Ein Integral in Form einer konvergenten Reihe darstellen

[Student (Gast)]

Hallo,

ich möchte folgendes zeigen:

$$\int_{0}^{1}x^{-x} dx = \sum_{k = 1}^{\infty} k^{-k}$$

Vermutlich muss der Zusammenhang

$$x^{-x}=EXP(-x \cdot ln x)$$

 die Exponentialreihe und das Majorantenkriterium angewendet werden.

Hat jemand einen Tipp?

Student

[Thomas S. (tsalzer)]

Du möchtest zeigen, Ich möchte SEHEN....

ts

[Purzel H. (hacky)]

Ich geb mal als Vorlage :
Exp(x) := Sum(n:=0-inf, (x^n)/n!)

Mach weiter.

[Johann L. (gjlayde)]

Student schrieb:
> ich möchte folgendes zeigen:

Wie kommst du eigentlich auf diese Gleichung? Die ist ja keineswegs 
offensichtlich...

Nach dem Integralkriterium ist zwar (x^(-x) ist mofa für x >= 1/e)

$$\int_1^\infty \! x^{-x}\, dx \leqslant \sum_1^\infty k^{-k}$$

aber ich sehe nicht wie man das hier brauchen könnte. Zudem herrscht in 
der Zeile bestimmt keine Gleichheit.

Ich würd auf ein Parameterintegral tippen, aber wie das aussah kann man 
nur raten :-)

Ne andere Idee wäre mehrfache partielle Integration von

$$\int_0^1 \! 1\cdot x^{-x}\, dx$$

und schauen, ob da Summanden der gesuchten Form entstehen und das 
Restintegral gegen 0 geht mit der Anzahl der Integrationen. Evtl. auch 
mit x oder 1/x als Faktor.