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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Frequenzgang aus Pol/Nullstellendiagramm


Autor: bla (Gast)
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Hi.

Frage: Ich frage mich gerade ob es eine Möglichkeit gibt den 
Frequenzgang eines Systems aus dessen Pol/Nullstellendiagramm zu 
bestimmen/abzuschätzen.

Ergänzung/Beispiel:
Zb beim Standard-Tiefpass H(jw) = 1/(tau*j*w+1), hat nen Pol bei -1/tau.
Grenzfrequenz ist halt 1/t, da wird |H(jw)| = 1/sqrt(2), ab da fällt der 
Frequenzgang um (ca.) 20dB/Dekade.

So wenn ich jetzt aber nur gegeben habe dass bei -1/tau nen Pol ist, 
dann bleiben (wenn man von einem Pol, keine Nullstelle ausgeht) 
immernoch die Übertragungsfunktionen K/(s - 1/tau). Sprich der Pol legt 
die Ü-Funktion ja nur bis auf eine Konstante fest. Aber diese Konstante 
verschiebt die Grenzfrequenz des Pols. Sprich es gibt viele Ü-Funktionen 
die den gleichen Pol ham, aber unterschiedliche Grenzfrequenzen.

Also würde ich sagen das geht nicht.

Autor: Christoph Kessler (db1uq) (christoph_kessler)
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Für digitale (IIR) Filter geht das, die Nullstellen und Pole sind die 
Koeffizienten in Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion , daraus 
kann man in Matlab und Octave mittels "freqz", in Scilab mit "frmag" den 
Amplitundengang plotten lassen.

Autor: Detlef _a (detlef_a)
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>>Aber diese Konstante verschiebt die Grenzfrequenz des Pols.
Nein, das tut sie nicht: bei der Grenzfrequenz ist die Übertragungsfkt. 
in Deinem Fall auf 1/sqrt(2) des Wertes bei w=0 abgefallen. Eine 
Verschiebung der Kurve durch eine Konstante nach ober oder unten ändert 
daran nichts: Die Übertragungsfkt. und Grenzfrequenz eines Tiepaß mit 
einem Einzelpol ist durch diesen Pol bis auf eine multiplikative 
Konstante fastgelegt.

So ist das.
Cheers
Detlef

Autor: bla (Gast)
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"Nein, das tut sie nicht"

Du hast recht, irgendwie hatte ich was falsch gedacht. Danke.

"bei der Grenzfrequenz ist die Übertragungsfkt.
in Deinem Fall auf 1/sqrt(2) des Wertes bei w=0 abgefallen."

Wie funktioniert das eigentlich mit nem Pol im Ursprung?
Dann gibts den Wert bei w=0 nicht.

Mit dem was du bzgl. der Konstante gesagt hast, kann man den Einzelpol 
ja angeben als: H(s) = K/(s+a) (a, K reell), das K kann man wie du oben 
erklärt hast "vergessen". Also Grenzfrequenz w_0 bestimmen:

|H(s)| = |1/(s+a)| = 1/sqrt(w^2+a^2)

|H(0)|/|H(w_0)| != 1/sqrt(2) ... -> w_0 = |a|

Daraus folgt nun, dass der Frequenzgang gleich bleibt wenn ich den Pol 
an der imaginären Achse spiegle, richtig?

Autor: bla (Gast)
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Das "!=" soll heissen "muss sein" nicht "ungleich".

Autor: Gast (Gast)
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Hi,

ich hab da auch noch eine Frage dazu. Und zwar die Grenzfrequenz ist ja 
da wie der Wirkanteil (Widerstand R) und der Blindanteil (Widerstand C) 
gleich sind. Das bedeutet doch das an jeder Komponente somit die halbe 
Spannung abfällt.Wenn ich nun bei diesem Standard Tiefpass die Frequenz 
in diesem Grenfall berechnen will muss man dann die Tiefpassformel mit 
1/2 gleich setzen?

H(jw) = 1/(j*w*tau+1) = 1/2

|H(jw) = 1/wurzel(w^2*tau^2+1) = 1/wurzel(2)



tau ist doch R*C oder?

Autor: Florian Pfanner (db1pf)
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Hallo,

stimmt nicht ganz. Bei der Grenzfrequenz fällt zwar an R und C jeweils 
die gleiche Spannung ab, diese Spannungen sind jedoch zueinander 
Phasenverschoben.
Bei der Grenzfrequenz ist somit der Betrag der Amplitude 1/sqrt(2).

Die Grenzfrequenz kannst du allgemein bestimmen, indem du den Realanteil 
gleich dem Imaginäranteil der Übertragungsfunktion stellst. Also:
H(jw) = 1/(j*w*tau+1)
Re(1/(j*w*tau+1)) = Im(1/(j*w*tau+1))
1 = w*tau
w = 1/tau

Grüße,
Florian

Autor: Detlef _a (detlef_a)
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>>Wie funktioniert das eigentlich mit nem Pol im Ursprung? Dann gibts den Wert 
>>bei w=0 nicht.

Nen Pol im Ursprung ist nen Integrierer 1/s , da macht 'Grenzfrequenz' 
eigentlich keinen Sinn. 'Grenzfrequenz' ist auch keineswegs einheitlich 
definiert, Wikipedia sagt obengenanntes 1/sqrt(2), Florians 'Realteil = 
Imaginärteil' ist aber auch verbreitet.

>>Daraus folgt nun, dass der Frequenzgang gleich bleibt wenn ich den Pol
>>an der imaginären Achse spiegle, richtig?

Das ist richtig, der Frequenzgang bleibt gleich, aber das System bleibt 
nicht stabil, weil Du den Pol in der rechten Halbebene hast ;-)

Cheers
Detlef

Autor: Hägar (Gast)
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Ich hab vor einiger Zeit schon mal etwas dazu geschrieben. Vielleicht 
hilft's beim Verständnis: 
Beitrag "Re: Pol Nullstellen Diagramm anschaulich"

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