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Forum: Ausbildung, Studium & Beruf Matrizen berechnen!


Autor: Manuel (Gast)
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Hi Leut vllt könnt ihr mir helfen ich steh total auf dem Schlauch.
Ich weiß das ist kein Matheboard, aber ich habe keine Zeit und Muse mich 
bei einem solchen anzumelden.

Ich habe 2 Aufgaben und keine Plan.
------------------------------------------------------------------------ 
---
A=

1 1 1 5
0 1 1 2
1 0 1 4
1 1 0 3

Diese Matrix soll ich invertieren(Wörtlich: Berechnen Sie die inverse 
Matrix A^-(1))
------------------------------------------------------------------------ 
---
A=

 1  3  0 -4  2
 6 -2  5  0  3
 4  1  0 -2 -1
-4 -3 -5  6 -8

Hier soll ich den Rang!?!?!? ermitteln.
------------------------------------------------------------------------ 
---

Wär äußerst nett von euch wenn ihr mir helfen würdet.

Grüße Manuel

Autor: Gast123 (Gast)
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Zur ersten Aufgabe:

1 1 1 5 | 1 0 0 0
0 1 1 2 | 0 1 0 0
1 0 1 4 | 0 0 1 0
1 1 0 3 | 0 0 0 1

aufstellen und dann Gauss-Eliminationsverfahren auf beide Seiten 
anwenden, dass links die Einheitsmatrix entsteht. Ist dies erreicht, 
steht auf der rechten Seite A^-1

Autor: Manuel (Gast)
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Cool Danke. Wusste bisher nicht einmal was ne Blockmatrix ( X | Y ) 
ist^^.
Gauß-Jordan-Algoritmus ist das Stichwort.

Der Rest hier...
http://de.wikipedia.org/wiki/Rang_%28Mathematik%29

wenn ich noch Probleme habe melde ich mich noch einmal...

Autor: Thomas Pircher (tpircher) Benutzerseite
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Zur zweiten Aufgabe: versuche die Matrix mit dem 
Gauss-Eliminationsverfahren auf eine Dreiecksform bringen (alle Elemente 
in der linken unteren Haelfte sind 0).

Der Rang der Matrix ist die Nummer der Zeilen die nicht vollstaendig 0 
sind.

PS: ist es eine Hausaufgabe?

Autor: FlipFlop (Gast)
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die inverse ist ja leicht zu berechnen. der rank ist 3, damit du weißt 
wo du rauskommen musst.^^ es scheint aber so, dass du schon mit dem 
begriff rank nicht viel anfangen kannst.

Autor: D. I. (Gast)
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Thomas Pircher schrieb:
> Zur zweiten Aufgabe: versuche die Matrix mit dem
> Gauss-Eliminationsverfahren auf eine Dreiecksform bringen (alle Elemente
> in der linken unteren Haelfte sind 0).
>
> Der Rang der Matrix ist die Nummer der Zeilen die nicht vollstaendig 0
> sind.
>
> PS: ist es eine Hausaufgabe?

nein sicher nur eine Übung zur privaten Weiterbildung in linearer 
Algebra ;)

Autor: Manuel (Gast)
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So nach dem Abendessen funktioniert das auch viel besser. Okay hat 
soweit alles funktioniert. Vielen Dank bis hierher... so jetzt mach ich 
mir mehr Gedanken darüber was das überhaupt darstellen soll.

Kann mir jemand von euch sagen was ich hiermit anschaulich getan habe? 
Ich glaube wenn ihr zum erklären in der 3ten Dimension bleibt kann ich 
es mir besser vorstellen? Und welche Rolle spielt hier die lineare 
Un-/Abhängigkeit?

Vielen Dank an alle bisher

PS: Jop ist ein Übungsblatt.^^  @Christopher: Stimmt allerdings wär in 
nem Monat nicht schon Prüfung würde ich darauf verzichten...^^

Autor: Sven P. (haku) Benutzerseite
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Naja, du hast halt eine Matrix invertiert... :->

Ne Matrix i.S.v. 'linearer Abbildung' ist eine Bauvorschrift. Du nimmst 
dir irgendeinen Vektor aus einem Raum, haust einmal mit der Matrix 
drauf, und kriegst das Bild deines Vektors in irgendeinem anderen Raum 
heraus.

Existiert die Inverse, so ist diese Abbildung sogar eindeutig: Wenn du 
mit der Inversen auf das Bild draufhaust, kriegst du das Original wieder 
heraus.

Als Bauvorschrift:

Das wäre eine Vorschrift, also eine Matrix Aik, um aus dreidimensionalen 
Vektoren 'irgendwie' zweidimensionale Bilder zu machen: Die erste 
Komponente des Bildvektors besteht dann aus a Teilen von x, aus b Teilen 
von y und aus c Teilen von z:

(Lies: Die Vorschrift bildet jeden Vektor x aus dem dreidimensionalen 
Raum auf einen Vektor Aik*x aus dem zweidimensionalen Raum ab; Aik ist 
die Abbildung, die Matrix).

Folgerichtig kannst du auch zuerst mit der Matrix, dann mit ihrer 
Inversen zuschlagen, dann kriegst du wieder den Originalvektor heraus 
(Vorsicht, Zuschlagen immer von links!):


In der Ebene (zweidimensional) könntest du dir zum Bleistift eine Matrix 
konstruieren, die jeden Vektor auf den Kopf stellt oder spiegelt oder 
dreht.
Folgende Matrix macht garnichts:
Ist die Einheitsmatrix: Aus jedem Vektor macht sie wieder denselben 
Vektor.

Diese hier dagegen würde jeden Vektor durch den Ursprung punktspiegeln:

Du kannst auch (fast) nach Belieben Abbildungen verketten. Etwa Inverse 
* Matrix ergibt wieder eine Abbildung (s.o.).


Nicht so recht hinhauen würde das z.B., wenn die Dimensionen der 
Matrizen nicht zusammenpassen. Bei der Abbildung eines Vektors stellst 
du ja eine Zeile der Matrix neben den Vektor. Hat die Matrix nun aber 
mehr Spalten als der Vektor lang ist, sieht das unschön aus.

Um eine Matrix mit einer anderen Matrix zu multiplizieren, hilft es, 
wenn du weißt: Eine Matrix ist nur eine Sammlung von Einheitsvektoren. 
Einer nach dem anderen (=eine Spalte nach der anderen) wird abgebildet, 
zusammen bilden sie dann wieder eine Matrix.

Autor: Manuel (Gast)
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Achsoooo funktioniert das - wie einfach ;-P...

Omg das muss ich mir erst 2 oder besser 3, 4 mal durchlesen zum 
Verständnis.

Zum Abschuss kommt noch eine Mörderaufgabe... aber in nem anderen 
Thread.

Wer sich traut, darf reinschaun:
Beitrag "LGS für verzweigten Stromkreis erstellen."

Grüße und vielen Dank an alle

Autor: Gastofatz (Gast)
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>Eine Matrix ist nur eine Sammlung von Einheitsvektoren.

...von Bildvektoren von Basisvektoren, nämlich genau diejenigen 
Vektoren, auf die die Ursprungsraum-Basisvektoren im Bildraum abgebildet 
werden. Diese Menge an Information in der Matrix reicht aus, um von 
jedem beliebigen Vektor im Ursprungsraum sein Bild im Bildraum zu 
berechnen, mittels Matrix-Vektor-Multiplikation.

Autor: Sven P. (haku) Benutzerseite
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Gastofatz schrieb:
>>Eine Matrix ist nur eine Sammlung von Einheitsvektoren.
>
> ...von Bildvektoren von Basisvektoren, nämlich genau diejenigen
> Vektoren, auf die die Ursprungsraum-Basisvektoren im Bildraum abgebildet
> werden. Diese Menge an Information in der Matrix reicht aus, um von
> jedem beliebigen Vektor im Ursprungsraum sein Bild im Bildraum zu
> berechnen, mittels Matrix-Vektor-Multiplikation.
Danke, ist natürlich richtig.
Irgendwie bin lag mir 'Basisvektor' auf der Zunge, aber ich kam einfach 
nich drauf. 'Einheitsvektoren' ist hier Käse.

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