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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Hilfe zu Fourier-Transformation


Autor: Olli (Gast)
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Ich hab da ein Problem mit einer Aufgabe. Das Signal x(k) befindet sich 
im Dateianhang.

Bestimmen Sie die Fourier-Transformierte X(ω) von x(k).
Die Abtastfrequenz sei fs = 1 kHz. Zeichnen Sie die 
Fourier-Transformierte im Frequenzbereich 0 ≤ f ≤ 500Hz.

Autor: Alex (Gast)
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Wo genau ist das Problem?

Scheitert es beim Zeichnen?

Autor: Horst (Gast)
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Einfach das Spektrum von dem Dreieck bestimmen und dann periodisch 
fortsetzen.
Wo genau ist dein Problem?

Autor: Olli (Gast)
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Diese Aufgabe wurde folgendermaßen gelöst: Siehe Dateianhang.

Wie kommt man auf die Gleichung:

X(w)=P(w)*(2*pi)/(6*T)*Summe dirac(w-n*(2*pi)/(6*T) usw.

Autor: Olli (Gast)
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Ich kann nicht nachvollziehen, wie man auf das X(w) kommt.

Autor: Olli (Gast)
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Wenn ich statt ein Dreieck ein Rechteck transformiere,dann erhalte ich 
folgende Werte:

n=0  P(n*wo)=9
n=1  P(n*wo)=0
n=2  P(n*wo)=0
n=3  P(n*wo)=9
n=4  P(n*wo)=0

[P(w)=3*cos(2*w*T)+3*cos(2*w*T)+3]

Ist dies eigentlich richtig?

Autor: Olli (Gast)
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[P(w)=3*cos(2*w*T)+3*cos(2*w*T)+3]

Die Gleichung stimmt nicht. Hier die korrigierte Version:

[P(w)=3*2*cos(2*w*T)+3*2*cos(2*w*T)+3]

Auch die Ergebnisse sind falsch. Hier sind die richtigen Ergebnisse:

n=0  P(n*wo)=15
n=1  P(n*wo)=3
n=2  P(n*wo)=3
n=3  P(n*wo)=3
n=4  P(n*wo)=3

Mit Matlab hab ich dies mal überprüft:

abs(fft([3,3,3,3,3],6))

ans =

    15     3     3     3     3     3

Autor: Olli (Gast)
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Ich bin immer noch an dem selben Punkt.
Ich weiss nicht wie man auf das X(w) kommt.

Autor: Olli (Gast)
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Wahrscheinlich kann mir hier keiner weiterhelfen. Ich finde die Aufgabe 
echt
heftig.

Autor: Stefan Diewald (diewie)
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Wo ist dein Problem? Hier werden lediglich einige Regeln der ZDFT 
benutzt.

x[k] nimmst du als Dreieck von -3 bis 3 an (das wir mal p[k] nennen), 
das mittels Faltung mit Diracs um 6 verschoben wird.
Diesen Ausdruck kann man ohne weiteres direkt transformieren.

Faltung wird zur Multiplikation im Frequenzbereich.

Gruß,
Stefan

Autor: Unit* (Gast)
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Heftig, ja? Was wäre, wenn du dein Skript vernünftig lesen würdest?
Du hast ein diskretes, periodisches Signal. Dessen Spektrum ist 
dementsprechend diskret und periodisch, dass heißt, dass die richtige 
Fourier-Transformation die DFS ist. Diese kannst du mittels DFT 
berechnen.
Die Länge einer Periode ist 6, das heißt:

Berechnen muss man nur X(0) .. X(3):

f=0: X(0) = .3 + .2 + .1 + 0 + .1 + .2 = .9
f=1000*2/6: X(1) = .3*exp(-j*2*pi*0*1/6) + .2*exp(-j*2*pi*1*1/6) + ... = 
.4
X(2) = 0
X(3) = .1

Prüfung:

>> fft([.3 .2 .1 0 .1 .2])

ans =

    0.9000    0.4000   -0.0000    0.1000   -0.0000    0.4000

Autor: Olli (Gast)
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Hallo Stefan, deine angegebene Formel ist doch falsch.
X(\Omega) müsste doch so aussehen oder?

x[k] = p[k] * \sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[n-k \cdot 6]

X(\Omega) = P(\Omega) \cdot \frac{2\pi}{6*T} \sum^{\infty}_{k=-\infty} 
\delta(\Omega - \frac{2\pi k}{6*T})

Hallo Unit*, ich muss doch diese Formel verwenden:

X(k) = sum_{n=0}^{N-1}x(n) \cdot e^{-j2\pi\frac{nk}{N}}

-----------------------------------------------------------------------

Warum eigentlich nur X(0) .. X(3) verwenden?
Weil nach X(3) das ganze gespiegelt ist.

Autor: Unit* (Gast)
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Weil du das Spektrum im Bereich 0 .. 500 Hz darstellen musst...
f = 0Hz                <-> X(0)
f = 1000*1/6 = 166.6Hz <-> X(1)
f = 1000*2/6 = 333.3Hz <-> X(2)
f = 1000*3/6 = 500Hz   <-> X(3)

> Warum eigentlich nur X(0) .. X(3) verwenden?
> Weil nach X(3) das ganze gespiegelt ist.

Autor: Olli (Gast)
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Hallo Stefan, deine angegebene Formel ist doch falsch.
X(w) müsste doch so aussehen oder?

[latex]
x[k] = p[k] * \sum^{\infty}_{k=-\infty} \delta[n-k \cdot 6]

X(\Omega) = P(\Omega) \cdot \frac{2\pi}{6*T} \sum^{\infty}_{k=-\infty}
\delta(\Omega - \frac{2\pi k}{6*T})
[/latex]

Hallo Unit*, ich muss doch diese Formel verwenden:

[latex]
X(k) = sum_{n=0}^{N-1}x(n) \cdot e^{-j2\pi\frac{nk}{N}}
[/latex]
-----------------------------------------------------------------------

Warum eigentlich nur X(0) .. X(3) verwenden?
Weil nach X(3) das ganze gespiegelt ist.

Autor: Olli (Gast)
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Wie kann man in diesem Forum eine LATEX Syntax einleiden?

Autor: Unit* (Gast)
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Siehe Formatierung, benutze Vorschau.

Autor: Olli (Gast)
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Hallo Stefan, deine angegebene Formel ist doch falsch.
X(w) müsste doch so aussehen oder?

Hallo Unit*, ich muss doch diese Formel verwenden:
-----------------------------------------------------------------------

Warum eigentlich nur X(0) .. X(3) verwenden?
Weil nach X(3) das ganze gespiegelt ist.

Autor: Olli (Gast)
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Hallo Stefan, deine angegebene Formel ist doch falsch.
X(w) müsste doch so aussehen oder?

Hallo Unit*, ich muss doch diese Formel verwenden:

Autor: Stefan Diewald (diewie)
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Hi,

ja ich habe halt zeitnormiert gerechnet. Natürlich musst du in deinem 
Fall das T zu den 6 mit dazunehmen, da man es später braucht. Aber an 
der Formel ändert sich dadurch nichts. Das findest du in jeder 
ZDFT-Tabelle.

Das p[k] kannst du in diesem einfachen Fall einfach als Summe von fünf 
verschobenen Diracs mit der dementsprechenden "Höhe" betrachten. Danach 
kannst du diese porblemlos transformieren und siehst auf Anhieb den 
Cosinus.

Gruß,
Stefan

Autor: Olli (Gast)
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Hallo Stefan,

ok ja aber warum steht in der verschobenen DIRAC Funktion ein PLUS drin 
und nicht ein MINUS. Im Beitrag "Datum: 03.03.2008 12:17" habe ich ein 
Minus verwendet. Ist dies nun falsch oder richtig?

Autor: Stefan Diewald (diewie)
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Es ist völlig egal, ob du den Dirac von -Unendlich bis +Unendlich 
verschiebst, oder wie bei mir halt anders herum. In diesem Falle ist das 
gleichbedeutend.

Autor: Olli (Gast)
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Wie kommt man von dem verschobenen DIRAC auf die e-Funktion 
multipliziert mit 1/T?

Autor: Olli (Gast)
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Ich hab ja von dem periodischen Signal x(t) das Spektrum X(w) ermittelt.
Kann ich nun mittels der IDFT das x(t) ermitteln?

Autor: Olli (Gast)
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Hallo Stefan,

ich hab zu dieser Aufgabe noch eine Sache, die mir unklar ist.

Die Variable "T" ist doch der Kehrwert der Abtastfrequenz fs.

In den folgenden Rechenschritte hab ich ein weiteres Problem.
Warum ist wo = 6T ?

  

Autor: Olli (Gast)
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Diesmal die korrekte Darstellung der Gleichungen:

  

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