Hilfe zu Fourier-Transformation

Wo genau ist das Problem?

Scheitert es beim Zeichnen?

Einfach das Spektrum von dem Dreieck bestimmen und dann periodisch 
fortsetzen.
Wo genau ist dein Problem?

Diese Aufgabe wurde folgendermaßen gelöst: Siehe Dateianhang.

Wie kommt man auf die Gleichung:

X(w)=P(w)*(2*pi)/(6*T)*Summe dirac(w-n*(2*pi)/(6*T) usw.

Ich kann nicht nachvollziehen, wie man auf das X(w) kommt.

Wenn ich statt ein Dreieck ein Rechteck transformiere,dann erhalte ich 
folgende Werte:

n=0  P(n*wo)=9
n=1  P(n*wo)=0
n=2  P(n*wo)=0
n=3  P(n*wo)=9
n=4  P(n*wo)=0

[P(w)=3*cos(2*w*T)+3*cos(2*w*T)+3]

Ist dies eigentlich richtig?

[P(w)=3*cos(2*w*T)+3*cos(2*w*T)+3]

Die Gleichung stimmt nicht. Hier die korrigierte Version:

[P(w)=3*2*cos(2*w*T)+3*2*cos(2*w*T)+3]

Auch die Ergebnisse sind falsch. Hier sind die richtigen Ergebnisse:

n=0  P(n*wo)=15
n=1  P(n*wo)=3
n=2  P(n*wo)=3
n=3  P(n*wo)=3
n=4  P(n*wo)=3

Mit Matlab hab ich dies mal überprüft:

abs(fft([3,3,3,3,3],6))

ans =

    15     3     3     3     3     3

Ich bin immer noch an dem selben Punkt.
Ich weiss nicht wie man auf das X(w) kommt.

Wahrscheinlich kann mir hier keiner weiterhelfen. Ich finde die Aufgabe 
echt
heftig.

Heftig, ja? Was wäre, wenn du dein Skript vernünftig lesen würdest?
Du hast ein diskretes, periodisches Signal. Dessen Spektrum ist 
dementsprechend diskret und periodisch, dass heißt, dass die richtige 
Fourier-Transformation die DFS ist. Diese kannst du mittels DFT 
berechnen.
Die Länge einer Periode ist 6, das heißt:

$$X(k) = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n) \cdot e^{-j2\pi\frac{nk}{N}}$$

Berechnen muss man nur X(0) .. X(3):

f=0: X(0) = .3 + .2 + .1 + 0 + .1 + .2 = .9
f=1000*2/6: X(1) = .3*exp(-j*2*pi*0*1/6) + .2*exp(-j*2*pi*1*1/6) + ... = 
.4
X(2) = 0
X(3) = .1

Prüfung:

>> fft([.3 .2 .1 0 .1 .2])

ans =

    0.9000    0.4000   -0.0000    0.1000   -0.0000    0.4000

Hallo Stefan, deine angegebene Formel ist doch falsch.
X(\Omega) müsste doch so aussehen oder?

x[k] = p[k] * \sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[n-k \cdot 6]

X(\Omega) = P(\Omega) \cdot \frac{2\pi}{6*T} \sum^{\infty}_{k=-\infty} 
\delta(\Omega - \frac{2\pi k}{6*T})

Hallo Unit*, ich muss doch diese Formel verwenden:

X(k) = sum_{n=0}^{N-1}x(n) \cdot e^{-j2\pi\frac{nk}{N}}

-----------------------------------------------------------------------

Warum eigentlich nur X(0) .. X(3) verwenden?
Weil nach X(3) das ganze gespiegelt ist.

Weil du das Spektrum im Bereich 0 .. 500 Hz darstellen musst...
f = 0Hz                <-> X(0)
f = 1000*1/6 = 166.6Hz <-> X(1)
f = 1000*2/6 = 333.3Hz <-> X(2)
f = 1000*3/6 = 500Hz   <-> X(3)

> Warum eigentlich nur X(0) .. X(3) verwenden?
> Weil nach X(3) das ganze gespiegelt ist.

Hallo Stefan, deine angegebene Formel ist doch falsch.
X(w) müsste doch so aussehen oder?

[latex]
x[k] = p[k] * \sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[n-k \cdot 6]

X(\Omega) = P(\Omega) \cdot \frac{2\pi}{6*T} \sum^{\infty}_{k=-\infty}
\delta(\Omega - \frac{2\pi k}{6*T})
[/latex]

Hallo Unit*, ich muss doch diese Formel verwenden:

[latex]
X(k) = sum_{n=0}^{N-1}x(n) \cdot e^{-j2\pi\frac{nk}{N}}
[/latex]
-----------------------------------------------------------------------

Warum eigentlich nur X(0) .. X(3) verwenden?
Weil nach X(3) das ganze gespiegelt ist.

Wie kann man in diesem Forum eine LATEX Syntax einleiden?

Siehe Formatierung, benutze Vorschau.

Hallo Stefan, deine angegebene Formel ist doch falsch.
X(w) müsste doch so aussehen oder?

$$x[k] = p[k] * \sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[n-k \cdot 6] X(\Omega) = P(\Omega) \cdot \frac{2\pi}{6*T} \sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta(\Omega - \frac{2\pi k}{6*T})$$

Hallo Unit*, ich muss doch diese Formel verwenden:

$$X(k) = sum_{n=0}^{N-1}x(n) \cdot e^{-j2\pi\frac{nk}{N}}$$

-----------------------------------------------------------------------

Warum eigentlich nur X(0) .. X(3) verwenden?
Weil nach X(3) das ganze gespiegelt ist.

Hallo Stefan, deine angegebene Formel ist doch falsch.
X(w) müsste doch so aussehen oder?

$$x[k] = p[k] * \sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[n-k \cdot 6] X(\Omega) = P(\Omega) \cdot \frac{2\pi}{6*T} \sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta(\Omega - \frac{2\pi k}{6*T})$$

Hallo Unit*, ich muss doch diese Formel verwenden:

$$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1}x(n) \cdot e^{-j2\pi\frac{nk}{N}}$$

Hallo Stefan,

ok ja aber warum steht in der verschobenen DIRAC Funktion ein PLUS drin 
und nicht ein MINUS. Im Beitrag "Datum: 03.03.2008 12:17" habe ich ein 
Minus verwendet. Ist dies nun falsch oder richtig?

Wie kommt man von dem verschobenen DIRAC auf die e-Funktion 
multipliziert mit 1/T?

Ich hab ja von dem periodischen Signal x(t) das Spektrum X(w) ermittelt.
Kann ich nun mittels der IDFT das x(t) ermitteln?

Hallo Stefan,

ich hab zu dieser Aufgabe noch eine Sache, die mir unklar ist.

$$x[k] = p[k] * \sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[n-k \cdot 6 \cdot T]$$

$$X(\Omega) = P(\Omega) \cdot \frac{2\pi}{6\cdot T} \sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta(\Omega + \frac{2\pi k}{6\cdot T})$$

Die Variable "T" ist doch der Kehrwert der Abtastfrequenz fs.

In den folgenden Rechenschritte hab ich ein weiteres Problem.
Warum ist wo = 6T ?

$$wo=\frac{2pi}{T}$$

$$\sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[t-n \cdot 6 \cdot T] = \frac{1}{T}\sum^{\infty}_{n=-\infty} \delta[e^(jn\frac{2pi}{T}t)]$$

$$t=w \sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[w-n \cdot 6 \cdot \frac{2pi}{wo}] = \frac{wo}{2pi}\sum^{\infty}_{n=-\infty} \delta[e^(j\cdot n\cdot wo\cdot t)]$$

$$\sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[w-n \cdot 6 \cdot \frac{2pi}{6T}] = \frac{6T}{2pi}\sum^{\infty}_{n=-\infty} \delta[e^(j\cdot n\cdot 6\cdot t)]$$

Diesmal die korrekte Darstellung der Gleichungen:

$$wo=\frac{2pi}{T}$$

$$\sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[t-n \cdot 6 \cdot T] = \frac{1}{T}\sum^{\infty}_{n=-\infty} \delta[e^(jn\frac{2pi}{T}t)]$$

$$t=w$$

$$\sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[w-n \cdot 6 \cdot \frac{2pi}{wo}] = \frac{wo}{2pi}\sum^{\infty}_{n=-\infty} e^(j\cdot n\cdot wo\cdot t)$$

$$\sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[w-n \cdot 6 \cdot \frac{2pi}{6T}] = \frac{6T}{2pi}\sum^{\infty}_{n=-\infty} e^(j\cdot n\cdot 6\cdot t)$$