Multiplikation zweier gleichverteilter Zufallsvariablen

[Daniel (Gast)]

wenn R zb ein Widerstand ist, mit Erwartungswert 100 Ohm
und Toleranz +-1%, dann kann der Widerstand einen
Wert zwischen 99 und 101 haben.
Man nehme die Gleichverteilung in diesem Intervall an.

Die Serienschaltung schwankt nun zwischen 198 und 202 Ohm.
Dieser Verbreiterung ist die Folge der Faltung der
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.
Erwartungswert = 200, das ganze hat eine Dreiecksform.

Wie sieht es aber mit der Parallelschaltung?

Im Falle, dass R1=R2=R ist, ist es R/2
also würde ich eine Gleichverteilung mit dem
Erwartungswert 50 Ohm erwarten. Die Werte zwischen
49.5 ... 50.5 Ohm.
Das ist mein Bauchgefühl.

Andererseits frage ich mich ob beim einem
Produkt wirklich die Gleichverteilung rauskommt.

Weiss jemand die Antwort?

Grüsse,
    Daniel

[Andreas S. (andreas) (Admin)]

Rechne von der Verteilung der Widerstände auf die Verteilung der 
Leitwerte um (1/R, näherungsweise auch eine Gleichverteilung), addiere 
diese und nimm wieder den Kehrwert. Da kommt ungefähr eine 
Dreiecksverteilung zwischen 49.5 und 50.5 heraus.

Multiplikation kommt allerdings nirgends vor.

[Daniel (Gast)]

interessanter Gedanke, aber es hackt bei mir an einer stelle.
1/R müsste doch eigentlich eine Spiegelung an der 1 sein.
R = 10 bis 100 gleichverteilt
1/R = 0.01 bis 0.1 auch gleichverteilt

1/Rges = 1/R1 + 1/R2, dreiecksverteilt
Rges an der 1 gespiegelt aber auch dreiecksverteilt
ich weiss, dass es irgendwo faul ist.

ich habe noch eine Überlegung

x+y=y+x kommutativ
x*y=y*x genauso kommutativ

x und y seien diskret in einser Schritten von 1 bis 10 gleichverteilt
wenn man jetzt die Ereignise (x0,y0) für die Addition zählt ...
2= (1,1)   => 1/100 wahrscheinlichkeit
3= (1,2),(2,1) => 2/100
4= (1,3),(3,1),(2,2) => 3/100

für die Multplikation
1= (1,1)   => 1/100 wahrscheinlichkeit
2= (1,2),(2,1) => 2/100
3= (1,3),(3,1) => 2/100
4= (1,4),(4,1),(2,2) => 3/100

führt doch auch auf Dreiecksverteilung

grüsse, Daniel

[Daniel (Gast)]

5= (1,5),(5,1) => 2/100

also doch kein Dreieck.
Jetzt frage ich mich aber, ob bei einer kontinuierlichen
Verteilung von 1 bis 10, es anders wäre. zb (sqrt(5),sqrt(5))
da liessen sich aber unendlich viele Ereignisse anführen.
Das würde wahrscheinich auf die Mächtigkeit der jeweiligen
unendlichkeiten führen, oder so .. bin kein Mathematiker.

[Andreas S. (andreas) (Admin)]

Daniel wrote:
> interessanter Gedanke, aber es hackt bei mir an einer stelle.
> 1/R müsste doch eigentlich eine Spiegelung an der 1 sein.
> R = 10 bis 100 gleichverteilt
> 1/R = 0.01 bis 0.1 auch gleichverteilt

Bei so einem großen Wertebereich stimmt die Näherung mit der 
Gleichverteilung natürlich nicht mehr. Um die Verteilung von 1/R 
anschaulich rauszubekommen kannst du R z.B. in 10 gleich große 
Intervalle aufteilen, die Wahrscheinlichkeit für jedes Intervall 
berechnen, und die Ober- und Untergrenzen mit 1/x transformieren. Dann 
bekommst du ein neues Histogramm für die transformierte Verteilung. Wie 
man das analytisch macht findest du wenn du nach 
"Wahrscheinlichkeitsdichte Transformation" googelst.