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Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik Laplace Rücktransformation eines TP 2.Ordnung


Autor: Yücel Atalay (yuetzi)
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Hallo!

Ich komme nicht weiter...

Kann mir vielleicht jemand die Formel Rücktransformieren??? Ich versuche 
es schon seit so langem und es kommt immer etwas falsches raus...

Danke

Autor: mache (Gast)
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einfach mal Ua/Ue aufstellen... braucht man dann eingentlich nicht 
rücktransfromieren.

Autor: Yücel Atalay (yuetzi)
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Das habe ich nicht verstanden. Meinst Du: H(s)= Ua / Ue ...???

Autor: Yücel Atalay (yuetzi)
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P.s. In  der Tat brauche ich eigentlich nicht die Rücktransformation, 
sondern Ua. Das vielleicht noch als Hinweis.

Autor: Sepp (Gast)
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Über Rücktransformieren kommst du auch auf die Lösung. Dazu musst du 
aber eine Partialbruchzerlegung machen.

Autor: Yücel Atalay (yuetzi)
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Danke für Deine Antwort.

Wenn ich nicht Rücktransformiere, was ist dann die Lösung für Ua???

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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>Wenn ich nicht Rücktransformiere, was ist dann die Lösung für Ua???

Das hatte ich dir schon mal geschrieben.
Sowohl im Komplexen auch als Betragsfunktion.

Autor: Yücel Atalay (yuetzi)
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Hallo Helmi!

nach dem ich die Frage hier gestellt habe, ist das mir auch klar 
geworden.

Ich habe ja nun die Formel im Bildbereich. Wenn ich im Bildbereich nun 
den Wert von Ua haben möchte, was muss ich nun tun? Ich weiß, dass ich 
am Ende wieder in den Zeitbereich transformieren muss.

Autor: Kevin K. (nemon) Benutzerseite
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1/(s²+2dws+w²) zurücktransformiert ist

(1/sqrt(1-d²)w) * e^(-dwt) * sin(sqrt(1-d²)wt) * sigma(t)

Autor: Yücel Atalay (yuetzi)
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Hallo Kevin,

ich kann nicht nachvollziehen, was

1/(s²+2dws+w²)

mit der im Anhang aufgeführten Formel für H(s) zu tun hat.

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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Nun du hast die Ubertragungsfunktion:

H(s) = 1/(s^2*T1*T2 + s*(T1+T2+T3) + 1)

die formst du erstmal so um das s^2 alleine steht.
                   1                             1
H(s) = -------------------------------------- * ----
       S^2 + s*(T1+T2+T3 / T1*T2) + 1/(T1*T2)   T1*T2

Jetzt kommt noch die L-Transformierte der Sprungfunktion hinzu.

also

        Ue(s)
Ua(s) = ----- * H(s)
          s


Ergibt ausgeschrieben

       Ue(s)              1
H(s) = ----   *   -------------------------------------------
       T1*T2      s*( S^2 + s*(T1+T2+T3 / T1*T2) + 1/(T1*T2))

Jetzt fuehrst du folgende Abkuerzungen ein
    T1+T2+T3
a = ---------
      T1 * T2

b^2 = 1/(T1 * T2)

ergibt folgende Gleichung

             1
  -------------------------
  s*(s^2 + s  2  a + b^2)

Diese Gleichnug suchst du jetzt im Bildbereich der Laplace Tabelle.

Da kommen dann im Zeitbereich 2 Loesungen raus.

bei a / b > 1

 1         s2 * exp(s1*t)   s1 * exp(s2*t)
----* (1 + -------------- - -------------- )
 b^2       2*w               2* w


mit w = sqrt(a^2 - b^2)  , s1,2 = -a +-w

bei a/b < 1

  1
----- * (1-(cos(W*t) + a/W * sin(W*t)) * exp(-a*t))
b^2

mit W = sqrt(b^2-a^2)

diese Gleichung jetzt mit Ue/(T1*T2) multipliziert ergibt deine 
Zeitfunktion.

So ich hoffe das ich jetzt keine Fehler gemacht habe.
Du muesstest mal ein Buch ueber die Laplacetrafo durcharbeiten.
Wie du siehst ist das ganze ein bisschen aufwendig. Viel Spass bei 
Systemen 3. und hoehere Ordnung.

Autor: Yücel Atalay (yuetzi)
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Also, ich muss schon echt sagen...

Das ist der beste Forum, den man so im Internet finden kann. Hier wird 
man geholfen!

Danke an alle.

Autor: Kevin K. (nemon) Benutzerseite
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Yücel Atalay schrieb:
> Hallo Kevin,
>
> ich kann nicht nachvollziehen, was
>
> 1/(s²+2dws+w²)
>
> mit der im Anhang aufgeführten Formel für H(s) zu tun hat.

ja, die Antwort ist etwas knapp ausgefallen. Deshalb hier noch eine 
Erklärung: zunächst wolltest du die Übertragungsfunktion 
rücktransformieren. Zwar ist dies in der Regel nicht das, was gewollt 
ist, jedoch bezieht sich meine Antwort auf diesen Fall. Du hast ein 
nicht schwingfähiges PT2-System vorliegen. Für dieses System gibt es 
eine Dämpfung und eine Eckfrequenz. Die Dämpfung wird oft mit D 
abgekürzt, die Eckfrequenz in der Regel mit Omega0, ich habe hier den 
Buchstaben w gewählt. Für solch ein häufig vorkommendes System gibt es 
in Formelsammlungen schon die passende Rücktransformierte für. Dazu 
bringst du deine Übertragungsfunktion auf die Form 1/(s²+2dws+w²). 
Konstanten, die beim Ausklammern entstehen, schreibst du einfach vor den 
Bruch und schleppst diese einfach bis zum Ende mit. Sobald deine Formel 
steht, schaust du, was dein w² ist und ermittelst daraus das w. Dann 
schaust du, woraus sich dein 2Dw zusammensetzt, setzt w ein und bekommst 
dein D raus. Dies setzt du dann in die Formel ein, die ich dir oben 
genannt habe und erhälst deine Übertragungsfunktion im Zeitbereich.

Helmut hat das gemacht, was du vermutlich eigentlich willst, undzwar 
ausgerechnet, wie sich dein System verhält, nachdem du es mit einem 
Eingangssignal, hier dem Eingangssprung angeregt hast, der Eingang also 
bei t=0 von 0 auf 1 springt und auch so bleibt. Dazu multiplizierst du 
im Frequenzbereich die ÜTF und die in den Frequenzbereich transformierte 
Eingangsfunktion. Für den Einheitssprung ist das 1/s * sigma(t). 
Sigma(t) ist dabei eine Funktion, die für t<0 = 0 ist und für t>=0 = 1. 
Um das Ausgangssignal im Zeitbereich zu bekommen, bildest du von dem 
Produkt die Rücktransformierte, was u.u. aufwändig sein kann. Tafelwerke 
helfen da gelegentlich noch weiter, manchmal muss man aber auch selbst 
rechnen.

@Helmut:
müsste es nicht
    T1+T2+T3
a = ---------
    2*T1 * T2
heißen?

Autor: Helmut Lenzen (helmi1)
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>müsste es nicht
>    T1+T2+T3
>a = ---------
>    2*T1 * T2
>heißen?

Stimmt hatte ich uebersehen. Wie gesagt wird das immer aufwendiger und 
man uebersieht leicht etwas.

Autor: Yücel Atalay (yuetzi)
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@Kevin:

Einige Dinge verstehe ich nicht ganz, und zwar

"Sobald deine Formel
steht, schaust du, was dein w² ist..."

Soll ich (s²+2dws+w²) gleich 0 setzen und dann nach w^2 bzw. w auflösen?



"Dann
schaust du, woraus sich dein 2Dw zusammensetzt"

Hier dann auch 2Dw=0 ?




Danke noch für die ausführliche Erklärung

Autor: Klaus (Gast)
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Der Tipp heisst Koeffizientenvergleich...

Autor: Yücel Atalay (yuetzi)
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Wie berechnet sich denn eigentlich tau bei einem doppel RC-Glied???

Autor: Kai Klaas (Gast)
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@Yücel
>Wie berechnet sich denn eigentlich tau bei einem doppel RC-Glied???

Warum eröffnest du denn einen neuen Thread, wenn du wieder auf die 
gleichen Fragen zurückkommst??

Beitrag "Tiefpass mit PWM"

Ich hatte dir da ein paar Fragen gestellt, die du bis jetzt nicht 
beantwortest hast...

Kai Klaas

Autor: Yücel Atalay (yuetzi)
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ja hast recht. Eigenltich wollte ich nach etwas Anderem fragen, und 
zwar:

Wie groß ist tau, wenn die Versorgung eine PWM ist?

Im Anhang ist tau mit R1 * C2 angegeben. Wegen der PWM berechnet sich 
tau anders. Ich habe das Ganze simuliert und ich bekomme einen anderen 
Wert für tau.

Autor: Yücel Atalay (yuetzi)
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@Kai:

Ich nahm an, dass deine Fragen eher Hilfestellungen waren und nicht 
unbedingt direkt von mir beantwortet werden mussten. Die haben mir aber 
geholfen.

Gruß

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