Hallo,
nach dem ich nun über eine Stunde an der Herleitung sass, würde
ich gerne wissen, dass das was ich herausbekommen habe auch stimmt.
v(t) = A1*sin(2*pi/T1*t+phi1) + A2*sin(2*pi/T2*t+phi2)
ich nehme zB an, dass f1 und f2 ganzzahlige Werte haben und
grösser 1 sind. Das hat den Grund, dass die Produkteterme,
die sich bei v(t)*v(t) ergeben, alle mindestens 1-s peridisch sind.
Damit kann ich dann die Definition anwenden, mit Tgem=1.
(Tgem heisst gemeinsame Periode der Kreuzprodukte)
rms(v(t)) = sqrt( 1/Tgem* integral{v(t)*v(t)*dt, von 0 bis Tgem} )
Es ergeben sich viele Produkte, lange Rechnungen ...
Das Ergebnis ist dann
1
rms(v(t)) = sqrt( 0.5 * {
2
A1^2 * (cos^2(phi1) + sin^2(phi1)) +
3
A2^2 * (cos^2(phi2) + sin^2(phi2)) } )
nimmt man speziell an, dass phi1 = phi2 = 0, dann vereinfacht sich das
zu
1
rms(v(t)) = sqrt(0.5*A1^2 + 0.5*A2^2)
also die Wurzel aus der Summe von allen 0.5*Amplitude[i]^2
Wenn ich A2=0 annehme, so steht eben das klassische Ergebnis,
was ich auch nachschlagen kann. Mich interessiert speziell ob
die Formel auch im Fall A2!=0 und phi1=phi2=0 stimmt.
Und ob die Formel im Fall A2!=0 bei allgemeinen Winkeln gilt.
Gruß, Daniel
Daniel -------- schrieb:> Das Ergebnis ist dann> rms(v(t)) = sqrt( 0.5 * {> A1^2 * (cos^2(phi1) + sin^2(phi1)) +> A2^2 * (cos^2(phi2) + sin^2(phi2)) } )>> nimmt man speziell an, dass phi1 = phi2 = 0, dann vereinfacht sich das> zu> rms(v(t)) = sqrt(0.5*A1^2 + 0.5*A2^2)
Die Vereinfachung ist auch dann richtig, wenn phi1 und phi2 von null
verschieden sind, da immer cos^2(x)+sin^2(x)=1 gilt.
Das Ergebnis stimmt aber trotzdem nicht, denn bei A1=A2, T1=T2 und
phi2-phi1=180° müsste 0 herauskommen, was nicht der Fall ist.
Yalu X. schrieb:> Die Vereinfachung ist auch dann richtig, wenn phi1 und phi2 von null> verschieden sind, da immer cos^2(x)+sin^2(x)=1 gilt.
Vor lauter Integrale habe ich das tatsächlich übersehen.
Der Term wird damit ansehenlicher :)
> Das Ergebnis stimmt aber trotzdem nicht, denn bei A1=A2, T1=T2 und> phi2-phi1=180° müsste 0 herauskommen, was nicht der Fall ist.
Das ist mir in der Tat auch aufgefallen und ich habe darüber langer
nachgedacht. Ich meine mich dunkel erinnern zu können (wahrscheinlich
in einem Buch gelesen), dass wenn ein Signal aus mehreren Sinus
Schwingungen besteht, die rms davon gleich sqrt(A[1]^2/2 + A[2]^2/2)
ist.
Das war auch der Grund der Rechung das nachzuweisen. Da ich wie gesagt,
nicht mehr die Quelle weiss, weiss ich nicht ob da auch Verschiebungen
zugelassen waren oder was sonst noch an Nebenbedingungen vorausgesetzt
wurde. Noch bevor ich die Herleitung gemacht habe, fiel mir diese
Ungereihmtheit auf, dass x(t)=0=sin(2pi*f*t)+sin(2*pi*f*t+pi) zu
einem RMS != 0 führt.
Wenn jemand die richtige Formel kennt oder die Voraussetzungen dafür
kennt, her damit :) Wenn ich Zeit dafür finde, protokoliere ich meinen
Gedankengang in Latex und lade es als pdf hoch.
vG, Daniel
ich wollte übrigens daraus später eine Brücke zur Signalleistung über
X(f) bauen. Da |X(f)| gewissermassen die Signalamplitude darstellt,
habe ich mich gefragt ob der Ansatz rms=integral{sqrt(|X(f)|^2/2)df}
mir die Signalleistung bringt. Wenn nur Betrag von X(f) eine Rolle
spielen würde, könnte man angle(X(f)) vernachlässigen, was equivalent
zum Erlauben von Verschiebungen einzelner Sinusschwingungen wäre.
Ich habe mir das auch noch einmal durch den Kopf gehen lassen. Der Fall,
dass beide Frequenzen gleich sind, scheint tatsächlich der einzige zu
berücksichtigende Sonderfall zu sein, also:
Sind die Frequenzen verschieden, hängt der Effektivwert der Summe nur
von den Amplituden der Einzelschwingungen ab, wie du schon herausgefun-
den hast.
Bei nichtkorrelierten Signalen ist das auch klar, da addieren sich immer
die mittleren Leistungen (unabhängig von der Signalform). Ich war mir
aber nicht sicher, ob dies auch für zwei Sinussignale gilt, deren Fre-
quenzen in einem rationalen oder gar ganzzahligen Verhältnis zueinander
stehen.
Ich habe das Ganze nicht komplett durchgerechnet, schätze aber, dass an
irgendeiner Stelle durch ω1-ω2 dividiert wird. An dieser Stelle müsste
der Rechenweg verzweigen.
Danke Yalu. Ich habe gestern auch etwas zusammengeschrieben und jetzt
mal angehängt. Mein Verdacht ist, dass die blau markierte Terme
ausfallen. (aber vielleicht nicht alle)
Der aller erste Term
cos(2pi*f1*t)cos(2pi*f1*t)cos(2pi*f2*t)sin(2pi*f2*t) wird
zum Beispiel 0 weil die Funktion ungerade ist. (wegen einem sinus
Multiplikand)
Dieser glaube ich wird als einziger einen Beitrag zum Integral leisten.
cos(2pi*f1*t)sin(2pi*f1*t)cos(2pi*f2*t)sin(2pi*f2*t)
Weil es eine gerade Funktion ergibt.
(trotz unterschiedlicher Frequenzen im Produkt sin(f1..)*sin(f2..))
Naja heute habe ich etwas anderes zu analysieren :)
Hey noch Was schrieb:> Da der Effektivwert eine nichtlineare Funktion darstellt, ist das> offensichtlich nicht moeglich.
mir ist nicht ganz klar worauf du "das" beziehst. Ich glaube auf das
Nicht-Null Ergebnis als Antwort auf 0-Input eines nicht linearen
Systems(?)
Andererseits darf die Formel
sqrt(0) = sqrt(-1+1) nicht unterschiedliche Ergebnisse liefern.
>Dieser glaube ich wird als einziger einen Beitrag zum Integral leisten.
Mensch wo waren meine Augen ...
3 solche Terme gibt es
andererseits ... wenn f1=f2, dann gibt es Quadratterme, die auf jeden
Fall >0 für alle t sind. Wenn ich mich geirrt habe, und diese 3
Terme doch zu 0 integriert werden, dann erklärt es die
Fallunterscheidung
@Daniel:
Kann es sein, dass in deinem PDF-Dokument beim Übergang von (1) nach (6)
aus Versehen aus der Summe ein Produkt geworden ist?
Ich habe mich auch noch einmal hingesetzt und den Effektivwert komplett
ausgerechnet. Dabei habe ich festgestellt, dass das überhaupt nicht viel
Rechnerei ist, wenn man die richtigen Mittel anwendet (s. Anhang).
Es ist jetzt auch klar, wo die Fallunterscheidung herkommt.
Yalu X. schrieb:> @Daniel:> Kann es sein, dass in deinem PDF-Dokument beim Übergang von (1) nach (6)> aus Versehen aus der Summe ein Produkt geworden ist?
Du hast natürlich Recht. Es ist wie beim Programmieren .. man selbst
erkennt die eigenen Fehler nur schwer und meist zu spät.
> Ich habe mich auch noch einmal hingesetzt und den Effektivwert komplett> ausgerechnet. Dabei habe ich festgestellt, dass das überhaupt nicht viel> Rechnerei ist, wenn man die richtigen Mittel anwendet (s. Anhang).>> Es ist jetzt auch klar, wo die Fallunterscheidung herkommt.
Nach dem üppigen Abendessen habe ich mich mit einem Blatt Papier
zum Ausruhen hingelegt und habe nochmal ab der Fehlerstelle
durchgerechnet.
Ich habe etwas anders gerechnet als Du, und der Rechenweg ist etwas
länger.
Aber das Ergebnis ist dasselbe :) Ich werde wahrscheinlich
morgen/übermorgen
es dokumentieren und hochladen.
Danke nochmal für die Unterstützung
Daniel -------- schrieb:> wie versprochen, hier meine Fassung
Schön!
Ein paar kleine Anmerkungen hätte ich aber noch:
In den Gleichungen 7 und 8 ist beim Quadrieren der Faktor 2 vor dem
dritten Summanden unter den Tisch gefallen. Statt A₁A₂(...) müsste es
2A₁A₂(...) heißen. Dadurch fällt in Gleichung 19 der Faktor ½ weg, und
das Ergebnis stimmt mit meinem überein :)
> Die blau markierten Terme bilden ungerade Funktionen und integrieren> sich zu 0.
Wieso integrieren sich ungerade Funktionen zu 0? In diesem Fall tun sie
es zwar, aber das ist doch allgemein nur dann der Fall, wenn die Inte-
grationsgrenzen symmetrisch zum Nullpunkt liegen. Hier wird aber von 0
bis 1 integriert. Ich hätte das eher damit begründet, dass
2·sin(x)·cos(x)=sin(2x)
ist und auch der Sinus mit der doppelten Frequenz eine ganzzahlige
Anzahl Perioden innerhalb des Integrationsintervalls hat. Deswegen muss
das Integral 0 sein.
Bei den cyanfarbenen Termen sind zwei der Produkte gerade Funktionen,
die beiden anderen ungerade. Auch hier ist es richtig, dass die Interale
0 sind, aber die Begründung kann ich nicht ganz nachvollziehen.
>In den Gleichungen 7 und 8 ist beim Quadrieren der Faktor 2 vor dem>dritten Summanden unter den Tisch gefallen. Statt A₁A₂(...) müsste es>2A₁A₂(...) heißen. Dadurch fällt in Gleichung 19 der Faktor ½ weg, und>das Ergebnis stimmt mit meinem überein :)
das kommt davon wenn man beim Rechnen youtube hört :)
ich habe die korrigierte Version wieder angehängt, damit
niemand die falsche zieht und nacher seinem Lehrer/Prof sagt
... aber da stands doch so
Yalu X. schrieb:> Wieso integrieren sich ungerade Funktionen zu 0? In diesem Fall tun sie> es zwar, aber das ist doch allgemein nur dann der Fall, wenn die Inte-> grationsgrenzen symmetrisch zum Nullpunkt liegen. Hier wird aber von 0> bis 1 integriert. Ich hätte das eher damit begründet, dass>> 2·sin(x)·cos(x)=sin(2x)>> ist und auch der Sinus mit der doppelten Frequenz eine ganzzahlige> Anzahl Perioden innerhalb des Integrationsintervalls hat. Deswegen muss> das Integral 0 sein.
Meine Überlegung war eher so. Die Funktion ist ungerade, periodisch
und über die Periode mittelwertfrei. Wenn ich so eine Funktion
integriere, ist es egal ob von 0 bis T oder von 0+x bis T+x.
Mit der Tabelle will ich eigentlich nur zeigen, dass die Perioden-
eigenschaft erhalten bleibt, wenn ich 2 Funktionen unterschiedlicher
Periodendauern miteinander multipliziere. Aber wahrscheinlich
meinstest Du, die Eigenschaft "mittelwertfrei" nach dem Produkt
nicht erhalten bleibt? Wenn ich ehrlich bin, daran habe ich nicht
gedacht. Hmm :)
Wenn p,q ungleiche Periode haben und mittelwertfrei sind, dann
muss ihr Produkt nicht zwangsläufig mittelwertfrei sein.
Beweisskizze: Aus p(t)=p(t+nT) folgt, dass Spektrum Werte nur
an den diskreten Frequenzpunkten (1/T)*k besitzt. Ebenso auch
q(t). Die Multiplikation wird zur Faltung im Spektrum, also
P(f)*Q(f). P und Q bestehen aus verschobenen delta Funktionen.
Wenn die Perioden verschieden sind, kann durch Summen und
Differenzen trotzdem ein Dirakimpuls an die Stelle f=0 geschoben werden.
Allerdings kann ich das nicht so 100% durchschauen, was genau passiert.
Oder was passiert wenn p,q auf reell begrenzt werden. Ob da
etwas was nach f=0 geschoben wird, nicht von einem anderen Term
zu 0 kompensiert wird ...
Für einen einfachen Fall (p,q bestehen aus der Summe
einiger wenigen Dirakimpulse) wie im angehängten pdf gibt es
keinen DC Anteil.
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