Filter mit einer Linearen Phase

Filter mit linearer Phase haben eine konstante Gruppenlaufzeit.

und warum ist die konstante Gruppenlaufzeit wichtig?

Weil alle Signalanteile genau dieselbe Verzögerung durch das Filter
erfahren???

Genau deswegen!
Die konstante Gruppenlaufzeit ist bei der Bildverarbeitung sehr wichtig 
und bei Akustik nicht wirklich wichtig. Diese beiden Tatsachen liegen in 
der Natur des Menschen.

Und wenn im Phasengangplot die Phase konstant ist.
Heisst es dann die Gruppenlaufzeit ist Null?

Ja!

Wenn die Phase konstant ist, dann ist auch ihre Steigung = 0 und damit 
auch die Gruppenlaufzeit = 0

Folgende These:

Bei Filter ohne lineare Phase wird ein Rechtecksignal zu einem Signal 
mit Schwingungen an den Kanten.
Bei einem Filter ohne lineare Phase wird das Rechecksignal nur 
abgerundet.

@Herbert: Nein, das ist Käse. Wahrscheinlich spielst Du auf Gibbs 
Phänomen an, bei dem eine Rekonstruktion über eine Fourierreihe mit 
nicht genügend Koeffizienten zu solch einem Verhalten führt.

Filter mit einer linearen Phase kann man sich gedanklich aufteilen in 
ein Filter mit der Phase identisch Null (d.h. für alle Frequenzen Null) 
und ein Totzeitglied, also einem System, das einfach nur eine 
Verzögerung darstellt.

Wenn man sich im Folgenden nur das System mit der Phase identisch Null 
anschaut, so kann man sagen, dass
1.: Ein solches Filter eine reellwertige Übertragungsfunktion hat (da 
Phase Null), und
2.: die dazugehörige Impulsantwort symmetrisch zu Null ist (Symmetrie im 
Ursprungsbereich entspricht Reelwertigkeit im Bildbereich und 
umgekehrt).

Da eine Faltung eines symmetrischen Signals mit einer symmetrischen 
Impulsantwort wiederum symmetrisch ist, kann man allerdings sagen, dass 
die Ecken eines Rechtecks nach links und nach rechts gleich abgerundet 
werden (also so, dass das Endsignal wiederum symmetrisch ist).

Ja genau!
Vielleicht wirds mit Bild klarer:

[Fig 19-7] auf: http://www.dspguide.com/ch19/4.htm

Grüsse

Warum heisst das eigentlich "lineare Phase" - wäre "konstante" Phase 
nicht treffender?

Denn die Phase wird vom Filter ja nicht linear zur Frequenz verändert, 
sondern bleibt konstant..