bilineare Transformation

[Mike (Gast)]

Hi, ich hab ein Verständnisproblem mit folgender Aufgabe zum Thema 
"bilineare Transformation" in der digitalen Signalverabeitung.

Gegeben ist ein analoger Hochpass mit folgender Übertragungsfunktion:
(siehe Anhang)

Nun soll der Hochpass durch bilineare Transformation in ein digitales 
Filter umgewandelt werden.Der digitale Hochpass soll die 3 
dB-Grenzfrequenz fg = 2 kHz aufweisen. Die Abtastfrequenz ist fs = 10 
kHz.
Es soll auch die Übertragungsfunktion G(z) des digitalen Hochpasses 
bestimmt werden. Zum Schluss soll der Amplitudengang des analogen und 
des digitalen Hochpasses gezeichnet werden.

[die ??? (Gast)]

Die Stichworte sind "Tustin", "warping" und "pre-warping".

[Mike (Gast)]

Diese Aufgabe habe ich so gelöst:

$$A(w) = |G(w)| = \frac{wg(analog)^2}{wg(analog)^2+wo^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

nach fo umgestellt:

$$fo = \frac{fs}{pi}*0,4674 = 1487,78 Hz$$

Die 3dB-Grenzfrequenz fg = 2 kHz in folgende Formel eingesetzt:

$$T = \frac{1}{fs} = \frac{1}{10kHz} wg(analog) = \frac{2}{T}*tan(\frac{wg(digital)*T}{2}) = 14530,85 Hz wg(analog) --> fg(analog) = 2,312 kHz$$

Diese Formel habe ich in die analoge Übertragungsfunktion eingesetzt:

$$s = \frac{2}{T}* \frac{z-1}{z+1} G(s) = \frac{(\frac{s}{wo})^2}{(\frac{s}{wo}+1)^2}$$

Wenn ich nun die analoge Übertragungsfunktion die Frequenz fo verwende, 
ist dies dann mein digitals Filter?

$$G(s) = \frac{(\frac{s}{wo})^2}{(\frac{s}{wo}+1)^2} G(s) --> A(f) = \frac{(\frac{f}{fo})^2}{(\frac{f}{fo})^2+1}$$

[Mike (Gast)]

Diese Aufgabe habe ich so gelöst:

A(w) = |G(w)| = \frac{wg(analog)^2}{wg(analog)^2+wo^2} = 
\frac{1}{\sqrt{2}}

nach fo umgestellt:

$$fo = \frac{fs}{pi}*0,4674 = 1487,78 Hz$$

Die 3dB-Grenzfrequenz fg = 2 kHz in folgende Formel eingesetzt:

$$T = \frac{1}{fs} = \frac{1}{10kHz} wg(analog) = \frac{2}{T}*tan(\frac{wg(digital)*T}{2}) = 14530,85 Hz$$

$$wg(analog) --> fg(analog) = 2,312 kHz$$

Diese Formel habe ich in die analoge Übertragungsfunktion eingesetzt:

$$s = \frac{2}{T}* \frac{z-1}{z+1}$$

$$G(s) = \frac{(\frac{s}{wo})^2}{(\frac{s}{wo}+1)^2}$$

Wenn ich nun die analoge Übertragungsfunktion die Frequenz fo verwende,
ist dies dann mein digitals Filter?

$$G(s) = \frac{(\frac{s}{wo})^2}{(\frac{s}{wo}+1)^2}$$

$$G(s) --> A(f) = \frac{(\frac{f}{fo})^2}{(\frac{f}{fo})^2+1}$$

[Mike (Gast)]

Bitte vielmals um Entschuldigung. Ich hab mich mit der Darstellung der 
Formeln etwas vertan. Diesmal stimmt es.

Diese Aufgabe habe ich so gelöst:

$$A(w) = |G(w)| = \frac{wg(analog)^2}{wg(analog)^2+wo^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

nach fo umgestellt:

$$fo = \frac{fs}{pi}*0,4674 = 1487,78 Hz$$

Die 3dB-Grenzfrequenz fg = 2 kHz in folgende Formel eingesetzt:

$$T = \frac{1}{fs} = \frac{1}{10kHz}$$

$$wg(analog) = \frac{2}{T}*tan(\frac{wg(digital)*T}{2}) = 14530,85 Hz$$

$$wg(analog) --> fg(analog) = 2,312 kHz$$

Diese Formel habe ich in die analoge Übertragungsfunktion eingesetzt:

$$s = \frac{2}{T}* \frac{z-1}{z+1} [math] G(s) = \frac{(\frac{s}{wo})^2}{(\frac{s}{wo}+1)^2}$$

Wenn ich nun die analoge Übertragungsfunktion die Frequenz fo verwende,
ist dies dann mein digitals Filter?

$$G(s) = \frac{(\frac{s}{wo})^2}{(\frac{s}{wo}+1)^2}$$

$$G(s) --> A(f) = \frac{(\frac{f}{fo})^2}{(\frac{f}{fo})^2+1}$$

[Mike (Gast)]

Die korrekte Lösung hab ich mal im Dateianhang angehängt.
Für mich stellt sich nun die Frage was ist die digitale bzw. analoge 
Übertragungsfunktion?

Ist das das digitale System?

$$G(s) --> A(f) = \frac{(\frac{f}{fo})^2}{(\frac{f}{fo})^2+1}$$

[Horst W. (horst25)]

analog -> G(s)
digital -> G(z)

[Mike (Gast)]

Wie kommt man zu dieser Übertragungsfunktion?

$$G(s) --> A(f) = \frac{(\frac{f}{fo})^2}{(\frac{f}{fo})^2+1}$$

Müsste die Übertragungsfunktion nicht so aussehen?

$$G(s) --> A(f) = \frac{(\frac{f}{fo})}{(\frac{f}{fo})^2+1}$$

[Horst W. (horst25)]

A(f) ist keine Übertragungsfunktion sondern der Amplitudengang des 
analogen Systems. Schau dir mal an wie das zusammenhängt.

Der Lösungsweg müsste in etwa so aussehen:

G(s) -> BLT->G(z)  //hier Abtastfrequenz und Grenzfrequenz des digitalen
                   //Systems berücksichtigen

G(s) -> A(f)
G(z) -> A(jw)


Wie kommst du auf folgendes??
iese Aufgabe habe ich so gelöst:


A(w) = |G(w)| = \frac{wg(analog)^2}{wg(analog)^2+wo^2} = 
\frac{1}{\sqrt{2}}

nach fo umgestellt:

damit setzt du den analogen HP gleich mit den 3dB. Das soll soweit du 
hier geschrieben hast nur für den digitalen Teil zutreffen -> ist somit 
unnötig

[Mike (Gast)]

Warum diese Formel?

$$wg(analog) = \frac{2}{T}*tan(\frac{wg(digital)*T}{2}) = 14530,85 Hz$$

Mit dieser Formel kann man doch eine digitale Frequenz in eine analoge 
Frequenz die für das analoge System benötigt wird umwandeln. Oder ist 
diese Aussage von mir falsch?

[Mike (Gast)]

Wenn ich die folgende Formel in meinen Rechner eingebe und für fo = 
1487,78 Hz einsetze, dann erhalte ich die Werte von der Tabelle (siehe 
Anhang) rechte Spalte. Also ist dies doch mein analoger Amplitudengang.

$$A(f) = 20*log(\frac{(\frac{f}{fo})^2}{(\frac{f}{fo})^2+1})$$

[Mike (Gast)]

Ich hab versehentlich die Tabelle vergessen hier anzuhängen.

[Mike (Gast)]

Ist dies der analoge oder der digitale Amplitudengang?

$$A(f) = 20*log(\frac{(\frac{f}{fo})^2}{(\frac{f}{fo})^2+1})$$

Die rechte Spalte entspricht, rechnerisch diesem Amplitudengang.
Das verstehe ich nicht.

[Mike (Gast)]

Also ich vermute das Überschriften "analog" und "digital" von der 
Tabelle vertauscht sind. Denn eigentlich müsste es doch so sein, dass 
beim digitalen Amplitudengang eine Stauchung statt findet.

Bei f=5kHz ist der analoge Amplitudengang bei -0,7dB, während beim 
digitalen Amplitudengang 0dB. So müsste es doch sein oder?

[Tommi H. (drmota)]

Das ist also der deutsche Ing. Nachwuchs gezüchtet in turboschnellen 
FHs. Die Personaler werden eine Freude mit dir und deinen Kollegen 
haben.

Dein ursprüngliches G(s) (Hochpass.PNG) bedeutet sicher nicht das der 
Betrag von diesem G(s) gleich dem ist was du berechnet hast.

G(s)=(s/wo)²/(s/wo +1)²=> s=jw => G(s)=-w²/(-w²+2jwwo+wo²) => 
(konjungiergt

komplex erweitern (falls das in FHs gelehrt wird))

|G(s)|=(((-w²(wo²-w²))²+(2wwo)²)/((wo²-w²)²-4w²-wo²)^0.5=1/2^0.5

jetzt w=2000*2*pi einsetzen und nach wo^2 auflösen (Quadratische 
Gleichung,

musst du selber machen)

dann dein s=2/T *(z-1)/(z+1) einzetzen dann hast du G(z) -->

z=e^(jwT)

einsetzen Betrag von G(z) berechnen. Und dann kannst du Betrag G(s)

(kontinuierlich) mit Betrag G(z) vergleichen

[Ille (Gast)]

$$A(w) = |G(w)| = \frac{wg(analog)^2}{wg(analog)^2+wo^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Der Betragsbildung von G(w) müsste auf jedenfall so stimmen.

[Tommi H. (drmota)]

>>Der Betragsbildung von G(w) müsste auf jedenfall so stimmen.

Wenn du das glaubst solltest du aber nochmals dein Abi nachholen.
Du gibst eine Funktion G(w) an hast aber auf der rechten seite nur eine 
Grenzfrequenz und ein wo, aber keine Frequenz w. Was ist das bitte schön 
für eine Funktion. Die stimmt doch hinten und vorne nicht.

Das selbe wäre eine Funktion   A(x)=y+2*y  merkst du was linke Seite 
abhängig von x --> rechte Seite weit und breit kein x vorhanden.

In deinen Bild gehst du von G(s)=(s/wo)²/((s/wo)+1)² aus kannst aber 
offensichtlich nicht (a+b)² richtig auflösen oder meinst du

G(s)=(s/wo)²/((s/wo)²+1) nur das ist aber !!!!!!!!!! GrenzSTABIL 
!!!!!!!!!!!
und somit unbrauchbar, weil bei s=jwo=wo  --> INSTABIL

Und billineare Transformation heisst das du ein G(s) in ein G(z) 
transformieren sollst und dazu dein s=2/T (z-1)/(z+1) (Könnte ich dir 
auch erklären woher diese Formel kommt unterlasse ich aber weil du 
erstmals die Grundlagen lernen solltest) einsetzen musst.

[ahja (Gast)]

@Tommi Huber
>>Das ist also der deutsche Ing. Nachwuchs gezüchtet in turboschnellen
>>FHs. Die Personaler werden eine Freude mit dir und deinen Kollegen
>>haben.
Das ist also der deutsche Forenbesucher, von einem Beispiel auf die 
Gesamtheit schließend und total eingebildet.
Deine Mitmenschen werden eine Freude mit dir und deinesgleichen haben.

Ja ja, zum Glück hattest du wärend deines Studiums nie was falsch 
gemacht oder gar irgendwelche fragen gehabt...

Musstest du eigentlich eine Vorlesung besuchen oder bekamst du deinen 
Abschluss direkt nach der Immatrikulation, weil du ja schon alles 
gewusst hast?

[Tommi H. (drmota)]

Keiner weiss wirklich nur annähernd etwas und wer das behauptet ist ein 
Blender oder BWLer. Fragen ist nicht verkehrt. Nur so lernt man etwas. 
Nur sollte man im Laufe seines Studiums doch in der Lage sein
für etwaige Lösungen selbst Wege versuchen zu finden um diese zu 
verifizieren.

Schliesslich werdet ihr einmal haftbar sein (Beispiel ihr entwerft 
Seilbahnen und die stürzen ab --> 20 Tote). Wenn ihr etwas entwickelt 
und selbst nicht in der Lage seid dieses auf Fehler zu überprüfen, 
werdet ihr möglicherweise sogar
ins Gefängnis wandern müssen.

[Klaus (Gast)]

> Ja ja, zum Glück hattest du wärend deines Studiums nie was falsch
> gemacht oder gar irgendwelche fragen gehabt...

Der liebe Mike ist mittlerweile im 7. Semester, zumindest rechnet er 
Klausuraufgaben aus diesem Semester.
Meinst du nicht, man kann zu diesem Zeitpunkt erwarten, dass ein 
angehender Ingenieur wenigstens den Betrag einer komplexen Funktion 
richtig berechnen kann?

[ahja (Gast)]

>Keiner weiss wirklich nur annähernd etwas und wer das behauptet ist ein
>Blender oder BWLer.
Was natürlich erklärt warum du alle jüngeren (FH)-Ingenieure über einen 
Kamm scherst...

Findest du nicht, dass dein Kommentar
>>Das ist also der deutsche Ing. Nachwuchs gezüchtet in turboschnellen
>>FHs. Die Personaler werden eine Freude mit dir und deinen Kollegen
>>haben.

etwas überheblich ist?
Du (und deine Kommilitonen der früheren besseren Jahrgänge oder kommst 
du von der Uni?) scheinst ja nach deinem Studium viel mehr gewusst und 
viel besser auf das Berufsleben vorbereitet gewesen zu sein als diese 
nichtsnutzigen total überflüssigen neuen, jungen FH-Ingenieure.

Tut mir Leid, aber so ein Kommentar kann ich bei jemanden mit etwas 
Verstand (und den unterstelle ich dir jetzt einfach mal) einfach nicht 
nachvollziehen.

[ahja (Gast)]

Ups, was vergessen:
>Keiner weiss wirklich nur annähernd etwas und wer das behauptet ist ein
>Blender oder BWLer.
Ich frage mich wieviele du kennst dass du das gleich auf alle beziehen 
kannst. Wahrscheinlich kennst du auch von jeder FH in Dt. einen...

>Der liebe Mike ist mittlerweile im 7. Semester, zumindest rechnet er
>Klausuraufgaben aus diesem Semester.
>Meinst du nicht, man kann zu diesem Zeitpunkt erwarten, dass ein
>angehender Ingenieur wenigstens den Betrag einer komplexen Funktion
>richtig berechnen kann?
Doch. Mich hat auch mehr das Kommentar von Tommi gestört.

[Mike (Gast)]

$$G(s) = \frac{(s/wo)^2}{(s/wo+1)^2} = \frac{s^2}{(s+wo)^2}$$

$$G(jw) = \frac{(jw/wo)^2}{(jw/wo+1)^2} = \frac{jw^2}{(jw+wo)^2}$$

$$A(jw) = |G(jw)| = \frac{(w/wo)^2}{(w/wo)^2+1} = \frac{w^2}{w^2+wo^2}$$

-3dB entspricht den

$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$

.

$$\frac{1}{\sqrt{2}}$$

 habe ich dann mit dem Amplitudengang gleichgesetzt.

$$A(jw) = |G(jw)| = \frac{(w/wo)^2}{(w/wo)^2+1} = \frac{w^2}{w^2+wo^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

[Mike (Gast)]

Für das digitale System muss ich natürlich für s:

$$s = \frac{2}{T}* \frac{z-1}{z+1}$$

 einsetzen.

$$G(s) ---> s = \frac{2}{T}* \frac{z-1}{z+1} ---> G(z)$$

[gast (Gast)]

Tustin ist dabei aber nur eine Näherung (Tustin ist nur für kleine T 
ausreichend)

richtiger wäre es wenn du L^-1 machst und dann die z-Transformation

[Mike (Gast)]

Was soll das bedeuten?

>>Tustin ist dabei aber nur eine Näherung (Tustin ist nur für kleine T
>>ausreichend)

>>richtiger wäre es wenn du L^-1 machst und dann die z-Transformation

Kann dies nicht nachvollziehen.

[Tommi H. (drmota)]

>Meinst du nicht, man kann zu diesem Zeitpunkt erwarten, dass ein
>angehender Ingenieur wenigstens den Betrag einer komplexen Funktion
>richtig berechnen kann?

Der gute Mike kann das Gott sei dank meine konjungiert komplexe 
Erweiterung kommt auf den gleichen Betrag wie Mike. Mike hast du eine 
eins bekommen ?