Stabilität bei der Simulation (C++ code)

[Daniel (Gast)]

Hallo Leute,

ich überlege gerade warum meine Simulation
bei unterschiedlicher Schrittweite und
bei der Variation der Parameter (m,k,d) manchmal
instabil wird.

Im Grund geht es um ein Feder-Masse-Dämpfer System.
Die DGL ist mx''+dx'+kx - u = 0

./main > data

Zum ploten nehme ich gnuplot
plot 'data' using 1:2

Ich hänge den Code an.
Wie bestimme ich die kritische Schrittweite in
Abhängigkeit von m,d,k an?

Grüsse, Daniel

[Daniel (Gast)]

m=1
k=100
d=0.1
x0=10
x1=0
tend = 10
u = nullfunction
dt = 1e-2

[Daniel (Gast)]

dt = 1e-2

[Daniel (Gast)]

dt = 1e-3

[I_ H. (i_h)]

Es gibt keine "kritische" Schrittweite. Je weniger Schritte desto 
ungenauer, je mehr desto genauer. Wenn's ungenau wird, neigt die Sache 
zu Instabilität.

Wolltest du das exakt durchrechnen, müsstest du der Sache symbolisch 
zuleibe rücken. Das macht aber keinen Spaß, weil es rechenaufwendig ist 
und häufig keine (automatisch ermittelbare) Lösung gibt.

Kleiner Tipp: Wenn du nicht grad einen 486er benutzt sind mal eben 10k 
Schritte garkein Problem, 100k und 1Mio auch nicht (höchstens für 
gnuplot, also gib zB. nur jeden 10. Wert aus). Du kannst dir zB. auch 
die gemittelte Differenz zwischen verschiedenen Schrittweiten angucken, 
zB. zwischen 1e-n und 2e-n für verschiedene n. Dann weist du so 
ungefähr, bis wohin es Sinn macht.

[Daniel (Gast)]

@I_H Danke für Deine Antwort
es ist schon einbischen langer her als ich Signale und
Systeme gehört habe, aber ich meine, dass das Problem
ähnlich der Zeitquantisierung ist. Da war etwas mit
der Z Transformation und der Forderung alle Nullstellen
im Einheitskreis zu haben. Nur denke ich liegt hier das Problem
anders herum. Man hat nicht ein kontinuirliches System, dass
man stabil diskretisiert, sondern "baut" diskretes Model direkt
über die Simulation auf.
Ich bin mir noch nicht ganz sicher, dass es darauf zurückzuführen ist.
Ich werde mal probieren die Eigenantwort (bei u(t)=0)
zu berechnen und dann die Eígenantwort x(t) Fouriertransformieren
um die grösste Frequenz im Band bestimmen. Vielleicht wird f_max
gerade 1/dt_min sein.

Die Verkleinerung der Schrittweite könnte ich glaub bis
1e-6 runtersetzen, bei noch kleineren Werten würde ich
schnell sehr misstrauisch werden. (ohne rationale Erklärung :-)

Grüsse, Daniel

[I_ H. (i_h)]

Das würde dann erklären wieso die Sache ab einer bestimmten Grenze 
instabil wird, aber die Genauigkeit ist ja 'n ganz anderes Gebiet, da 
geht's um Numerik (auch wenn es stabil bleibt kommen ja unterschiedliche 
Ergebnisse mit unterschiedlichen Schrittweiten raus).
Im Endeffekt rechnest du da ja die Diff. Gleichungen durch, und das ist 
im Allgeimenen nur genau für Schrittweite gegen 0. Du willst da ja ein 
natürlich auftretendes Phänomen modellieren, und das läuft eben 
(praktisch) kontinuierlich ab.