Zusammenhang Pol-Nullstellen-Diagramm und Bode-Diagramm

RC1 Gast #1625119
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Hey,

in verschiedenen Beiträgen wurde hier bereits diskutiert, wie man aus 
einem Pol-Nullstellen-Diagramm auf den Bode-Plot schließt.

Mir ist jedoch der Zusammenhang zwischen den beiden Darstellungsformen 
nicht ganz klar: Wieso bedeutet am Beispiel eines TP 1. Ord. ein Pol p = 
- 1/RC ein Abknicken der Amplitude im Bode-Diagramm bei eben dieser 
Frequenz w = 1/RC (Grenzfrequenz)?

Kann jemand eine anschauliche Erklärung zum Zusammenhang zwischen Lage 
der Pole und Nullstellen und dem daraus resultierenden Frequenzverlauf 
geben?

Vielen Dank

RC1

PS: Das "wie" ist mir klar, es geht mir um das "wieso" und "warum". :-)
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Timo P. #1625209
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Im Analogen hast du ja dein G(s) (Laplace) und im digitalen dein G(z). 
Aus beidem kannst Du den Amplitudengang bilden. Bei Laplace durch s=j*w 
und bei der Z-Transformation durch z=e^j*w*T und jeweils den Betrag 
bilden. Nun sollte doch klar sein, wenn man den Bruch des 
Amplitudenganges anschaut was passiert wenn man einen Pol oder eine 
Nullstelle hat. Die Nullstelle steht ja oben, das heisst bei einer 
Nullstelle wird dein Amplitudengang bei dieser Frequenz = 0 (die 
Frequenz wird unterdrückt da 0/was größeres). Beim Pol ist es ja genau 
umgekehrt.

Im analogen ordnerst Du durch die Wahl von R,L & C deine Pole und 
Nullstellen an. Im digitalen ist es ja noch einfacher. Hier kannst Du im 
Z-Bereich direkt deine Übertragungsfunktion beliebig erweitern um 
Frequenzen mit Nullstellen zu unterdrücken. Natürlich sind die 
heuristischen Methoden um Filter zu entwerfen natürlich nicht zu 
empfehlen. Ich wollte Dir nur den Zusammenhang schildern. Hoffe ich 
konnte Dich ein bisschen vorran bringen.

Gruß Timo
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Detlef _. #1626436
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>>Kann jemand eine anschauliche Erklärung zum Zusammenhang zwischen Lage
der Pole und Nullstellen und dem daraus resultierenden Frequenzverlauf
geben?

Ja. Du schaust Dir eine komplexe Ebene an, der Pol liegt auf der reellen 
Achse in der linken Halbebene und zwar bei -1/RC. Nun bewegst Du Dich 
vom Koordinatenursprung ausgehend die komplexe Achse hoch (s=jw!), Dein 
Betragsfrequenzgang ist 1/Abstand des Laufpunktes von der Polstelle. 
Zunächst ändert sich der Abstand recht wenig, bei s=1/RC ist der Abstand 
auf sqrt(2) = 3dB gewachsen (Grenzfrequenz), für große s wächst der 
Abstand linear, also mit 20dB/Dekade.

So schlicht ist das.

Cheers
Detlef
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Peter K. #1632255
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Detlef _a schrieb:
> komplexe Achse

Hi,

Stimmt natürlich alles, jedoch weiss ich nicht ob das klar 
herausgekommen ist deshalb möcht ich nur ergänzen (oder je nachdem 
nochmal betonen) ...

Das "Wandern auf der komplexen Achse" gilt nur für analoge Filter ! Für 
digitale Filter muss man auf dem Einheitskreis entlangwandern !

lg Peter
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