Man stelle sich eine kreisrunde Grasfläche vor, wie sie nunmal in der Natur überall vorkommt. In den Rand der Grasfläche wird ein Pflock gehauen. An diesen Pflock bindet man eine handelsübliche Ziege. Wie lang muss das Seil sein, damit die Ziege exakt die halbe Grasfläche abgrasen kann? (punktförmige Ziege im Vakuum mit ausreichend Hunger) --- Dieses Problem belegt nunmehr seit gut 10 Jahren Speicherplatz in meinem Hirn. Eine Näherung der Lösung ist kein Problem. Vielleicht findet sich ja unter euch jemand mit genug Kreativität und Geometriekenntnissen um das Problem zu lösen - Ansätze gibt's auf jeden Fall genug. Für alle, die sich unter-/überfordert fühlen habe ich noch ein paar davon in petto.
Wie soll das Seil um den Pflock gewickelt werden? Hieraus ergeben sich dann zwei Fälle: 1. Windungen nebeneinander 2. Windungen übereineinder Halslänge der Zicke muß auch berücksichtigt werden. Nichttrivial :-(
> Halslänge der Zicke muß auch berücksichtigt werden.
Ne, die Ziege is ja punktförmig...
Warum habe ich mit so einer Antwort nur gerechnet?! ;) Weil erster Aprill ist?
Kai Giebeler wrote:
> Warum habe ich mit so einer Antwort nur gerechnet?! ;)
Weil du so ein schlauer Typ bist?
Ja, punktförmig... Es geht also im wesentlichen um die Fläche von Spiralwindungen mit ungleichmäßiger Steigung (wenn die Windungen nebeneinander liegen sollen). Die Steigung der Spirale vergrößert sich, wenn das Seil von einer zu definierenden Höhe abwärts gewickelt wird. Wenn das Seil aufwärts gewickelt wird, verringert sich die Steigung der Spirale. Steigung bedeutet hierbei Breite der Spiralbahn nach 360° Umlauf. Blöderweise geschieht die Seilaufwiclung auch noch tangential.
Es sei denn, daß das Seil einen Durchmesser von Null habe, was gut zu einer punktförmigen Ziege passen würde. Wenn der Pflock dann auch noch den Durchmesser Null hat...
Das verstehe ich nicht ganz. Die Ziege erreicht ihren maximalen Aktionsradius bei abgewickeltem Seil. Und nur dieser ist bei der Lösung relevant, oder?
Sehe ich auch so. Steht nirgends, dass das abgrasen in spiralform geschehen muss. Die punktförmige Ziege kann also rumlaufen, wie es passt.
Um mal ein paar Missverständnisse auszuräumen:
Grasfläche G: (x - r)² + y² <= r²
Einzugbereich E: x² + y ² <= s²
r: Radius der Kreisfläche
s: Seillänge
Gesucht ist s in Abhängigkeit von r, so dass die Schnittfläche von G
und E gleich /0,5 * G/ ist.
@ Micro Mann
>Also ich hab r=(A/pi)^(1/2) raus.
Hmm... kannst du das begründen?
Du setzt für mein A = Ursprungsfläche durch 2 ein, und der Radius ist die daraus resultierende Seillänge. Ist die einfache Flächenformel für den Kreis.
1.1587282587220595 http://matheplanet.com/default3.html?call=dl.php?id=17&1139827476&ref=http%3A%2F%2Fde.answers.yahoo.com%2Fquestion%2Findex%3Fqid%3D20080124132358AA1fHi7 Cheers Detlef
> In den Rand der Grasfläche wird ein Pflock
ok. hab ich überlesen. Meine (punktförmige) Ziege ist im Zentrum der
Grasfläche festgepflockt.
Aber Detlef hat ja schon die Lösung gepostet.
>Ist die einfache Flächenformel für den Kreis.
Funktioniert aber nur, wenn der Einzugsbereich der Ziege vollständig
innerhalb der Grasfläche liegt. Da sich der Pflock aber am Rand der
Grasfläche befindet muss das Seil deutlich länger sein.
Es gilt r/2 < s < r.
Die Lösung müsste die Form s = w * r haben.
Ich schau mal, ob ich heute Abend nochmal die Näherung durchrechne,
damit man eine Probe machen kann.
> Ich war schneller ;-) pöh :) > Aber Detlef hat ja schon die Lösung gepostet. Hmm... ich werde spontan aus dem Dokument nicht schlau - für mich sieht das auch nach einer Näherung aus. Ich schau mir das aber heute Abend noch mal in Ruhe an. > Es gilt r/2 < s < r. Blödsinn: Es gilt r < s < 2*r.
>Hmm... ich werde spontan aus dem Dokument nicht schlau - für mich sieht >das auch nach einer Näherung aus. Ich schau mir das aber heute Abend >noch mal in Ruhe an. Oh... jetzt bietet der mir ein anderes Dokument an... bin dann mal lesen...
Ich liebe Aufgaben die einen so praxisnahen Bezug aufweisen. - Errechnen Sie den Bruch aus dem die Zahl 1,3682431 hervorgegangen ist ... - Berechnen Sie das Bauteil das die Doppelklick-Funktion einer Maus emuliert. http://www.netzmafia.de/service/mathe.pdf
"Anzumerken ist, dass in keinem Fall die Lösung auf analytischem Wege erzielt wird, sondern es letzlich auf Nullstellenbestimmung einer transzendenten Funktion hinauslief. An dieser Stelle möchte ich jeden Interessierten dazu ermuntern, nach weiteren Lösungswegen zu suchen!" Tjoa... wie ich schon sagte "Eine Näherung der Lösung ist kein Problem."
Das Verhältnis u=s/r von Seillänge s zu Grasflächenradius r ergibt sich aus der Gleichung
Diese ist nicht geschlossen lösbar, da das u sowohl einzeln als auch als Argument der arccos-Funktion auftritt. Die Lösung ist ungefähr die von Detlef _a gepostete, also 1.158728..., wobei Detlefs Lösung ab der 7. Nachkommastelle fehlerhaft zu sein scheint. Ich müsste das aber noch einmal nachrechnen. > An dieser Stelle möchte ich jeden Interessierten dazu ermuntern, > nach weiteren Lösungswegen zu suchen!" Ich sehe nicht, dass sich die obige Gleichung so vereinfachen lässt, dass man die Lösung u nur unter Verwendung von Grundrechenarten, Wurzeln, Potenzen, logarithmischen und trigonometrischen Funktionen sowie deren Umkehrfunktionen ausdrücken lässt. Möglicherweise gibt es eine geschlossene Lösung, wenn man zusätzlich die Umkehrfunktion der Involut-Funktion (inv(x) = tan(x)-x) zulässt.
>> "Anzumerken ist, dass in keinem Fall die Lösung auf analytischem Wege
erzielt wird, sondern es letzlich auf Nullstellenbestimmung einer
transzendenten Funktion hinauslief.
Das Volumen das es zu halbieren gilt ist bekannt . Ebenso der Radius r
Radius 2 (Ziegenstrick) ist größer als Radius 1. Die einzigen konstanten
Punkte sind die beiden Mittelpunkte. Und so ist die Lösung auch nicht
schwer, denn V/2 soll gleich sein r1^2/2(((a1*pi)/180)sin(a1)) +
r2^2/2(((a2*pi)/180)sin(a2)). Malt man sich diesen Scheiss nun auf,
springt ins Auge das das Kernstück um das es sich dreht, nix anderes als
die Volumen von 4 Kreissegmenten und 4 Dreiecken sind, deren Kante alle
voneinander abhängig sind. Also die Dreiecksflächenformeln alle
ineinanderkopiert, hinten dran die davon abhängigen Kreissegmentvolumen,
gleichgesetzt zu V/2 wobei V/2 auch wieder auf (pi/2*r^2)/2 (fällt schon
was auf?) gebracht wird, dann r rauskürzen, was bei dem Konstrukt von
Formel ein ekeliger Dreck ist, und siehe, alles was zurück bleibt ist
ein blöder Dezimalbruch, weil sich alle r, pi ... rauskürzen. Geistige
Mastrubation für Grenzperverse ...
Mich ficht da alles nicht an! Weder habe ich einen kreisförmigen Rasen noch kenne ich jemanden mit einem solchen. Das Problem als solches sehe ich aber sogar bei beliebigen Flächen. Pragmatischerweise würde ich jedoch dem Try-and-Error Prinzip den Vorzug geben, denn jede noch so exakte Lösung scheitert unweigerlich, wenn ein Grashalm an der Grenzlinie in die andere Richtung kippt... Alleh hopp !!
Hab's noch einmal numerisch nachgerechnet, hier ist eine etwas genauere Näherung: u = 1.1587284730181... Ich würde vorschlagen, wir definieren die Lösung der obigen Gleichung im Intervall [0,2] als neue mathematische Grundkonstante u (u wie u_nglaublich wichtig) oder z (z wie Z_iegsche Konstante). Damit hätten wir die gewünschte geschlossene Lösung ;-)
Wenn ich micht recht erinnere ist das im R³ recht einfach lösbar (Graskugel und fliegende Ziege). Den Rückschluss auf die R²-Variante habe ich allerdings nicht geschafft. @tex Ist das jetzt ein ernstgemeinter Lösungsvorschlag? @yalu >Diese ist nicht geschlossen lösbar, da das u sowohl einzeln als auch >als Argument der arccos-Funktion auftritt. Je nachdem mit welchem Ansatz man das zu lösen versucht, bekommt man einen anderen Term als Ergebnis raus. Die Hoffnung ist nun, dass es eine Variante gibt, bei der man gegen Ende gar nicht erst auf so einen hässlichen Term trifft. @ Dirk J. >Meine Ziege ist nicht punktförmig! Bestimmt eine Züchtung...
wenn ich den Aufhängepunkt "am Rand der Scheibe" nochmals aufgreifen darf, so ergibt sich keine Lösung. Da Ziegen, wie alle anderen Lebewesen, immer von dem Angezogen werden was nicht im Einzugsgebiet befindet, läuft sie immer am sich ergebenden Kreis entlang bis sie vom Rand der Welt (Scheibe) herunterfällt. Somit ist die Aufgabe nicht lösbar.
Leute, geht doch erstmal beim Bauern guggn ;) . Ihr geht davon aus, daß das Seil sich aufwickelt. Aber es muss nicht so sein, unsere Schafe waren an Pflöcken angepflockt die die Kette nicht aufwickelten, wenn sie drumherrum gehen.
> Je nachdem mit welchem Ansatz man das zu lösen versucht, bekommt man > einen anderen Term als Ergebnis raus. Die Hoffnung ist nun, dass es > eine Variante gibt, bei der man gegen Ende gar nicht erst auf so > einen hässlichen Term trifft. Diese Terme müssten aber, wenn man richtig gerechnet hat, alle äquivalent, d.h. durch die üblichen Umformregeln ineinander überführbar sein. Die obige Gleichung ist aber so einfach, dass man sofort sehen kann, dass eine Umformung in eine geschlossen lösbare Gleichung nicht möglich ist. Anders verhielte es sich, wenn u in den Argumenten mehrerer Arcusfunktionen auftauchen würde. Dann könnte man hoffen, dass sich ein Subterm, der alle diese Arcusfunktionen, aber keine weiteres us enthält, sich als von u unabhängig herausstellt. Aber im gegebenen Beispiel gibt's da nicht viel umzuformen.
>Diese Terme müssten aber, wenn man richtig gerechnet hat, alle >äquivalent, d.h. durch die üblichen Umformregeln ineinander >überführbar sein. Bei gemischt trigonometrischen Funktionen weiß ich nie, ob es nicht doch eine Substitution gibt, mit der das Ganze dann lösbar wird. Bei der Integration durch Substitution z.B. sind die Umformungen ja auch häufig nicht gerade offensichtlich. Mittlerweile gehe ich aber auch davon aus, dass es keine analytische Lösung gibt, wobei mir auch dafür ein Beweis fehlt - die Hoffnung stirbt ja zuletzt.
Diese Aufgabe habe ich schon vor 15++ Jahren meinem Mathe- und anderen Profs gestellt und keine Lösung erhalten. Einer erzählte etwas von "...muss man mit Doppelintegralen lösen..."
Die Aufgabe ist auch von meinem ehemaligen Mathelehrer von vor gut 10 Jahren. Irgendwer meint, dass man das Integral über Kreissegmente bilden sollte (also nicht unendlich dünne Rechtecke sondern unendlich dünne Kreissegmente aufaddieren). Ich bin damit auch relativ schnell an einen sehr kompakten Term gekommen, der dann aber auch nicht mit den üblichen Mitteln auflösbar war :/
Lösung müsste jeder herausbekommen, der in Klasse 11 und 12 aufgepasst hat: 1/4 Kreisfläche=Integral(sqrt(r²-x²)) -> Umstellung ist Fleißarbeit -> jedoch lässt sich x nicht nur auf eine Seite des Gleichheitszeichens umstellen, was aber rekursiv lösbar ist. Lösungen für konvergente und divergente Iterationen sind auf meiner Seite http://freenet-homepage.de/gerdlamprecht/Roemisch_JAVA.htm#Iterationsrechner oder http://gerdlamprecht.kilu.de/Roemisch_JAVA.htm#Iterationsrechner nachvollziehbar. Den Faktor habe ich dort mal mit >130 Stellen angegeben -> reicht das für die Skeptiker, die behaupten, dass es keine Lösung gebe? 1.158728473018121517828233509933509149688292266492096511820695884820669. ..
Was unterscheidet deine Näherung von den zuvor geposteten? >-> reicht das für die Skeptiker, die behaupten, dass es keine Lösung >gebe? Es wurde nie behauptet, dass es keine Lösung gäbe - auch eine Näherung ist eine Lösung. Das war aber nicht gesucht.
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