben. Mich interessiert deshalb, warum bei der Hauptachsnetransformation manchmal Eigenvektoren rauskommen, die nicht orthogonal sind und was das bedeutet. Muss man diese unbedingt orthogonalisieren? Was ist wenn alles 3 Eigenvektoren (in R³) nicht zueinander orthogonal sind, welchen nimmt man dann als Ausgangspunkt zum Orthogonalisieren?
ist bei mir schon länger her, aber in so nem Fall nimmst du glaub ich die Hauptvektoren 1. oder eventuell auch 2. Ordnung. Soweit ich weiss war das Problem, dass 2 Eigenvektoren in einer Ebene liegen könnten und somit nur einen 2-dimensionalen Raum aufspannen. Um dann trotzdem zu R³ zu kommen, nimmt man die HV´s. othogonal heisst übrigens: zu einander senkrecht. Korrigiert mich wenn ich mich täusche. Falls du noch mehr Infos brauchst schau ich nochmal in meinen Unterlagen
hab jetzt doch nochmal nachgesehen. Ich weiss nicht genau wie du es gelernt hast, aber ich denke ich war zu kompliziert dran. Du willst bei der Transformation eine Orthonormalbasis haben. Orthonormal hatte ich ja schon mit paarweise zu einander senkrecht erklärt. Dazu kommt noch dass die Vektoren die Einheitslänge 1 haben sollten. Die meisten Eigenvektoren erfüllen diese Eigenschaften noch nicht.
>Die meisten Eigenvektoren erfüllen diese Eigenschaften noch nicht.
aber was ist der Grund dafür?
meine Erklärung wird schwammig sein, weil ich es dir selber nicht genau sagen kann. Eigenvektoren sind einerseits ein mathematisches Konstrukt, nach der Regel f(v) = y*v. Es handelt sich also um Vektoren, wenn man auf die die Funktion f anwendet ein Vielfaches desselben Vektors herauskommt. Physikalisch gedeutet kriegt man damit die Hauptachsen. Zum Beispiel die Hauptträgheitsachsen eines Körpers oder auch die Hauptachsen einer Hyperfläche. Diese Hauptflächen müssen nicht notwendigerweise orthogonal sein, sprich das Berechnen der Eigenvektoren führt auf immer auf die Hauptachsen. Hat ein Körper keine orthgonalen Achsen, kommen auch keine orthogonalen Eigenvektoren raus. Man braucht allerdings zum rechnen eine orthogonale Basis. Das ist meine eigene Erklärung, kann dir nicht garantieren dass sie stimmt,weil das Thema Eigenvektoren sehr abstrakt ist
sind nicht alle Dreh-Hauptachsen orthogonal? Ok eine Kugel hätte unendlich viele Achsen um die sie ohne Deviationsmomente rotieren würde. Ein Würfel nicht mehr, der hat 3. Ausserdem je nach dem was man mit der Matrix kodiert, so muss man Eigenvektoren dann interpretieren. zB state space matrix, bei der dx_i's von x_i's abhängen, hier würde ein Eigenvektor einen Systemzustand Xq bedeuten, bei dem dx_i's quasi skalierten Xq Werten entsprechen, sodass die Anschliessende Summe zwar die Länge von Xq ändert, aber nicht seine Richtung. Daher fördert man zur Stabilität negative Eigenwerte. grüsse, daniel
Ein Wuerfel hat mehr als 3 Achsen, tut mir leid. Die 3 durch die Flaechenzentren sind klar. Es sind aber auch noch die Achsen durch die Koerperdiagonalen. Macht sechs Achsen. Eigenvektoren sind viel weniger abstarkt als angenommen. Bei einer Transformation kommt wieder dasselbe oder etwas aehnlich wie der Ausgangszustand raus.
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