mikrocontroller.net

Forum: Offtopic Die Ziege gegen den Rest der Welt


Autor: Kai G. (runtimeterror)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Man stelle sich eine kreisrunde Grasfläche vor, wie sie nunmal in der 
Natur überall vorkommt. In den Rand der Grasfläche wird ein Pflock 
gehauen. An diesen Pflock bindet man eine handelsübliche Ziege.

Wie lang muss das Seil sein, damit die Ziege exakt die halbe Grasfläche 
abgrasen kann?

(punktförmige Ziege im Vakuum mit ausreichend Hunger)

---

Dieses Problem belegt nunmehr seit gut 10 Jahren Speicherplatz in meinem 
Hirn. Eine Näherung der Lösung ist kein Problem. Vielleicht findet sich 
ja unter euch jemand mit genug Kreativität und Geometriekenntnissen um 
das Problem zu lösen - Ansätze gibt's auf jeden Fall genug.

Für alle, die sich unter-/überfordert fühlen habe ich noch ein paar 
davon in petto.

Autor: Bernd G. (Firma: LWL flex SSI) (berndg)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Wie soll das Seil um den Pflock gewickelt werden? Hieraus ergeben sich 
dann zwei Fälle:

1. Windungen nebeneinander
2. Windungen übereineinder

Halslänge der Zicke muß auch berücksichtigt werden.

Nichttrivial :-(

Autor: Gast (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Durchmesser des Pflocks geht dann auch ein.

Gast

Autor: Sven P. (haku) Benutzerseite
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
> Halslänge der Zicke muß auch berücksichtigt werden.

Ne, die Ziege is ja punktförmig...

Autor: Kai G. (runtimeterror)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Warum habe ich mit so einer Antwort nur gerechnet?! ;)

Autor: Besserwisser (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Warum habe ich mit so einer Antwort nur gerechnet?! ;)

Weil erster Aprill ist?

Autor: Sven P. (haku) Benutzerseite
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Kai Giebeler wrote:
> Warum habe ich mit so einer Antwort nur gerechnet?! ;)

Weil du so ein schlauer Typ bist?

Autor: Bernd G. (Firma: LWL flex SSI) (berndg)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Ja, punktförmig...

Es geht also im wesentlichen um die Fläche von Spiralwindungen mit 
ungleichmäßiger Steigung (wenn die Windungen nebeneinander liegen 
sollen).

Die Steigung der Spirale vergrößert sich, wenn das Seil von einer zu 
definierenden Höhe abwärts gewickelt wird. Wenn das Seil aufwärts 
gewickelt
wird, verringert sich die Steigung der Spirale.

Steigung bedeutet hierbei Breite der Spiralbahn nach 360° Umlauf.

Blöderweise geschieht die Seilaufwiclung auch noch tangential.

Autor: Bernd G. (Firma: LWL flex SSI) (berndg)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Es sei denn, daß das Seil einen Durchmesser von Null habe, was gut zu 
einer punktförmigen Ziege passen würde. Wenn der Pflock dann auch noch 
den Durchmesser Null hat...

Autor: Sebastian (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Das verstehe ich nicht ganz. Die Ziege erreicht ihren maximalen 
Aktionsradius bei abgewickeltem Seil. Und nur dieser ist bei der Lösung 
relevant, oder?

Autor: Micro Mann (micromann)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Sehe ich auch so. Steht nirgends, dass das abgrasen in spiralform 
geschehen muss. Die punktförmige Ziege kann also rumlaufen, wie es 
passt.

Autor: Bernd G. (Firma: LWL flex SSI) (berndg)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Außerdem sind handelsübliche Ziegen nicht punktförmig!

Autor: Bernd G. (Firma: LWL flex SSI) (berndg)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Ist richtig, Spirale ist Quatsch!

Autor: Micro Mann (micromann)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Also ich hab r=(A/pi)^(1/2) raus.

Autor: Bernd G. (Firma: LWL flex SSI) (berndg)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Ich auch, wenn der Pflock wie die Zicke punktförmig ist.

Autor: Kai G. (runtimeterror)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Um mal ein paar Missverständnisse auszuräumen:
Grasfläche G: (x - r)² + y² <= r²
Einzugbereich E: x² + y ² <= s²
r: Radius der Kreisfläche
s: Seillänge

Gesucht ist s in Abhängigkeit von r, so dass die Schnittfläche von G 
und E gleich /0,5 * G/ ist.

@ Micro Mann
>Also ich hab r=(A/pi)^(1/2) raus.
Hmm... kannst du das begründen?

Autor: Bernd G. (Firma: LWL flex SSI) (berndg)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Wir leiden unter dem Zwang der Verkomplizierung.

Autor: Micro Mann (micromann)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Du setzt für mein A = Ursprungsfläche durch 2 ein, und der Radius ist 
die daraus resultierende Seillänge.
Ist die einfache Flächenformel für den Kreis.

Autor: Detlef _a (detlef_a)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert

Autor: Micro Mann (micromann)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
> In den Rand der Grasfläche wird ein Pflock

ok. hab ich überlesen. Meine (punktförmige) Ziege ist im Zentrum der 
Grasfläche festgepflockt.

Aber Detlef hat ja schon die Lösung gepostet.

Autor: Kai G. (runtimeterror)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
>Ist die einfache Flächenformel für den Kreis.

Funktioniert aber nur, wenn der Einzugsbereich der Ziege vollständig 
innerhalb der Grasfläche liegt. Da sich der Pflock aber am Rand der 
Grasfläche befindet muss das Seil deutlich länger sein.

Es gilt r/2 < s < r.
Die Lösung müsste die Form s = w * r haben.

Ich schau mal, ob ich heute Abend nochmal die Näherung durchrechne, 
damit man eine Probe machen kann.

Autor: Micro Mann (micromann)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Ich war schneller ;-)

Autor: Bernd G. (Firma: LWL flex SSI) (berndg)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Echt peinlich für mich.

Autor: Kai G. (runtimeterror)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
> Ich war schneller ;-)

pöh :)

> Aber Detlef hat ja schon die Lösung gepostet.
Hmm... ich werde spontan aus dem Dokument nicht schlau - für mich sieht 
das auch nach einer Näherung aus. Ich schau mir das aber heute Abend 
noch mal in Ruhe an.

> Es gilt r/2 < s < r.
Blödsinn: Es gilt r < s < 2*r.

Autor: Kai G. (runtimeterror)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
>Hmm... ich werde spontan aus dem Dokument nicht schlau - für mich sieht
>das auch nach einer Näherung aus. Ich schau mir das aber heute Abend
>noch mal in Ruhe an.

Oh... jetzt bietet der mir ein anderes Dokument an... bin dann mal 
lesen...

Autor: tex (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Ich liebe Aufgaben die einen so praxisnahen Bezug aufweisen.
- Errechnen Sie den Bruch aus dem die Zahl 1,3682431 hervorgegangen ist 
...
- Berechnen Sie das Bauteil das die Doppelklick-Funktion einer Maus 
emuliert.

http://www.netzmafia.de/service/mathe.pdf

Autor: Kai G. (runtimeterror)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
"Anzumerken ist, dass in keinem Fall die Lösung auf analytischem Wege 
erzielt wird, sondern es letzlich auf Nullstellenbestimmung einer 
transzendenten Funktion hinauslief.

An dieser Stelle möchte ich jeden Interessierten dazu ermuntern, nach 
weiteren Lösungswegen zu suchen!"

Tjoa... wie ich schon sagte "Eine Näherung der Lösung ist kein Problem."

Autor: yalu (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Das Verhältnis u=s/r von Seillänge s zu Grasflächenradius r ergibt
sich aus der Gleichung

Diese ist nicht geschlossen lösbar, da das u sowohl einzeln als auch
als Argument der arccos-Funktion auftritt. Die Lösung ist ungefähr die
von Detlef _a gepostete, also 1.158728..., wobei Detlefs Lösung ab der
7. Nachkommastelle fehlerhaft zu sein scheint. Ich müsste das aber
noch einmal nachrechnen.

> An dieser Stelle möchte ich jeden Interessierten dazu ermuntern,
> nach weiteren Lösungswegen zu suchen!"

Ich sehe nicht, dass sich die obige Gleichung so vereinfachen lässt,
dass man die Lösung u nur unter Verwendung von Grundrechenarten,
Wurzeln, Potenzen, logarithmischen und trigonometrischen Funktionen
sowie deren Umkehrfunktionen ausdrücken lässt. Möglicherweise gibt es
eine geschlossene Lösung, wenn man zusätzlich die Umkehrfunktion der
Involut-Funktion (inv(x) = tan(x)-x) zulässt.

Autor: Random ... (thorstendb) Benutzerseite
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
au backe ...

Autor: tex (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
>> "Anzumerken ist, dass in keinem Fall die Lösung auf analytischem Wege
erzielt wird, sondern es letzlich auf Nullstellenbestimmung einer
transzendenten Funktion hinauslief.

Das Volumen das es zu halbieren gilt ist bekannt . Ebenso der Radius r 
Radius 2 (Ziegenstrick) ist größer als Radius 1. Die einzigen konstanten 
Punkte sind die beiden Mittelpunkte. Und so ist die Lösung auch nicht 
schwer, denn V/2 soll gleich sein r1^2/2(((a1*pi)/180)sin(a1)) + 
r2^2/2(((a2*pi)/180)sin(a2)). Malt man sich diesen Scheiss nun auf, 
springt ins Auge das das Kernstück um das es sich dreht, nix anderes als 
die Volumen von 4 Kreissegmenten und 4 Dreiecken sind, deren Kante alle 
voneinander abhängig sind. Also die Dreiecksflächenformeln alle 
ineinanderkopiert, hinten dran die davon abhängigen Kreissegmentvolumen, 
gleichgesetzt zu V/2 wobei V/2 auch wieder auf (pi/2*r^2)/2 (fällt schon 
was auf?) gebracht wird, dann r rauskürzen, was bei dem Konstrukt von 
Formel ein ekeliger Dreck ist, und siehe, alles was zurück bleibt ist 
ein blöder Dezimalbruch, weil sich alle r, pi ... rauskürzen.  Geistige 
Mastrubation für Grenzperverse ...

Autor: Bobby (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Mich ficht da alles nicht an!

Weder habe ich einen kreisförmigen Rasen noch
kenne ich jemanden mit einem solchen.

Das Problem als solches sehe ich aber sogar
bei beliebigen Flächen. Pragmatischerweise würde
ich jedoch dem Try-and-Error Prinzip den Vorzug
geben, denn jede noch so exakte Lösung scheitert
unweigerlich, wenn ein Grashalm an der Grenzlinie
in die andere Richtung kippt...

Alleh hopp !!

Autor: yalu (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Hab's noch einmal numerisch nachgerechnet, hier ist eine etwas
genauere Näherung:

  u = 1.1587284730181...

Ich würde vorschlagen, wir definieren die Lösung der obigen  Gleichung
im Intervall [0,2] als neue mathematische Grundkonstante u (u wie
u_nglaublich wichtig) oder z (z wie Z_iegsche Konstante). Damit hätten
wir die gewünschte geschlossene Lösung ;-)

Autor: Dirk J. (dirk-cebu)
Datum:
Angehängte Dateien:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Meine Ziege ist nicht punktförmig!

Autor: Kai G. (runtimeterror)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Wenn ich micht recht erinnere ist das im R³ recht einfach lösbar 
(Graskugel und fliegende Ziege). Den Rückschluss auf die R²-Variante 
habe ich allerdings nicht geschafft.

@tex
Ist das jetzt ein ernstgemeinter Lösungsvorschlag?

@yalu
>Diese ist nicht geschlossen lösbar, da das u sowohl einzeln als auch
>als Argument der arccos-Funktion auftritt.

Je nachdem mit welchem Ansatz man das zu lösen versucht, bekommt man 
einen anderen Term als Ergebnis raus. Die Hoffnung ist nun, dass es eine 
Variante gibt, bei der man gegen Ende gar nicht erst auf so einen 
hässlichen Term trifft.

@ Dirk J.
>Meine Ziege ist nicht punktförmig!
Bestimmt eine Züchtung...

Autor: jl (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
wenn ich den Aufhängepunkt "am Rand der Scheibe" nochmals aufgreifen 
darf, so ergibt sich keine Lösung.

Da Ziegen, wie alle anderen Lebewesen, immer von dem Angezogen werden 
was nicht im Einzugsgebiet befindet, läuft sie immer am sich ergebenden 
Kreis entlang bis sie vom Rand der Welt (Scheibe) herunterfällt.

Somit ist die Aufgabe nicht lösbar.

Autor: SiO2 (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Leute, geht doch erstmal beim Bauern guggn ;) . Ihr geht davon aus, daß 
das Seil sich aufwickelt. Aber es muss nicht so sein, unsere Schafe 
waren an Pflöcken angepflockt die die Kette nicht aufwickelten, wenn sie 
drumherrum gehen.

Autor: yalu (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
> Je nachdem mit welchem Ansatz man das zu lösen versucht, bekommt man
> einen anderen Term als Ergebnis raus. Die Hoffnung ist nun, dass es
> eine Variante gibt, bei der man gegen Ende gar nicht erst auf so
> einen hässlichen Term trifft.

Diese Terme müssten aber, wenn man richtig gerechnet hat, alle
äquivalent, d.h. durch die üblichen Umformregeln ineinander
überführbar sein. Die obige Gleichung ist aber so einfach, dass man
sofort sehen kann, dass eine Umformung in eine geschlossen lösbare
Gleichung nicht möglich ist.

Anders verhielte es sich, wenn u in den Argumenten mehrerer
Arcusfunktionen auftauchen würde. Dann könnte man hoffen, dass sich
ein Subterm, der alle diese Arcusfunktionen, aber keine weiteres us
enthält, sich als von u unabhängig herausstellt. Aber im gegebenen
Beispiel gibt's da nicht viel umzuformen.

Autor: Kai G. (runtimeterror)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
>Diese Terme müssten aber, wenn man richtig gerechnet hat, alle
>äquivalent, d.h. durch die üblichen Umformregeln ineinander
>überführbar sein.

Bei gemischt trigonometrischen Funktionen weiß ich nie, ob es nicht doch 
eine Substitution gibt, mit der das Ganze dann lösbar wird. Bei der 
Integration durch Substitution z.B. sind die Umformungen ja auch häufig 
nicht gerade offensichtlich.

Mittlerweile gehe ich aber auch davon aus, dass es keine analytische 
Lösung gibt, wobei mir auch dafür ein Beweis fehlt - die Hoffnung stirbt 
ja zuletzt.

Autor: tastendrücker (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Diese Aufgabe habe ich schon vor 15++ Jahren meinem Mathe- und anderen 
Profs gestellt und keine Lösung erhalten. Einer erzählte etwas von 
"...muss man mit Doppelintegralen lösen..."

Autor: Kai G. (runtimeterror)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Die Aufgabe ist auch von meinem ehemaligen Mathelehrer von vor gut 10 
Jahren.

Irgendwer meint, dass man das Integral über Kreissegmente bilden sollte 
(also nicht unendlich dünne Rechtecke sondern unendlich dünne 
Kreissegmente aufaddieren). Ich bin damit auch relativ schnell an einen 
sehr kompakten Term gekommen, der dann aber auch nicht mit den üblichen 
Mitteln auflösbar war :/

Autor: gerd (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Lösung müsste jeder herausbekommen, der in Klasse 11 und 12 aufgepasst 
hat:
1/4 Kreisfläche=Integral(sqrt(r²-x²)) -> Umstellung ist Fleißarbeit -> 
jedoch lässt sich x nicht nur auf eine Seite des Gleichheitszeichens 
umstellen, was aber rekursiv lösbar ist. Lösungen für konvergente und 
divergente Iterationen sind auf meiner Seite 
http://freenet-homepage.de/gerdlamprecht/Roemisch_... 
oder http://gerdlamprecht.kilu.de/Roemisch_JAVA.htm#Ite... 
nachvollziehbar. Den Faktor habe ich dort mal mit >130 Stellen angegeben 
-> reicht das für die Skeptiker, die behaupten, dass es keine Lösung 
gebe? 
1.158728473018121517828233509933509149688292266492096511820695884820669. 
..

Autor: Johannes S. (demofreak)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Und dafür hast du ein ganzes Jahr gebraucht? :D

/Hannes

Autor: Kai G. (runtimeterror)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert
Was unterscheidet deine Näherung von den zuvor geposteten?

>-> reicht das für die Skeptiker, die behaupten, dass es keine Lösung
>gebe?

Es wurde nie behauptet, dass es keine Lösung gäbe - auch eine Näherung 
ist eine Lösung. Das war aber nicht gesucht.

Autor: hans (Gast)
Datum:

Bewertung
0 lesenswert
nicht lesenswert

Bitte melde dich an um einen Beitrag zu schreiben. Anmeldung ist kostenlos und dauert nur eine Minute.
Bestehender Account
Schon ein Account bei Google/GoogleMail, Yahoo oder Facebook? Keine Anmeldung erforderlich!
Mit Google-Account einloggen | Mit Facebook-Account einloggen
Noch kein Account? Hier anmelden.