Guten Sonntag!
Wenn ich, sagen wir mal, eine FFT aus 2^14 Punkten berechnen lasse,
kriege ich 2^13 Frequenzen raus. Wenn mich die Phase dieser Frequenzen
interessiert kann ich sie über arctan(Im(f(n)))/Re(f(n))) berechnen.
Je höher ich aber auf der Frequenzachse gehe, desto weniger Abtastwerte
pro Periode sind im meinem Signal und desto ungenauer ist die
Phaseninformation. Frage: Wie kann ich die Frequenz berechnen, bei der
der Fehler in meiner errechneten Phasen maximal 2.8*10^(-5) (das ist 1°
Abweichung) ist?
Egon
>>Je höher ich aber auf der Frequenzachse gehe, desto weniger Abtastwerte
pro Periode sind im meinem Signal und desto ungenauer ist die
Phaseninformation.<<
Nein, eine FFT verteilt den weißen noisefloor eines Zeitsignals
gleichmäßig auf alle Frequenzen, das ist das Wesen eines weißen
Rauschens. "der Fehler in [Deinen] errechneten Phasen" ist für alle
Frequenzen gleich und nur abhängig vom Eingangsrauschen.
gute Nacht
Detlef
Hallo Detlef,
danke für die Antwort, aber das meinte ich nicht.
Angenommen ich mache eine Messperiode mit 16384 Samples von einem
Signal, dass eine Frequenz von 4096 (relativ zur Samplefrequenz) hat.
(Ich gehe erstmal von rauschfreien Signalen aus, weil ich die digital
erzeugen kann)
Dann besteht eine Periode aus 4 Abtastwerten. Das ist recht wenig,
entsprechend wird bei einer Verschiebung des Signals die errechnete
Phase einen relativ großen Fehler haben.
Worauf ich hinaus will: Wieviele Abtastwerte pro Periode muss ich haben,
damit ich die Phase auf 1° genau bestimmen kann?
Das Rauschen lassen wir mal weg, ich möchte es für ideale (errechnete)
Signale bestimmen können, um später unterscheiden können, wieviel Fehler
aus der FFT kommt und wieviel die Messschaltung beiträgt.
Egon
Egon schrieb:> Je höher ich aber auf der Frequenzachse gehe, desto weniger Abtastwerte> pro Periode sind im meinem Signal und desto ungenauer ist die> Phaseninformation.
Dieser Satz ist zu allgemein formuliert. Die Frequenz- und
Phaseninformation ist, dem Nyquist-Shannon-Theorem entsprechend, für
Abtastfrequenzen
und Signalfrequenzen
unter der Bedingung
vollständig.
Darüber hinaus hängt die Genauigkeit des rekonstruierten Signals zwar
von der Genauigkeit der Abtastwerte ab, aber nicht von der
Abtastfrequenz, selbst sofern das Nyquist-Kriterium eingehalten ist.
In Deiner Fragestellung beziehst Du Dich nur auf das Verhältnis von
Signal- und Abtastfrequenz. Ist das ein Missverständnis? Falls nicht,
ist das obige die Antwort.
So dass heißen, dass ich auch dann die Phase einer Sin-Schwingung genau
erfassen kann, wenn die Frequenz knapp unter der halben Abtastfrequenz
ist?
Obwohl möglicherweise die Spitze und der Nulldurchgang nie getroffen
wird?
>>So dass heißen, dass ich auch dann die Phase einer Sin-Schwingung genau
erfassen kann, wenn die Frequenz knapp unter der halben Abtastfrequenz
ist?<<
So ist es, ich hatte Dich schon verstanden, denke ich. Die Genauigkeit
hängt nur von dem SNR Deines Zeitsignals ab, die FFT macht Dir daran
nichts mehr schlecher (abgesehen von dem Rauschen, das Du Dir mit der
Numerik einhandelst, das könnte man aber auch als Zusatzrauschen des
Eingangssignals verstehen).
Du muß allerdings Nyquist einhalten, falls Du das nicht tust spiegeln
die hohen Frequenzen zurück und versauen Dir Deine Phase/Amplitude. Das
analoge Filter, das die Frequenzen größer Nyquist wegfiltert, braucht
ein roll-off band, deswegen ist es nicht so gut, sich Nyquist zu nähern.
Das ganze kannst Du aber auch sehr gut mit Matlab/Scilab/Octave
evaluieren: einfach mal Sinusse verrauschen/transformieren..
Cheers
Detlef
Egon schrieb:> So dass heißen, dass ich auch dann die Phase einer Sin-Schwingung genau> erfassen kann, wenn die Frequenz knapp unter der halben Abtastfrequenz> ist?> Obwohl möglicherweise die Spitze und der Nulldurchgang nie getroffen> wird?
Ja richtig.
Es gibt bei gegebener Frequenz (durch den Index in der FFT gegeben) und
Amplitude (durch den Betrag der FFT gegeben) nur eine einzige Phasenlage
welche einen gewissen Satz von Abtastwerten ergibt. Die Anzahl der
Abtastwerte spielt dabei keine Rolle solange das Nyquist-Kriterium
erfüllt ist.
Im Gegenteil ist es so, dass es, falls Du genau die Nulldurchgänge und
nur diese triffst, mehrere Frequenzen gibt, welche diese Abtastwerte
haben, bzw. noch eine weitere Phasenlage (nämlich +- 180°). (Siehe
Stichwort "Unterabtastung")
Hallo Egon,
> So dass heißen, dass ich auch dann die Phase einer Sin-Schwingung genau> erfassen kann, wenn die Frequenz knapp unter der halben Abtastfrequenz> ist?> Obwohl möglicherweise die Spitze und der Nulldurchgang nie getroffen> wird?
die Antwort lautet: ja, aber.
Die Bedingung dafür, daß Du ein analoges Signal durch Abtastung komplett
rekonstruieren kannst, hat eine schwerwiegende Bedingung: Denn in die
Rekonstruktionsformel (Suchbegriff: Samplingreihe) gehen Abtastwerte von
der gesamten Zeitachse (von t=-oo ... +oo) ein. Du mußt also nicht nur
die Signalvergangenheit, sondern auch dessen gesamte Zukunft kennen:
Das steckt letztlich hinter der Forderung, daß ein "bandbegrenztes"
Signal vorliegt: nämlich ein unendlich langes Signal! An dem 1/x-Term in
si=sin(x)/x erkennst Du, daß ein Abtastwert umso weniger relevant ist,
je weiter er in der Signalvergangenheit bzw. -zukunft liegt.
Die Samplingreihe straft jene Leute Lügen, die annehmen, man könne die
Abtastwerte bei einer Messung immer durch eine möglichst glatte Kurve
verbinden.
Gruß,
Michael
