Naja, du hast halt eine Matrix invertiert... :->
Ne Matrix i.S.v. 'linearer Abbildung' ist eine Bauvorschrift. Du nimmst
dir irgendeinen Vektor aus einem Raum, haust einmal mit der Matrix
drauf, und kriegst das Bild deines Vektors in irgendeinem anderen Raum
heraus.
Existiert die Inverse, so ist diese Abbildung sogar eindeutig: Wenn du
mit der Inversen auf das Bild draufhaust, kriegst du das Original wieder
heraus.
Als Bauvorschrift:
Das wäre eine Vorschrift, also eine Matrix Aik, um aus dreidimensionalen
Vektoren 'irgendwie' zweidimensionale Bilder zu machen: Die erste
Komponente des Bildvektors besteht dann aus a Teilen von x, aus b Teilen
von y und aus c Teilen von z:
(Lies: Die Vorschrift bildet jeden Vektor x aus dem dreidimensionalen
Raum auf einen Vektor Aik*x aus dem zweidimensionalen Raum ab; Aik ist
die Abbildung, die Matrix).
Folgerichtig kannst du auch zuerst mit der Matrix, dann mit ihrer
Inversen zuschlagen, dann kriegst du wieder den Originalvektor heraus
(Vorsicht, Zuschlagen immer von links!):
In der Ebene (zweidimensional) könntest du dir zum Bleistift eine Matrix
konstruieren, die jeden Vektor auf den Kopf stellt oder spiegelt oder
dreht.
Folgende Matrix macht garnichts:
Ist die Einheitsmatrix: Aus jedem Vektor macht sie wieder denselben
Vektor.
Diese hier dagegen würde jeden Vektor durch den Ursprung punktspiegeln:
Du kannst auch (fast) nach Belieben Abbildungen verketten. Etwa Inverse
* Matrix ergibt wieder eine Abbildung (s.o.).
Nicht so recht hinhauen würde das z.B., wenn die Dimensionen der
Matrizen nicht zusammenpassen. Bei der Abbildung eines Vektors stellst
du ja eine Zeile der Matrix neben den Vektor. Hat die Matrix nun aber
mehr Spalten als der Vektor lang ist, sieht das unschön aus.
Um eine Matrix mit einer anderen Matrix zu multiplizieren, hilft es,
wenn du weißt: Eine Matrix ist nur eine Sammlung von Einheitsvektoren.
Einer nach dem anderen (=eine Spalte nach der anderen) wird abgebildet,
zusammen bilden sie dann wieder eine Matrix.
