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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Besselfilter umsetzen


Autor: Ruslan K. (idrisk)
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Hi Leute,

habe schon bisschen rum geschaut, aber komme nicht wirklich klar.

Ich habe ein Array mit Beschleunigungswerten. Da dies Rohwerte von einem 
Referenzsensor sind, muss ich vor der Verarbeitung noch die Werte 
filtern.

Dazu wird ein Bessel-Filter 2. Ordnung benötig.

Was ich kenne ist die Grenzfrequenz des besselfilters 400 Hz und die 
Rohwerte.

Jetzt suche ich nach einer Gleichung für mein Problem, aber irgendwie 
kriege ich noch nicht den Zusammenhang zwischen der IIR-Funktion und den 
Koeffizienten.

- Wie kann ich mein Problem umsetzten ?
- Wie kann man die Koeffizienten berechen ?
- Brauche ich noch weitere Infos zum Signal ?

Vielen Dank im Vorraus

Autor: Christoph Kessler (db1uq) (christoph_kessler)
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Autor: Ruslan K. (idrisk)
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Hallo,

vielen dank für die Antwort, aber irgendwie habe ich es immer noch net 
verstanden, wie ich das umsetzten soll.

Es muss doch eine allg. gültige Gleichung geben, bei der die Abtast oder 
Grenzfrequez mit einfließen. Ist doch in der Analog Technik nicht 
anders.

Kann mir jemand einen Tipp geben?

Gruß

Autor: Gerrit Buhe (gbuhe)
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Hallo Ruslan,

die Ermittlung der Koeffizienten eines Besselfilters ist nicht trivial, 
daher verwendet man entweder dedizierte Designroutinen (Matlab?) oder 
schlägt sie in Tabellen nach (z.B. Halbleiterschaltungstechnik von 
Tietze/Schenk). Dort findet man Dimensionierungshilfe für die analoge 
Implementierung, die in Differenzengleichungen überführt werden will.

Warum ist das so kompliziert? Mit Besselfiltern versucht man, den 
linearen Phasengang, also die konstante Gruppenlaufzeit von FIR-Filtern 
mit IIR-Filtern zu realisieren. Es handelt sich jedoch nur um eine 
Approximation der konstanten Gruppenlaufzeit. Zur Ermittlung der 
Koeffizienten für höhere Ordnungen ist ein nichtlineares 
Gleichungssystem zu lösen. Schließlich gibt es Rekursionsformeln zur 
Koeffizientenberechnung, die die Bessel-Polynome enthalten; daher der 
Name.

Woher kommt Deine Anforderung, unbedingt ein Bessel-Filter 2. Ordnung 
mit 400Hz Grenzfrequenz einzusetzen?
Benötigst Du wirklich eine konstante Gruppenlaufzeit?
Hast Du harte Echtzeitanforderungen, bei denen einige zig Abtastwerte 
Verzögerung stören (kritische Totzeit in Regelung)?

Wenn ich z.B. Sensorwerte filtern möchte, setze ich meist ein ganz 
einfaches IIR-Filter erster Ordnung wie folgt ein:

y(n)= a * x(n) + (1-a)*y(n-1)

x(n) sind die Eingangswerte (bei Dir Beschleunigungswerte),
y(n) sind die gefilterten Ausgangswerte,
a = 1-exp(-2 pi fg/fs) mit fg als 3dB-Grenzfrequenz und fs als 
Abtastfrequenz.

Falls Gruppenlaufzeitverzerrungen wirklich stören, kannst Du auch ein 
symmetrisches FIR-Filter einsetzen. Die Anzahl der Koeffizienten und 
damit die konstante Gruppenlaufzeit (=Koeffizienten/fs/2) hängt von der 
nötigen Flankensteilheit ab. Die Gruppenlaufzeit im Durchlaßbereich des 
Filters wird dann höher als im IIR-Fall sein und könnte in einer 
Regelung durch die zu große Totzeit zu Problemen führen. Dafür ist das 
Design von FIR-Filtern sehr einfach.

Ich hoffe das hilft etwas.

Viele Grüße!

Gerrit, DL9GFA

Autor: Idrisk (Gast)
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Hi Geritt,

vielen dank für die umfangreiche Antwort!

Es muss ja nicht unbedingt ein Bessel 2. Ordnung sein. Aber dennoch 
sollte es ein Tiefpass zweiter Ordnung werden, um die 40db Dämpfung bei 
f > fg zu erreichen um das Simulierte Ergebnis so real wie möglich zu 
halten.

Situation:
Es handelt sich bei dem System um eine Sensorsimulation. Die echten 
Sensoren filtern die mit einem Bessel 2. Ordnung mit fg = 400 Hz. Bei 
den gennanten werten handelt es sich um Beschleunigungswerte.
Da ich nun diese Sensoriken simuliere und als Referenz Sensorwerte eine 
Datei habe, die mit 10khz abgetasteten werten gefüllt ist, möchte ich 
nun die Werte für das System anpassen und mit 400 Hz filtern, bevor ich 
diese über die SPI versende. Den genauso, macht es ja der reale Sensor 
auch.

Ich habe mich jetzt so ein bisschen schau gelesen über IIR-Filter und 
denke, dass ich es damit auch am besten (einfachsten) filtern werde.
Nur leider habe ich bis jetzt noch nicht perfekt verstanden, welche 
schritte ich gehen muss, um dieses Problem zu lösen.
Denn es ist folgendermaßen.

Wenn ich es richrig verstanden habe, dann lautet ja der Ansatz
für IIR-2.Ordnung so:

y(n) = a0*x(n) + a1*x(n-1) + a2*x(n-2) - b1*y(n-1) - b2*y(n-2)

Nun komme ich aber net klar, wie ich die koefizienten bestimmen soll umd 
meine 400 Hz da rein zubringen!

Autor: Christoph Kessler (db1uq) (christoph_kessler)
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Dazu gibt es Matlab und ähnliche Programme. Im kostenlosen Scilab zum 
Beispiel mit "eqiir"
http://www.scilab.org/product/man/eqiir.html
da gibts leider kein Bessel, nur Butterworth, Chebysheff und Cauer 
(elliptic), da wäre "butt" das nächstliegende.

Autor: Christoph Kessler (db1uq) (christoph_kessler)
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Analog zum Notchfilter im Artikel müßte der Tiefpass in Scilab so 
lauten:
// Lowpass-Filter für 400 Hz, Samplerate =10000Hz
// Eckfrequenzen 400Hz, 800Hz:
omega=[2*%pi*(400/10000),2*%pi*(800/10000),0,0;
// Maximale Durchgangswelligkeit 0,5 dB
deltapass = (1-10**(-0.5/20)) ;
// minimale Sperrband-Dämpfung 50 dB
deltastop = 10**(-50/20);
// IIR-Filter berechnen, "lowpass", "butterworth":
[sos,gain,zeroes,poles] = eqiir('lp','butt',omega,deltapass,deltastop);
// Second order sections anzeigen:
sos
gain
//Frequenzgang berechnen und plotten:
zaehlerprodukt = prod(sos(2));
nennerprodukt = prod(sos(3));
frequenzgang = gain*abs(freq(zaehlerprodukt,nennerprodukt,exp(%i*(0:0.01:%pi))));
// frequenzgang = gain*abs(freq(zaehlerprodukt,nennerprodukt,exp(%i*(0:0.01:%pi))));
n = prod(size(frequenzgang));
//plot(20*log(frequenzgang(2:n))/log(10),(n*10000/(200*%pi)));
plot(20*log(frequenzgang (2:n))/log(10))

die 800 Hz Stopfrequenz und die dB-Werte habe ich erst mal willkürlich 
angenommen. Man müßte damit herumspielen, um auf ein Filter zweiter 
Ordnung zu kommen.

Autor: Christoph Kessler (db1uq) (christoph_kessler)
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So ich habe das mal in Scilab ausprobiert, da fehlte eine eckige Klammer 
am Ende von omega=[...
Außerdem ergibt sich mit den Vorgaben ein IIR mit fast drei 
hintereinandergeschalteten second order sections. Hier ein IIR zweiter 
Ordnung:
// Lowpass-Filter für 400 Hz, Samplerate =10000Hz
// Eckfrequenzen 400Hz, 2000Hz:
omega=[2*%pi*(400/10000),2*%pi*(2000/10000),0,0];
// Maximale Durchgangswelligkeit 0,5 dB
deltapass = (1-10**(-0.5/20)) ;
// minimale Sperrband-Dämpfung 20 dB
deltastop = 10**(-20/20);
// IIR-Filter berechnen, "lowpass", "butterworth":
[sos,gain,zeroes,poles] = eqiir('lp','butt',omega,deltapass,deltastop);
// Second order sections anzeigen:
sos
gain
//Frequenzgang berechnen und plotten:
zaehlerprodukt = prod(sos(2));
nennerprodukt = prod(sos(3));
frequenzgang = gain*abs(freq(zaehlerprodukt,nennerprodukt,exp(%i*(0:0.01:%pi))));
// frequenzgang = gain*abs(freq(zaehlerprodukt,nennerprodukt,exp(%i*(0:0.01:%pi))));
n = prod(size(frequenzgang));
//plot(20*log(frequenzgang(2:n))/log(10),(n*10000/(200*%pi)));
plot(20*log(frequenzgang (2:n))/log(10))


Ergebnis:

sos  =
                      2          
            1 + 2z + z           
    --------------------------   
                              2  
    0.5275027 - 1.3735929z + z   

gain =  0.0384775  


Die Durchgangsdämpfung ist allerdings noch unschön.

Autor: Christoph Kessler (db1uq) (christoph_kessler)
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gegenüber der Formel hier:
http://www.mikrocontroller.net/articles/Digitalfil...
sind oben die Buchstaben a und b vertauscht. Aus dem Ergebnis abgelesen 
folgt:

y(n) = 1*x(n) + 2*x(n-1) + 1*x(n-2) - 1.3735929*y(n-1) - 
0.5275027*y(n-2)

Autor: Ruslan K. (idrisk)
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Hi Christoph,

vielen Dank, dass du dir die Mühe gemacht hast es zu berechnen,
ich bin auch gerade dabei es zu verstehen.

So langsam aber sicher, fange ich an, dort durchzublicken!

Was meinst du denn, mit der Durchgangsdämpfung ?

Autor: Christoph Kessler (db1uq) (christoph_kessler)
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"gain =  0.0384775" das ist die Durchgangsverstärkung, genauer eine 
Dämpfung. Ein Sinus (< 400 Hz) der Amplitude "1" am Eingang kommt nur 
mit der Amplitude 0,038 wieder heraus. Das stört vor allem, wenn man nur 
mit wenigen Bit Auflösung arbeitet.

Die besten Filtereigenschaften erreicht man ungefähr mit 
Halbbandfiltern, das heißt, die Filterflanke ist symmetrisch zur halben 
Nyquistfrequenz oder einem Viertel der Abtastrate. Das wären hier 2500 
Hz. Das IIR-Filter hat ja trotz des Namens nur ein sehr begrenztes 
"Erinnerungsvermögen", sonst hat man einen Oszillator gebaut. Je 
niedriger die Frequenz im Verhältnis zur Abtastrate, desto schlechter 
werden die Eigenschaften.

Zweiter Ordnung und noch eine "gemütliche" Filtercharaktristik wie 
Bessel oder Butterworth führt leider zu dem langsamen Abfall der Kurve. 
Bei der fünffachen Grenzfrequenz 2000Hz sind es hier erst 20 dB 
Sperrdämpfung.
Wenn die größeren Phasenänderungen nahe der Grenzfrequenz nicht stören, 
würde ich erst mal ein "elliptic" probieren, das hat die größte 
Steilheit bei gleicher Ordnungszahl.

Autor: Idrisk (Gast)
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Hi,

ja da ist mir auch schon aufgefallen, ich versuche erstmal einen filter 
mit der richtigen charakteristik zu finden.
Ich habe jetzt erstmal ein IIR-1.Ordung drin, und das ergebnis ist schon 
akzeptabel.
Aber ich werde nochmal zu schluss probieren, einen geeigneten Filter 
höherer Ordnung reinzunehmen!

Vielen Dank für die so beispielslose Hilfe!

Gruß

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