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Forum: Offtopic lange ist her - Mathe Extremwertaufgabe -> kleinstes Rechteck in Dreieck mit rechten Winkel


Autor: Msp 430_crew (msp430_crew)
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Hallo Leute,
ich habe früher solche Aufgaben total gerne gerechnet. Nun wollte ich 
jemand beim Fachabi helfen. Leider tue ich mich total schwer mit dem 
Zusamenhang. Un nun wurmt mich das!

Die Aufgabe ist wie folgt:
In einem rechtwinkligen Dreieck, mit den Katheten H und B soll ein 
Rechteck so einbeschrieben werden, dass zwei Rechteckseiten auf den 
Katheten liegen und ein Eckpunkt des Rechtecks auf der Hypotenuse.

Bestimmen Sie das Rechteck mit dem kleinsten Umfang.

Tja alles klar dachte ich:
A-recht = a x b
A-drei = B X A / 2

Ja und nun? Ich weiß man muss gleichsetzen und dann auflösen. Wer kann 
mir hier mal interessenhalber ein paar Ansätze geben?
Vielleicht ist es auch einfach nur zu spät heute :-(

Gruß

Autor: crazy horse (Gast)
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Autor: mr.chip (Gast)
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1. Finde eine Formel für die Breite in Abhängigkeit der Höhe.
2. Setze dies in die Formel für den Umfang ein.
3. Leite die Formel nach der oben gewählten unabhängigen Variable ab. 
(In diesem Fall: Höhe)
4. Suche die Nullstellen, dort ist das Minimum bzw. Maximum, je nach 
dem.

Autor: Msp 430_crew (msp430_crew)
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Also
U-recht = 2a +2b
b = B-drei - X
a = H-drei - y

U-recht = 2(H-Y) +2(B-X)
U-recht = 2H ??

Ich schlaf jetzt erstmal drüber :-(

Autor: yalu (Gast)
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Naja, Ableiten leitet in diesem Fall wohl eher in eine Sckgasse ab ;-)

Autor: sdlmvtf (Gast)
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gabs nicht mehr informationen in der Angabe? Irgendwas fehlt doch noch. 
Sonnst kannst du ja sagen:

H=0
B=0
Umfang=0

Autor: Oliver D. (smasher)
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Ja, wie immer ;)


Haupt und nebenbedingung. Dann sinnvoll zusammen bringen bzw. eines 
ersetzen.

Dann hat man ne gleichung.

Die kann man ableiten.
Dann berechnet man die Nullstellen und bekommt die maxima bzw. minima.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Msp 430_crew wrote:
> Also
> U-recht = 2a +2b
> b = B-drei - X
> a = H-drei - y

Du brauchst eine Formel, die dir b in Abhängigkeit von a
ergibt.
Du benutzt dabei die Tatsache, dass einer der Punkte des
Rechtecks (nämlich der dessen Koordinaten a;b sind) auf
der Hypothenuse des Dreiecks laufen muss, wenn a variiert
wird.

Autor: tbd (Gast)
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Skizze:
          B_|                                             _|
            |                                        ____| |
            |                                   ____|      |
            |                              ____|           |
           b|-------------------------++++++++++++++++++++++
            |                    ____|+                    +
            |               ____|     +                    +
            |          ____|          +                    +
            |     ____|               +                    +
            |____|                    +                    +
            |_________________________++++++++++++++++++++++____
                                      a                     A
U = 2 * ( (A-a)+b )
b = (B/A)*a
U = 2 * ( (A-a)+((B/A)*a) )
U = 2 * ( A +(B/A -1)*a  )
U = 2A + (B/A -1)*2a  mit und 0<=B und A>B (entspricht Zeichnung)
gilt: U (immer >=0) ist minimal für (B/A-1)*2a=2A => a=A/(B/A-1)
damit:
Der minimale Umfang ist 2A.

Autor: yalu (Gast)
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> Der minimale Umfang ist 2A.

Das ist der maximale Umfang (für A>B). Der minimale ist 2B.

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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hm.

da kommt raus:

das rechteck ist ein quadrat. =>kleinster umfang.

Autor: Matthias Lipinsky (lippy)
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ih korrigiere mich:

u_min = 2 * MIN ( A,B )

Das rechteck hat somit eine Fläche von Null.

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