Dezibel
Das Dezibel ist eine Hilfsmaßeinheit, welche das Verhältnis zweier Leistungs- oder Energiegrößen angibt. Darüber hinaus kann es bei Verwendung einer festgewählten Bezugsgrösse auch als Pseudoeinheit (Pegel) verwendet werden.
Definition: Logarithmus eines Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen
Grundsätzlich ist das Dezibel eine Angabe für den 10er-Logarithmus des Verhältnisses zweier Leistungs- oder Energiegrößen. Die mathematische Funktion des Logarithmus kann grundsätzlich nur für eine dimensionslose Zahl angegeben werden, d.h. eine Zahl ohne Einheit. Dies wird erreicht, indem das Verhältnis zweier Grössen betrachtet wird, sodass sich die Einheit wegkürzt.
Die Angabe des Verhältnisses der beiden Grössen [math]\displaystyle{ A_2 }[/math] und [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] in Dezibel (dB) ist also wiefolgt definiert:
[math]\displaystyle{ L = 10 \cdot \log{\frac{A_2}{A_1}} }[/math]
Der Faktor 10 drückt genau das "dezi-" in "Dezibel" aus. Genau so wie z. B. ein Dezimeter (dm) der zehnte Teil eines Meters ist, ist also auch das Dezibel (dB) im Prinzip der zehnte Teil eines Bel, wobei aber das Bel für sich alleine so gut wie nie verwendet wird.
Die beiden Grössen [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] und [math]\displaystyle{ A_2 }[/math] können beliebige (aber die selben) Einheiten haben. Das Verhältnis der beiden ist dann immer dimensionslos, also eine reine Zahl.
Verstärkung und Dämpfung
Eine aufgrund der obigen Definition des Dezibel naheliegende Anwendung ist die Angabe des Verhältnisses zwischen Ein- und Ausgangsleistung eines Verstärkers oder eines Dämpfungsgliedes (allgemein eines Zweitors).
Nehmen wir z. B. an dass [math]\displaystyle{ A_1 = P_1 }[/math] die Eingangs- und [math]\displaystyle{ A_2=P_2 }[/math] die Ausgangsleistung eines Verstärkers ist, so wird dessen Verstärkung [math]\displaystyle{ g }[/math] (engl. gain) gegeben durch:
[math]\displaystyle{ g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} }[/math]
Bsp.: Eingangsleistung [math]\displaystyle{ P_1 = 1\,\mathrm{W} }[/math], Ausgangsleistung [math]\displaystyle{ P_2 = 100\,\mathrm{W} }[/math]. Das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsleistung ist also 100. Der 10er-Logarithmus dieses Verhältnisses also 2.
[math]\displaystyle{ g = 10 \cdot \log{\frac{100\,\mathrm{W}}{1\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 100 = 10 \cdot 2 = 20 \text{ dB} }[/math]
Ebenso kann eine Dämpfung (z.B eines Dämpfungliedes) in Dezibel angegeben werden. Dabei ist die Ausgangsleistung [math]\displaystyle{ P_2 }[/math] nun kleiner als die Eingangsleistung [math]\displaystyle{ P_1 }[/math], sodass sich gemäss der Definition des Logarithmus ein negativer Wert in dB ergibt.
Bsp.: Eingangsleistung [math]\displaystyle{ P_1 = 100\,\mathrm{W} }[/math], Ausgangsleistung [math]\displaystyle{ P_2 = 1\,\mathrm{W} }[/math]
[math]\displaystyle{ g = 10 \cdot \log{\frac{1\,\mathrm{W}}{100\,\mathrm{W}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dB} }[/math]
In der Praxis wird das Minuszeichen allerdings häufig weggelassen, da die Bezeichnung Dämpfung bereits klar ausdrückt, dass die Leistung abnimmt.
Wichtig: Die Angabe einer Verstärkung- oder Dämpfung in dB bezieht sich grundsätzlich auf die Leistung!
Berechnung aus dem Spannungsverhältnis
Die Leistung eines Signals hängt mit dessen Spannung über die Beziehung [math]\displaystyle{ P=U^2 / R }[/math] zusammen. Bei gleicher Eingangs- und Ausgangsimpedanz (z. B. 50Ω bei Laborgeräten oder 75Ω im Rundfunkbereich) kann daher der Gewinn oder Verlust eines Zweitors aus dem reinen Spannungsverhältnis berechnet werden. Die Impedanz [math]\displaystyle{ R }[/math] kürzt sich heraus, und gemäß den Eigenschaften des Logarithmus kann der Exponent 2 durch einen Faktor 2 vor dem Logarithmus ersetzt werden:
[math]\displaystyle{ g = 10 \cdot \log{\frac{P_2}{P_1}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^2/R}{U_1^2/R}} = 10 \cdot \log{\frac{U_2^\mathbf{2}}{U_1^\mathbf{2}}} = \mathbf{20} \cdot \log{\frac{U_2}{U_1}} }[/math]
Ob (wie in obiger Herleitung) mit Effektivwerten oder mit Spitzenwerten von Spannungen gerechnet wird, spielt keine Rolle, da sich der Umrechnungsfaktor ([math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math] bei sinusförmigen Signalen) herauskürzt.
Hintereinanderschaltung von Verstärkern und/oder Abschwächern
Werden mehrere Verstärker oder Abschwächer hintereinander geschaltet, so werden deren Verstärkungsfaktoren (als Zahlen, nicht in dB) multipliziert um die gesamte Verstärkung zu erhalten. Da eine Multiplikation von Zahlen gleich der Summe ihrer Logarithmen ist (siehe weiter unten), kann der Gewinn oder Verlust von mehreren Verstärkern und/oder Abschwächern in dB addiert werden.
Bsp.: An den Ausgang eines Verstärkers mit einem Gewinn von 20 dB wird Dämpfungsglied mit 3 dB Abschwächung (das Minuszeichen ist hier wie üblich weggelassen) angeschlossen. Wie gross ist die gesamte Verstärkung der Schaltung? Lsg.: 20 dB - 3 dB = 17 dB
Ebenso kann bei der Rechnung mit Pseudoeinheiten (wie dBm, siehe weiter unten) der Gewinn des Verstärkers einfach zum Eingangspegel addiert werden, um den Ausgangspegel zu erhalten.
Bsp.: An den Eingang der oben beschriebenen Schaltung wird ein Signal mt einem Leistungspegel von 10 dBm angelegt. Wie gross ist der Leistungspegel des Ausgangssignals? Lsg.: 10 dBm + 17 dB = 27 dBm
Bei der Rechnung mit Spannungspegeln (wie z. B. dBµ) statt Leistungspegeln wird genau gleich verfahren. Es wird der gleiche Gewinn (oder Verlust) addiert.
Das obige Beispiel mit Spannungspegeln durchgerechnet sieht so aus: Eingangssignal: 10 dBm entspricht 40 dBµ bei 50Ω Impedanzniveau.
Das Ausgangssignal ist also: 40 dBµ + 17 dB = 57 dBµ
57 dBµ entsprechen 27 dBm bei 50Ω. Man kommt also auf das selbe Ergebnis wie oben.
Wichtig: Die Angabe eines Gewinns- oder einer Dämpfung in dB kann unabhängig davon verwendet werden, ob mit Leistungs- oder Spannungspegel gerechnet wird!
Pseudoeinheit oder Pegel
Wie oben erwähnt kann der Logarithmus nur von einer reinen Zahl ohne Einheit gebildet werden. Das Dezibel hat deshalb auch keine Einheit. Allerdings kann eine Grösse mit Einheit ausgedrückt werden, indem das Verhältnis relativ zu einem festgewählten Bezugswert angegeben wird.
Konkret wird also die Grösse [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] in der einleitenden Definition auf einen fest vereinbarten Bezugswert gesetzt. Dieser Bezugswert wird durch ein Suffix, d.h. einen Buchstaben, der an "dB" angehängt wird, ausgedrückt. So bezeichnet z. B. dBm den Bezugswert 1 mW.
Leistung
Eine solche Grösse wird als "Pegel" bezeichnet. Falls als Bezugswert eine Leistung verwendet wird, spricht man von einem Leistungspegel, Formelzeichen [math]\displaystyle{ L_P }[/math].
Bsp. Die Leistung 1 W (= 1000 mW) soll als dBm ausgedrückt werden. Es ist also in der oben genannten Definition [math]\displaystyle{ A_1=1\text{ mW} }[/math].
[math]\displaystyle{ L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{1000\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log1000 = 10 \cdot 3 = 30 \text{ dBm} }[/math]
Es ergeben sich negative Zahlen, wenn die anzugebende Grösse kleiner als der Bezugswert ist:
Bsp. 0.01 mW in dBm
[math]\displaystyle{ L_{P} = 10 \cdot \log{\frac{0.01\,\mathrm{mW}}{1\,\mathrm{mW}}} = 10 \cdot \log 0.01 = 10 \cdot -2 = -20 \text{ dBm} }[/math]
Folgende Bezugswerte sind gebräuchlich:
| Bezugswert | Zeichen |
|---|---|
| 1 mW | dBm |
| 1 W | dBW |
Spannung
Neben Leistungen können auch Spannungen als Bezugswerte verwendet werden. Eine solche Grösse heisst Spannungspegel, Formelzeichen [math]\displaystyle{ L_U }[/math] oder [math]\displaystyle{ L_V }[/math].
Die in der einleitenden Definition vorkommende Grösse [math]\displaystyle{ A_1 }[/math] ist dann also eine Spannung. Beispielsweise bezeichnet die Angabe dBµ einen Bezugswert von 1 µV. Da Spannungen proportional zur Wurzel der Leistung sind, muss man darauf achten, statt 10 den Faktor 20 zu verwenden (siehe ausführliche Erklärung weiter oben).
Bsp.: Die Spannung 1 mV (= 1000 µV) soll in dBµ ausgedrückt werden:
[math]\displaystyle{ L_U = 20 \cdot \log \left( \frac{1 \mathrm{ mV}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log \left( \frac{1000 \mathrm{ \mu V}}{1 \mathrm{ \mu V}} \right) = 20 \cdot \log 1000 = 20 \cdot 3 = 60 }[/math]
In diesem Fall kann man eine Angabe von z. B. x dBu anschaulich so interpretieren: welche Spannung entspricht einer um x dB höheren Leistung, verglichen mit der Leistung bei 1 µV?
Bei Spannungspegeln sind immer Effektivwerte gemeint.
| Bezugswert | Zeichen |
|---|---|
| 1 µV | dBµ |
| 1 mV | dBmV |
| 1 V | dBV |
Andere Grössen
Pseudoeinheiten des dB mit entsprechenden Suffixen findet man weiter in diversen Bereichen. So bezeichnet z. B. dBC bei der Modulationstechnik eine Leistung relativ zu einem Trägersignal (engl. carrier). In der Antennentechnik wird dBi verwendet, um den Gewinn einer gerichteten Antenne relativ zu einer isotrop (d.h. in alle Richtungen gleich stark) strahlenden Antenne anzugeben.
Auch in der digitalen Signalverarbeitung wird dB häufig verwendet, um Verhältnisse von Signalleistungen zu berechnen. Impedanzen oder physikalische Spannungs- oder Leistungseinheiten spielen dabei meistens keine Rolle, was die Nützlichkeit von dB als Vergleichsmaß aber in keiner Weise einschränkt. Hier ist die Angabe dBFS gebräuchlich. Sie drückt die Signalhöhe relativ zum höchsten in einem bestimmten System digital darstellbaren Wert (FS = full scale) aus. Werte in dBFS sind daher immer kleiner gleich null.
| Bezugswert | Zeichen |
|---|---|
| Trägersignalleistung | dBC |
| Isotrop strahlende Antenne | dBi |
| Grösster digital darstellbarer Wert | dBFS |
Daneben existieren noch unzählige mehr oder weniger gebräuchliche Bezugswerte (siehe Artikel in der englischen Wikipedia).
Faktor 10 oder 20?
Eine häufig gestellte Frage ist, wann nun der Faktor 10 und wann der Faktor 20 bei einer konkreten Berechnung verwendet werden muss.
Grundsätzlich ist 10 zu verwenden. Das "Dezi" steht für einen Zehntel der (nie verwendeten) Einheit "Bel" (siehe bei "Definition"). Der Faktor 20 wird dort angewendet, wo ein Leistungsverhältnis aus einem Spannungsverhältnis gebildet wird. Er ersetzt dann das Quadrieren.
In der Praxis tritt dies in folgenden Fällen auf:
- Berechnung eines Gewinns oder Verlusts aus einem Spannungsverhältnis
- Rechnung mit Pegeln, also Pseudoeinheiten, mit einem Bezugswert, dessen Quadrat proportional zur Leistung ist. Dies betrifft vor allem Spannungspegel wie dBµ.
Anhang: Mathematische Eigenschaften des Logarithmus
Grundsätzlich ist der 10er-Logarithmus einer Zahl die Antwort auf die Frage: 10 hoch wieviel ergibt die gesuchte Zahl?
Mathematisch gesprochen ist also [math]\displaystyle{ x = \log a }[/math] die Lösung der Gleichung [math]\displaystyle{ a = 10^x }[/math]
Bsp.: 10 hoch wieviel ergibt 100? Antwort: 2 (da [math]\displaystyle{ 10^2 = 100 }[/math]) Also: [math]\displaystyle{ \log 100 = 2 }[/math]
Da 10 hoch etwas nie eine negative Zahl ergibt, ist der Logarithmus nur für positive Zahlen definiert.
Der 10er-Logarithmus von 1 ist 0 ([math]\displaystyle{ \log(1) = 0 }[/math]), da gilt: [math]\displaystyle{ 10^0=1 }[/math]
Der Logarithmus hat zwei wichtige Eigenschaften:
- [math]\displaystyle{ \log(a \cdot b)=\log(a)+\log(b) }[/math]
D.h. umgangssprachlich gesprochen: "Aus einem Produkt innerhalb der Logarithmus wird eine Summe ausserhalb des Logarithmus."
Analog gilt für eine Division:
[math]\displaystyle{ \log\left(\frac{a}{b}\right)=\log(a)-\log(b) }[/math]
Umgangssprachlich: "Aus einer Division innerhalb der Logarithmus wird eine Subtraktion ausserhalb des Logarithmus."
Als Spezialfall davon: [math]\displaystyle{ \log(1/a)=\log(1)-\log(a)=0-\log(a)=-\log(a) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \log(a^b)=b\cdot\log(a) }[/math]
Umgangssprachlich: "Eine Potenz innerhalb des Logarithmus kann als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden."