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Forum: Analoge Elektronik und Schaltungstechnik Experten- bzw. Knobelfrage: Nichtlineare Bauteile - etwas für die Profis


Autor: Maxwell_X (Gast)
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Servus,

ich bin neu hier im Forum und habe gleich mal eine sehr spezielle Frage 
aus dem Bereich der Schaltungssimulation, die es scheinbar in sich hat.
Simuliert werden soll folgendes, auf den ersten Blick sehr einfaches 
Modell.

Hierbei handelt es sich um eine Stromquelle, welche einen sinusförmigen 
Strom in das Netzwerk einprägt, einen normalen, linearen Widerstand R1 
sowie einen nichtlinearen Widerstand R2. Die Spannung über dem 
nichtlinearen Widerstand soll folgender Abhängigkeit genügen:

U = Konstante1/I + Konstante2,

was soviel heißt, wie mit abnehmendem Strom über dem Element, soll die 
Spannung entsprechend der Gleichung ansteigen. Diese ungewöhnliche 
Charakteristik, verursacht die Probleme.

Nun sieht es so aus, als ob die Lösbarkeit des Systems nur für bestimmte 
Werte des Quellenstromes und des Parallelwiderstands gegeben ist. Für 
eine bessere Anschaulichkeit, nehmen wir die Quelle zunächst als 
Gleichstromquelle an und lösen das Problem iterativ auf dem Papier. Geht 
man  beispielsweise zunächst davon aus, dass der gesamte Quellenstrom 
durch den nichtlinearen Widerstand fließt, so gibt es zwei 
Möglichkeiten:

1)  Der Quellenstrom ist ausreichend groß und es kann sich ein 
stationärer Endzustand einstellen, die Lösung konvergiert.
Man errechnet sich die Spannung aus dem angenommen Strom durch R2, nimmt 
dann an, dass diese Spannung auch über dem Parallelwiderstand anliegt 
und berechnet daraus den Strom durch den Parallelwiderstand R1. Im 
nächsten Schritt korrigiert man den Strom durch den nichtlin. Widerstand 
(dieser muss ja nun kleiner geworden sein), womit die Spannung wiederum 
größer geworden ist. Diese nun größere Spannung liegt auch wieder über 
R1 an, was erneut einen größeren Stromfluss zur Folge hat und so geht 
das Spiel dann weiter bis sich ein stationärer Endwert eingestellt hat.

Der Strom durch den Parallelwiderstand R1 wird während dem 
Iterationsprozess also stetig größer, der Strom durch R2 entsprechend 
kleiner.
Die Voraussetzung für einen stat. Endwert ist also ein ausreichend 
großer Quellenstrom.

In Folge dessen, scheint also für die Lösbarkeit des Systems ein unter 
Grenzwert für den Quellenstrom sowie für den Parallelwiderstand zu 
existieren.

Dies würde jedoch bedeuten, dass das System mit sinusförmiger Anregung 
grundsätzlich unlösbar ist, weil dieser untere GW dann periodisch 
unterschritten würde!?

2)  Der Quellenstrom oder der Parallelwiderstand ist nicht ausreichend 
groß und der stationäre Endwert kann sich nicht einstellen, weil der 
Parallelwiderstand durch die hohe Spannung einen größeren Strom fordert, 
als die Quelle liefern kann. In diesem Fall konvergiert die Lösung 
nicht.

Mein Verdacht bestätigt sich scheinbar auch durch meine 
Simulationsergebnisse.

Meine Frage ist nun: Was haltet ihr von der Problematik?

Eigentlich wird ein sehr ähnliches System durch eine angeblich lösbare 
DGL beschrieben, doch falls diese DGL tatsächlich lösbar ist, müsste 
doch auch eine Simulation brauchbare Ergebnisse ausspucken!?

Oder habe ich in meiner Argumentation irgendwo einen Denkfehler?

Über eine brauchbare Antwort würde ich mich wahnsinnig freuen.

Viele Grüße

Autor: Helmut S. (helmuts)
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U = Konstante1/I + Konstante2

Also bei I=0 ist U unendlich.
So etwas funktionirt auch in einer theoretischen Berechnung nicht oder 
diese Berechnung war schlichtweg falsch.

Autor: S-Parameter (Gast)
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Wenn du nur für ein bestimmtes Intervall um den AP
die Betrachtung machst, müsste es eigentlich gehen.
So wie ich das sehe, ist das System aber instabil
(ist schon recht spät, muss ich mir morgen früh nochmal
anschauen)

Autor: Kirk (Gast)
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Ich denke mal von einer anderen Seite :

Der Widerstand R2 hat doch einen Maxmialwert(unendlich) 
Konstante2+Konstante1/I_min {0} )
und einen Wert der Minmal ist (Konstante2+ {0} Konstante1/I_max 
{unedlich} )
Für diese Beiden Werte gilt es nun die Grenzen des Systems 
festzustellen.

Die Quelle kann ja nur einen maximalen Wert an Strom liefern.(Je nach 
Einstellung der Simulation )

Ich denke das diese Problematik nicht so einfach lösbar ist wenn nicht 
bekannt ist welche Quelle (I_max) und welche Konstanten vorhanden sind.

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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> U = Konstante1/I + Konstante2
Allgemein bekannt ist, dass U=R*I ist. Deshalb muß die Konstante1 eine 
Dimension von ΩA² (VA, Watt) haben. Das ist kein "normales" passives 
Bauteil (schon überhaupt kein Widerstand, denn der hätte als Dimension 
ja nur Ω), da muß eine aktive Komponente vergraben sein...

Autor: Michael Roek (mexman) Benutzerseite
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Hallo Maxwell,

wo ist das Problem?

Ich schreibe der Kuerze halber Konstante1 als K1.
Und **2 heisst Quadrat (habe auf meiner Tastatur nichts besseres)
Der Strom durch R2 sei I2, der durch R1 sei I1.


I = I1 + I2
I2 = K1/(U-K2) ........aus Deiner Ausgangsgleichung fuer R2
I1 = U/R1 + K1/(U-K2)

Es ergibt sich eine DGL 2. Grades

U**2 - U*(K2-(I1*R1)) = - (R1*K1) - (I1*K2*R1)


Die ist mit mathematischen Bordmitteln zu bearbeiten. Hier habe ich 
aufgehoert, aber die Determinante zeigt ob loesbar und wenn, dann lassen 
sich die Loesung(en) ermitteln.

Oder hab' ich was falsch gemacht?



Gruss

Michael

Autor: Tommi (Gast)
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R2 ist ja sowas wie ne Diode in Durchlassrichtung betrachtet, wobei 
Konstante2 dann die 0,7V (Si) wären.
D.h. ist die Spannung, die an R1 unter der Annahme, dass der ganze Strom 
durch R1 fließt, abfällt, kleiner als Konstante2, dann sperrt R2. Im 
anderen Fall (nicht sperrend) nimmst du deinen Algorithmus.

Autor: Tommi (Gast)
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@mexman

Die Abhängigkeit

U_R2 = Konstante1/I + Konstante2

gilt meinem Verständniss nach nur für U_R1 > U_R2.
Wäre U_R2 kleiner und die Beziehung würde immernoch stimmen, dann wäre 
es ja selbst eine Quelle.

Autor: Lothar Miller (lkmiller) (Moderator) Benutzerseite
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> gilt meinem Verständniss nach nur für U_R1 > U_R2.
Aufgrund der Schaltung gilt garantiert immer U_R1 = U_R2

Einfach mal angenommen, das Ganze wird durch einen sinusförmigen Strom 
angeregt, der auch mal 0 werden kann, dann sieht man, dass das Ganze 
eine theoretische Spielwiese ist:
>>> U = Konstante1/I + Konstante2
Denn was wird hier passieren, wenn I=0 wird?
Das Bauteil R2 neigt schon bei Lagerung ohne Strom zur 
Selbstzerstörung...  :-o

Autor: A. K. (prx)
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Helmut S. schrieb:

> Also bei I=0 ist U unendlich.

Plus oder minus unendlich? ;-)

Die intuitive beliebte Annahme, das Ergebnis einer Division durch 0 sei 
Unendlich, ist mathematisch nicht zulässig. Daher lässt sich dieses 
Problem mathematisch nicht vollständig beschreiben, ohne das Verhalten 
an der Stelle 0 ersatzweise irgendwie festzulegen. Das dies hier nicht 
erfolgt ist lässt es sich allenfalls in Teilbereichen ohne I=0 lösen - 
und es erfordert bei Simulation die Definition eines Anfangspunktes 
|I|>0.

Autor: Tommi (Gast)
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@Lothar Miller

Du hast natürlich recht. Was ich meinte:
Die Abhängigkeit U_R2 = Konstante1/I + Konstante2
gilt nur für U_R1 > Konstante2. Für U_R1 < Konstante2 ist I_R2 = 0.

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Lothar Miller schrieb:
> Einfach mal angenommen, das Ganze wird durch einen sinusförmigen Strom
> angeregt, der auch mal 0 werden kann, dann sieht man, dass das Ganze
> eine theoretische Spielwiese ist:
>>>> U = Konstante1/I + Konstante2
> Denn was wird hier passieren, wenn I=0 wird?

Wenn der Strom I1 der Quelle 0 wird, muss dies ja nicht unbedingt auch
für den STrom durch R2 gelten. Deswegen darf I1 bei geeigneter Wahl von
k1, k2 und R1 durchaus 0 werden, ohne dass die Schaltung explodiert.

> Das Bauteil R2 neigt schon bei Lagerung ohne Strom zur
> Selbstzerstörung...  :-o

Dann lagerst du das Bauteil nicht ordnungsgemäß ;-) Wie jedes andere
empfindliche Bauteil muss auch dieses in leitfähigen Schaumstoff o.ä.
gesteckt werden. Wenn k1>0 ist, darf der Widerstand des Schaumstoffs
zwischen den beiden Anschlüssen maximal
betragen.

Und Vorsicht: Der schützende Schaumstoff darf erst entfernt werden, wenn
die Schaltung fertig aufgebaut ist, sonst knallt's ;-)

Dass die Schaltung mit geeigneten Parametern stabil laufen kann, zeigt
die Simulation im Anhang. Eine der Stabilitätsbedingungen ist

Es gibt möglicherweise noch weitere Bedingungen, die erfüllt sein
müssen, dazu muss man aber hässliche quadratische Ungleichungen lösen,
wozu ich gerade weder Lust noch Zeit habe ;-)

Autor: Michael Roek (mexman) Benutzerseite
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> U = Konstante1/I + Konstante2
>
> Also bei I=0 ist U unendlich.

Das ist ein Irrtum!
Nicht die Spannung wird unendlich sondern der Widerstand. Und einen 
unendlichen Widerstand kann sich ja wohl jeder vorstellen.....



Gruss

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Michael Roek-ramirez schrieb:
> Nicht die Spannung wird unendlich sondern der Widerstand.

Beides wird unendlich, der Widerstand allerdings noch unendlicher als
die Spannung ;-)

Aber wie ich schon oben geschrieben habe, lässt sich dieser Fall durch
geeignete Dimensionierung vermeiden.

Autor: Stephan (Gast)
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Und wenn man statt der realen Stromquelle aus I1+R1 ne äquivalente reale 
Spannungsquelle macht...

U1 = I1/R1
U2(R2) = Konstante2 + Konstante1/I(R2)

dazwischen ein Widerstand von 10 Ohm (R1).

Das gibt zu keinem Zeitpunkt unendliche Spannungen oder Ströme. Der 
Strom durch U2(R2) wird aber auch nie 0.

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