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Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik Übertragungsfunktion: Pole und Nullstellen


Autor: Andreas T. (megagad)
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Hallo!

Ich habe einen Differenzierer mit einem OPV aufgebaut habe die 
Systemfunktion bestimmt. Im Anhang befindet sich nun das 
Pol-NST-Diagramm. Was die Nullstelle und der reelle Pol bedeuten ist mir 
klar. Die komplexen Pole sagen mir nun, dass das System schwingt bzw 
gedämpft schwing. Und weiter?  Ich habe ja hier einen Differenzierer und 
ich habe als Einganssignale keine Spannungssprünge.
Deshalb kann ich mit der Betrachtung der Springantwort gerade nicht so 
viel anfangen...
Bei mir ist die Systemtheorie schon etwas länger her (leider).

Was sagen mir das Diagramm nun über mein System? Schwingt das immer 
irgendwie oder bei bestimmten Frequenzen?

Ich hoffe ich habe keine dummen Fragen gestellt. In Büchern habe ich 
auch recherchiert, aber da wird eben immer die Sprungantwort betrachtet.

Vielen Dank schon mal.

P.S.:
ich habe in diesem Artikel
Beitrag "Pol Nullstellen Diagramm anschaulich"
diesen schönen Plot
http://www.mikrocontroller.net/attachment/30373/fir.jpg
gesehen. Gibt es in MATLAB einen Befehl dafür, wenn man die 
Tranferfunction hat?

Danke nochmal!!!!

Autor: Guido (Gast)
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Hallo,

> ...habe die Systemfunktion bestimmt.

Wirk- oder Übertragungsfunktion? Dies ist entscheidend bei der 
Betrachtung von Pol-Nullstellendiagrammen.

Mit freundlichen Grüßen
Guido

Autor: Andreas T. (megagad)
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ähm.... Wirkfunktion habe ich noch nie gehört... ich denke das ist eine 
Übenrtragungsfunktion :-)

Autor: Andreas T. (megagad)
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ich hänge mal meine Rechnungen dazu an....
Danke nochmal!

Autor: Guido (Gast)
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Hallo Matthias,

ich wollte eigentlich Wirk*ungs*funktion schreiben. Allerdings scheint 
auch dieser Begriff heutzutage nicht mehr sehr verbreitet zu sein.

Übertragungsfunktion = Verhältnis der Laplace-Transformierten des 
Ausgangssignals zu der Laplace-Transformierten des Eingangssignals

Wirkungsfunktion =  Verhältnis der Laplace-Transformierten des 
Eingangssignals zu der Laplace-Transformierten des Ausgangssignals


Betrachtet man die Übertragungsfunktion F(p)=Z(p)/N(p) eines Systems so 
gilt (nach Routh-Hurwitz):

Ein System ist Quasi-Stabil, wenn der Grad des Zahlerpolynoms Z(p) 
kleiner oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms N(p) ist. Alle Pole von 
F(p) müssen in Re{p} < 0 liegen. F(p) darf auch Pole auf der imaginären 
Achse Re{p}=0 besitzen, diese müssen jedoch einfach sein.

Eins System ist Stabil, wenn der Grad des Zahlerpolynoms Z(p) kleiner 
oder gleich dem Grad des Nennerpolynoms N(p) ist. Alle Pole von F(p) 
müssen in Re{p} < 0 liegen.


In Deinem Fall würde ich die Stabilität mittels Bode-Plot untersuchen. 
Die entsprechenden Stichwörter hierfür lauten "Amplituden- und 
Phasenrand".

Mit freundlichen Grüßen
Guido

Autor: Zefix (Gast)
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Stell Go(jw) auf und überprüfe die BIBO-Stabilität nach
dem Nyquist-Kriterium, oder lass es automatisch von MATLAB
machen ...

Autor: Andreas T. (megagad)
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vielen Dank für eure Antworten. Die Stabilität kann ich doch direkt aus 
dem Pol-NST-Diagramm ablesen, wenn ich das richtig sehe. Die Pole haben 
alle einen Realteil kleiner null.
Mir geht es um die bedeuten der komplexen Pole in der 
Übertragungsfunktion. Wenn ich das richtig verstanden habe, haben die 
doch eine Auswirkung auf die Dämpfung bzw. Güte. Anhand der 
Sprungantwort kann man sowas doch sehen.

Ich habe mal die Sprungantwort für zwei Übertragungfunktionen angehängt.

Bild links: mit einem reelen Pol und einem komplex-kojugierten Pol-Paar
Bild rechts: ein reeler Pol

Alle mit Realteil kleiner 0.

Wie man sehen kann, steigt das System links viel langsamer an und 
schwingt dann gegen 0.

Kann man also anhand der Lage der komplexen Pole eine Aussage über das 
Verhalten des Systems im Zeitbereich machen?

Vielen Dank nochmal!!!

Autor: Zefix (Gast)
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ja, du musst dir nur merken, Polstellen der rechten WOK Ebene
immer durch eine Reglernullstelle zu kürzen.

Autor: Guido (Gast)
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Hallo Matthias,

so bald Du Dein System mittels einer gebrochen rationalen 
(Übertragungs-)Funktion F(p)=Z(p)/N(p) charakterisieren kannst, 
beschreiben die Nullstellen der Polynome Z(p) und N(p) das System 
vollständig. Beachte: Nullstellen von N(p) sind Pole von F(p).

> Kann man also anhand der Lage der komplexen Pole eine Aussage über das
> Verhalten des Systems im Zeitbereich machen?

Aus der Lage der Pole und Nullstellen resultiert folglich F(p).

Die inverse Laplacetransformierte von F(p) ergibt die Impulsantwort h(t) 
des Systems im Zeitbereich.

Die inverse Laplacetransformierte von (1/p)*F(p) ergibt die 
Sprungantwort a(t) des Systems im Zeitbereich.

Falls jemand eine Anschauliche Erklärung für den Zusammenhang zwischen 
der Lage der Nullstellen und Pole und dem Verhalten des Systems im 
Zeitbereich hat bitte hier posten.

Mit freundlichen Grüßen
Guido

Autor: Zefix (Gast)
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Es wurde bereits Routh-Hurwitz und Nyquist als
Kriterien der BIBO-Stabilität genannt.
Diese Kriterien sind notwendig und hinreichend.
Wenn der Thread-Ersteller mit diesen nichts
anfangen kann sollte er in ein anderes Gewerbe
wechseln und erkennen, dass nicht nur Systeme
beschränkt sein können ...

Autor: Guido (Gast)
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Hallo,

@Zefix
Du hast Recht, die Kriterien für ein stabiles System sind bereits 
ausreichend dargelegt.

@All
Dennoch wäre eine anschauliche Erklärung des Zusammenhangs zwischen Pol- 
und Nullstellendiagramm eines Systems und Impuls- bzw. Sprungantwort des 
Systems "schön".

Mit freundlichen Grüßen
Guido

Autor: Andreas T. (megagad)
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immer freundlich bleiben.... Ich habe hier nie nach Stabiltät gefragt.

Sondern nach den Systemeigenschaften aufgrund der Lage der Pole. Das 
Stabilität auch dazugehört hast du ja mehr als deutlich gemacht.
Das System kann überkritisch gedämpft, kritisch gedämpft, gedämpft ohne 
Resonanzüberhöhung, gedämpft mit Resonanzüberhöhung .... usw. sein.

Falls ich mich irre oder für manche Herren nicht professionell genug 
ausdrücke, dann tut es mir leid und ich beende das hier an dieser 
Stelle. Ich lasse mich nicht anpöbeln.

Allen anderen Danke ich für die Hilfe. Danke!

Autor: paul (Gast)
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Es gibt Bücher über Schwingungslehre/Regelungstechnik dort wird es sehr 
breit behandelt.

Komplexe Polstellen:
Stichwort Einschwingverhalten.
Das System schwingt bei Sprungantwort. Je nach "Dämpfung" sogar relativ 
lange bzw viele Schwingungen, bei dir ist die Dämpfung relativ schlecht. 
Aus dem "Winkel" zwischen Polstelle und Re Achse lässt sich das 
(relative) Schwingvrehalten bestimmen, also wieviele Perioden das System 
schwingt. (z.B. ab wann es sich nicht mehr als 5% vom Endwert entfernt)

Nullstellen:
Stichwort
-relativer Grad
Wie glatt die Sprungantwort bei t=0 sich verhält.
-Minimalphasigkeit
Falls Nullstellen mit Re>0: "Inverse Response Behavior"


Im Frequenzbereich:
Komplexe Pole: i.d.R. ein Resonanzverhalten
(Komplexe) Nullstellen "Antiresonanz"

Autor: Guido (Gast)
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Hallo,

[off topic]

@Matthias

> immer freundlich bleiben.... Ich habe hier nie nach Stabiltät gefragt.

ich war doch immer freundlich ;-)
Naja, wenn Du über Systeme und

> Schwingt das immer irgendwie...

schreibst landet man (in diesem Fall ich) doch recht schnell bei dem 
Thema Stabilität.

> ...dann tut es mir leid und ich beende das hier an dieser Stelle.

Gib doch nicht so schnell auf! Der Umgangston in diesem Forum ist leider 
nicht immer freundlich. Es gibt hier mitunter doch recht ungeduldige 
"Gesellen". So nach dem Motto "Was du kapierst das nicht, dann lass es 
lieber sein". Ich frage mich nur immer: Haben die nie klein angefangen? 
Nach meiner Beobachtung ist insbesondere der Tonfall von nicht 
angemeldeten Benutzern mitunter recht unfreundlich. In der Anonymität 
motzt es sich wohl besser. Vielleicht sollte man draus Konsequenzen 
ziehen und nur noch angemeldete Benutzer zulassen?

[/off topic]

@paul

genau die Sachen, die Du ansprichst sind interessant. Kannst Du hierfür 
Literatur empfehlen?

Mit freundlichen Grüßen
Guido

Autor: Andreas T. (megagad)
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@Guido
Sorry. Dich meinte ich damit natürlich nicht.

@paul
Vielen Dank für die Hinweise. Das hat mir jetzt schon wirklich 
weitergeholfen. Ich habe direkt was passendes dazu gefunden.

Autor: Guido (Gast)
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Hallo  Matthias,

darf ich fragen was du passendes gefunden hast?

Mit freundlichen Grüßen
Guido

Autor: Andreas T. (megagad)
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Buch "Aktive Filter und Oszillatoren" aber wie paul schon sagte, steht 
das sicher in vielen Büchern zu Schwingungslehre/Regelungstechnik.
Ich wusste nur nicht wonach ich genau zu suchen hatte.

Autor: Guido (Gast)
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Hallo Matthias,

danke für die Info. Werde mir das Buch kommende Woche einmal ausleihen.

Mit freundlichen Grüßen
Guido

Autor: Ulrich212 (Gast)
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Hallo zusammen,

ich kämpfe mit ähnlichen Problemen. Ich approximieren eine 
Übertragungsfunktion in einem gewissen Frequenzbereich durch ein Polynom 
und berechne dann die Null- und Polstellen der Funktion.

Angenommen, ich approximiere in einem Frequenzbereich f1-f2, kann ich 
dann aus der Lage der Nullstellen bestimmen, ob diese überhaupt einen 
Einfluß auf meinen gewählten Frequenzbereich haben? Wenn ich z.B. in 
einem niederen Frequenzbereich (z.B. 0..10kHz) meine Funktion 
approximieren, eine gefundene Nullstelle jedoch bedeuten würde, dass sie 
erst im Bereich >100kHz wirksam ist, könnte man diese ja einfach 
vergessen.

Deshalb die Frage: Kann man aus der Lage einer komplexen Nullstelle auf 
den Frequenzbereich bzw. auf Zeiten schliesen, welche die Nullstelle 
beeinflusst?

Danke für jede Antwort für mich Anfänger

Uli

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