Hallo,
angenommen, man würde zwei Kugeln reibungsfrei von den Bahnen rollen
lassen, die in der Abbildung zu sehen sind. Mich interessiert, wie man
allgemein bestimmen kann, welche Kugel schneller ist. Vermutung: Beide
Kugeln sind gleich schnell.
Überlegung:
Man bestimmt eine Funktion, die x, dem horizontalen Weg, die
Hangabtriebskraft zuordnet. Dabei ist die Hangabtriebskraft um so
großer, um so steiler die Bahn an einer Stelle ist.
Das Integral dieser Funktion ist ein Maß für die verrichtete Arbeit, die
in Bewegungsarbeit steckt.
Da die Flächen gleich groß sein werden, egal wie die Bahn geformt ist,
müssten die Geschwindigkeiten also gleich sein.
Richtig?
Franz
Hallo,
deine Überlegung ist leider nicht richtig; dein Nachtrag schon eher.
Die Sache mit den Fallzeiten (besser: Rollzeiten) war schon vor
Jahrhunderten ein Problem; es ist als Brachistochronenproblem bekannt.
Google mal danach.
z.B.: http://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone
Jürgen
Wenn Du Reibungsfreiheit annimmst, brauchst Du Dir um die Kurvenform
keine Gedanken zu machen!
Du mußt nur die Fallgesetze beachen (freier Fall).
Also, angenommen, die Kugel startet aus der Höhe h (Ausgangsniveau der
Ebene), dann gilt:
(gleichmäßig beschleunigte Bewegung, g: Erdbeschleunigung).
So, jetzt stellst Du das mal nach t um:
t ist also die Zeit, welche die Kugel braucht, um die Bahn zu passieren.
Die Kurvenform geht nicht ein!
Wenn Du das Ganze allerdings mit Reibung betrachten willst, wird's
schwieriger. Dann mußt Du Kurvenform und Reibkoeffizienten
berücksichtigen.
Füsicker schrieb:
> Wenn Du Reibungsfreiheit annimmst, brauchst Du Dir um die Kurvenform> keine Gedanken zu machen!>> So, jetzt stellst Du das mal nach t um:>
>> t ist also die Zeit, welche die Kugel braucht, um die Bahn zu passieren.> Die Kurvenform geht nicht ein!
Das ist nicht korrekt, denn es wirkt nur die Komponente von g, die in
Bewegungsrichtung zeigt (bzw, parallel dazu ist). Die
Normalen-Komponente von g hat keinen Einfluss auf die Bewegung, was
deine Formel unterschlägt. Deine Formel ist dann korrekt, wenn das Ding
frei fällt, was hier aber nicht der Fall ist.
Johann
Jürgen Franz schrieb:
> Hallo,> deine Überlegung ist leider nicht richtig; dein Nachtrag schon eher.> Die Sache mit den Fallzeiten (besser: Rollzeiten) war schon vor> Jahrhunderten ein Problem; es ist als Brachistochronenproblem bekannt.> Google mal danach.> z.B.: http://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone
Dazu sei engemerkt, daß bei dieser Lösung keine rollende Kugel
betrachtet wird! Bzw. das Trägheitsmoment wird =0 gesetzt. Mit einer
rollenden Kugel wird die Betrachtung komplizierter, weil man nicht nur
potentielle und kinetische Energie zu betrachten hat, sondern auch die
der Rotation:
Damit erhält man eine etwas andere Gleichung, nämlich
Damit kann man nun weiterrechnen, wobei r der Radius der Kugel ist und J
ihr Trägheitsmoment. Im Gegensatz zu einer nicht-rotierenden Masse kürzt
diese sich nun nicht mehr aus der Formel heraus, und man muss sie mit in
den Lagrange-Mechanismus hineinschleppen.
Johann
Ist es nicht ganz einfach so, das in beiden Fällen die gleiche Höhe -
also potentielle Energie - komplett in Geschwindigkeit + Rotation, also
kinetische Energie, umgesetzt wird?
Demnach wäre in beiden Fällen die Endgeschwindigkeit gleich, wegen der
Energieerhaltung.
Eine reibungsfrei rollende Kugel hat kein Massentraegheitsmoment von
Null. Das ist der gesammte Witz der Aufgabe. Und nein, die
Endgeschwindigkeiten sind nicht gleich.
Jochen64 schrieb:
> Ist es nicht ganz einfach so, das in beiden Fällen die gleiche Höhe -> also potentielle Energie - komplett in Geschwindigkeit + Rotation, also> kinetische Energie, umgesetzt wird?> Demnach wäre in beiden Fällen die Endgeschwindigkeit gleich, wegen der> Energieerhaltung.
Ja, aus dem Grund sind die Endgeschwindigkeiten gleich. Zuminsest dann,
wenn es keine Reibung gibt und die Kugel nicht schlittert.
Allerding ist in OP nicht gesagt, was "schnell" bedeuten soll. In Beiden
Fällen sind die Kugeln gleich schnell (im Endpunkt) trotzdem gewinnt
eine Rennen, sie erreicht also vor der anderen das Ziel und ist damit im
landläufigen Sinne schneller.
Johann
Benedikt K. schrieb:
> http://www.hcrs.at/KUGEL.HTM
Interessanter Link ist das
Die Kugel B wird aber irgendwann auch hinter Kugel A ankommen. Nämlich
dann wenn die Mulde tief genug ist.
> Allerding ist in OP nicht gesagt, was "schnell" bedeuten soll.
Im Fall von: welche Kugel ist unten schneller:
Beide Kugeln sind gleich schnell (Geschwindigkeiten sind gleich)
Im Fall von: welche Kugel ist schneller unten:
Die rechte Kugel wird schneller unten sein (Fallzeiten sind ungleich,
Brachistochronenproblem)
Jürgen
Mensch Johann, Du bist vielleicht ein Käpsele ... Chapeau, Chapeau...
Warum ist denn die Betrachtung analog zum freien Fall nicht
gerechtfertigt? Wir haben doch keine Reibung.
Oder wie wärs mit dem Energieerhaltungssatz?
Also, wenn die Kugel die Bahn durchlaufen hat, gilt doch:
Daraus nun:
WOHLGEMERKT: Ohne Reibung!
In diese Formel für v geht weder Masse noch Bahnverlauf ein.
Füsicker schrieb:
> Mensch Johann, Du bist vielleicht ein Käpsele ... Chapeau, Chapeau...>> Warum ist denn die Betrachtung analog zum freien Fall nicht> gerechtfertigt? Wir haben doch keine Reibung.> Oder wie wärs mit dem Energieerhaltungssatz?
Steht oben. Da:
Beitrag "Re: schiefe Ebenen">
> WOHLGEMERKT: Ohne Reibung!>> In diese Formel für v geht weder Masse noch Bahnverlauf ein.
Das die Endgeschwindigkeit unabhängig vom Bahnverlauf ist steht oben.
Auch mit Begründing. Was nicht geht, ist deine Betrachtung für die Zeit,
die du in
Beitrag "Re: schiefe Ebenen"
gemacht hast. Denn da geht der Bahnverlauf sehr wohl ein, und die
dortige Betrachtung ist nicht korrekt. Und Zeit ist nun mal was anderes
als Gecshwindigkeit...
Lesen hilft. Manchmal ;-)
Johann
Füsicker schrieb:
> Mensch Johann, Du bist vielleicht ein Käpsele ... Chapeau, Chapeau...>> Warum ist denn die Betrachtung analog zum freien Fall nicht> gerechtfertigt?
Weil es nun mal kein freier Fall ist.
Wenn es so wäre, dann wäre ja die Zeit die beim freien Fall benötigt
wird und die Zeit die zum Abrollen auf einer Ebene benötigt wird,
gleich.
Das kann aber offensichtlich nicht stimmen. Je weniger die Ebene geneigt
ist, desto länger benötigt die Kugel, bis sie eine bestimmte
Höhendifferenz überwunden hat (und alle Kugelbahnen für Kinder wären
nutzlos, da in ein paar Zehntelsekunden der ganze Spass der rollenden
Kugel vorbei wäre).
Geh ins Extrem: lass die Kugel eine Ebene mit einer Neigung von 0 Grad
'runterlaufen'. Die Kugel braucht offensichtlich unendlich lange um
dabei eine Höhendifferenz von 1 Meter zu überwinden. Im freien Fall
schafft sie das aber in einer knappen halben Sekunde.
Das ist aber nur die Betrachtung: Wie /*lange*/ braucht die Kugel.
Eine andere Frage ist: Mit welcher /*Geschwindigkeit*/ kommt sie unten
an.
Aber deine ursprüngliche Formel war ja:
t = sqrt( 2*h/g)
also die Frage nach der Zeit, wie lange die Kugel unterwegs ist.
Karl heinz Buchegger schrieb:
> Geh ins Extrem: lass die Kugel eine Ebene mit einer Neigung von 0 Grad> 'runterlaufen'. Die Kugel braucht offensichtlich unendlich lange um> dabei eine Höhendifferenz von 1 Meter zu überwinden. Im freien Fall> schafft sie das aber in einer knappen halben Sekunde.
Eine amüsante Konsequenz:
Um 1 Meter aus dem Stillstand heraus zu durchfallen, benötigt die Kugel
rund 0.45 Sekunden.
Jetzt nehmen wir eine schiefe Ebene, die 0.5 Grad geneigt ist und
ebenfalls 1 Meter Höhendifferenz herstellt.
Wenn die Kugel diese Ebene in derselben Zeit wie im freien Fall
durchlaufen könnte, dann hätten wir:
Länge der Kugelbahn 1 / sin(0.5) = 114.5 Meter
und um die in 0.45 Sekunden zu bewältigen, benötigt die Kugel (ich
rechne jetzt unbeschleunigt) eine Geschwindigkeit von 254 m/s oder 916
km/h.
Beschleunigt gerechnet kommt das doppelte raus: 1832 km/h.
Nicht schlecht für eine kleine Kugel auf einer schiefen Ebene!
Karl heinz Buchegger schrieb:
> Beschleunigt gerechnet kommt das doppelte raus: 1832 km/h.> Nicht schlecht für eine kleine Kugel auf einer schiefen Ebene!
Vor allem muss die Kugel dann noch das Kunststück vollbringen, den
Energiesatz zu erfüllen. Also ganz schnell die geborgte kinetische
Energie wieder irgendwo parken ;-)
Johann
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