Leisungsdichte

[daniel (Gast)]

Die Leistungsdichte gibt ja an, bei welchen Frequenzen
eines Signals die "meiste Energie" drin steckt.
Also eine Art Energieverteilung auf die Frequenzen.
Soweit ok, allerdings verstehe ich nicht warum
gerade die transformierte Autokorrelation diese Information
enthält ...
mir fehlt ein plausibles Bild/Erklärung im Kopf.
kann jemand eins anbieten?

grüsse,
    daniel

[Mark (Gast)]

Man ist da ein wenig in der Klemme bei der Beschreibung von 
stochastischen Signalen. Es wird hier versucht die Methoden und 
Beschreibungen, wie sie für deterministische Signale bestehen auch auf 
die stochastischen zu übertragen. Leider ist das nicht ganz so einfach. 
Das Problem ergibt sich schon alleine  aus der Frage wie man einen 
Zufallsprozess eigentlich beschreiben soll. Allgemein basiert die 
Beschreibung auf den s.g. Momenten des Prozesses. Dies sind die s.g. 
Erwartungswerte (z.B. Mittelwert, Standardabweichung etc.). Ein weiteres 
Moment ist die Autokorrelation, die die Ähnlichkeit eines 
Zufallsprozesses mit sich selbst wiedergibt. Die Frage ist jetzt, 
weshalb beschreibt man Zufallsprozesse auf diese Art und Weise. Die 
Antwort ist relativ einfach: Man hat nichts anderes zur Verfügung.

Der Zusammenhang zwischen AKF und Spektraler Leistungsdichte ist durch 
das Wiener-Khinchin-Theorem (oder Khinchin-Kolmogorov-Theorem) gegeben. 
Der Hintergrund ist eben die Überlegung Beschreibungsmethoden für 
deterministische Signale auf stochastische zu übertragen. Man kann das 
Wiener-Khinchtin-Theorem beweisen, wenn du dich dafür interessierst: Ein 
Beweis findet sich in "Digital Commnunications", Proakis, Salehi.

Bevor du dich aber solchen Fragen widmest, solltest du dich zuerst mit 
dem Konzept der Zufallsprozesse und Begriffen wie Stationarität und 
Ergodizität beschäftigen.

[Andreas S. (andreas) (Admin)]

daniel wrote:
> Die Leistungsdichte gibt ja an, bei welchen Frequenzen
> eines Signals die "meiste Energie" drin steckt.
> Also eine Art Energieverteilung auf die Frequenzen.
> Soweit ok, allerdings verstehe ich nicht warum
> gerade die transformierte Autokorrelation diese Information
> enthält ...
> mir fehlt ein plausibles Bild/Erklärung im Kopf.
> kann jemand eins anbieten?

Das Leistungsdichtespektrum bekommst du auch, wenn du das Signal 
transformierst und den Betrag quadrierst. Das dürfte anschaulicher sein. 
Dass es das selbe ist kann man mit den Sätzen der Fouriertransformation 
einfach beweisen.

[Unit* (Gast)]

> Das Leistungsdichtespektrum bekommst du auch, wenn du das Signal
> transformierst und den Betrag quadrierst.

... und das Ergebnis mittelst (die Varianz des Periodogramms ist 
nähmlich 100%).