http://www.heise.de/newsticker/meldung/P-NP-moeglicherweise-bewiesen-1052857.html
Koennt schon sein ... die Natur arbeitet ja auch mit stochastischen Algorithmen. Was ist die Genetik anderes wie ein stochastischer Algorithmus ? Das waer die Antwort - was war die Frage ?
Vorsicht: Der Satz "Sie [die nichtdeterministische Turing-Maschine] entscheidet sich bei jedem Rechenschritt zufällig für einen von mehreren möglichen Wegen, die Berechnung fortzusetzen;" ist nicht richtig. Die NTM entscheidet sich nicht zufällig für einen der möglichen Wege, sondern führt, bildlich gesprochen, alle möglichen Wege parallel aus. Deswegen gibt es Probleme, die eine NTM in polynomieller Zeit lösen kann, für die der beste bisher gefundene DTM-Algorithmus aber exponentielle Zeit braucht. Bisher war allerdings nicht klar, ob die gefundenen DTM-Algorithmen wirklich die besten sind, oder die genannten Probleme vielleicht auch von einer nichtparallelisierenden DTM in polynomieller Zeit gelöst werden können. Das hätte bedeutet, dass die NTM bei dieser Klasse von Problemen (auch NP-vollständige Probleme genannt) keinen Vorteil gegenüber der DTM hätte. Hätte man für ein einziges NP-vollständiges Problem einen Algorithmus gefunden, der auf einer DTM (und damit auch auf einem realen Computer) in polynomieller Zeit abläuft, hätte man auf einen Schlag auch für alle anderen bewiesenermaßen NP-vollständigen Probleme Algorithmen mit dieser Eigenschaft konstruieren können. Damit wären alle Probleme in NP auch in P, so dass NP=P wäre. Nach den neuesten Erkenntnissen scheint dies aber nicht der Fall zu sein. Wenn der Beweis stimmt, müssen uns also damit abfinden, dass die NP-vollständigen Probleme auf einem realen Computer auch in Zukunft nur in exponentieller Zeit gelöst werden können. Ha-jetzt Aber schrieb: > die Natur arbeitet ja auch mit stochastischen Algorithmen. Aus den ganannten Gründen hat eine NTM nichts mit stochastischen Algorithmen zu tun. Letztere lassen sich auch auf einem realen Computer ausführen, bringen aber nicht die gewünschte Komplexitätsverringerung von exponentiell nach polynomiell.
Ja diese Fakten sind mir noch aus meiner Theoretischen Informatik Vorlesung bekannt. Hehe ich stelle mir gerade das Szenario vor, was er wohl getan hätte wenn er einen Algorithmus für NP=P gefunden hätte. Ich hätte da wohl mit einer Veröffentlichung gewartet und wäre erstmal groß mit Online Banking einkaufen gegangen :D
Yalu X. schrieb: > Die NTM entscheidet sich nicht zufällig für einen der > möglichen Wege, sondern führt, bildlich gesprochen, alle möglichen Wege > parallel aus. Sie entscheidt sich immer für den richtigen Weg, dann braucht man garnicht alle Wege folgen ;) D. I. schrieb: > Ich hätte da wohl mit > einer Veröffentlichung gewartet Ich hätte dem Algorithmus einen völlig wirren, langen, fast unausprechlichen Namen verpasst den fortan alle Studenten auswendig lernen müßten ;P
Läubi .. schrieb: >> Die NTM entscheidet sich nicht zufällig für einen der >> möglichen Wege, sondern führt, bildlich gesprochen, alle möglichen Wege >> parallel aus. > Sie entscheidt sich immer für den richtigen Weg, dann braucht man > garnicht alle Wege folgen ;) Oder so, das ist eine Interpretationsfrage. In einer laufenden NTM nachschauen, wie sie es wirklich macht, kann man sowieso nicht :) Wenn man schreibt, sie entscheidet sich immer für den richtigen Weg, muss man aber noch weitere Erläuterungen zur Funktionsweise mitliefern, sonst könnte jemand auf die Idee kommen, die NTM löse jedes Problem in O(1), weil sie ja vom Start weg gleich einen Weg einschlagen könnte, der nichts anderes tut, als die richtige Lösung auszugeben (ohne weitere Prüfung). Auch die Abgrenzung zur Orakel-Turingmaschine fällt so etwas schwerer. Da ist die Erklärung mit den parallel ausgeführten Lösungswegen in meinen Augen etwas eingängiger.
Worum geht es eigentlich? ;-) Verstehe kein Wort.
um hypothetische virtueller Mschinen zu Analyse nichtlinearer Prozesse?
>Worum geht es eigentlich? ;-) Verstehe kein Wort.
Um die Frage, ob prinzipiell alle Probleme beliebiger Komplexität durch
einen deterministischen Algorithmus in endlicher Zeit lösbar sind, also
ohne Rückgriff auf Wahrscheinlichkeitsaussagen.
" Brief Bio Born in 1971 in New Delhi, India. Married with two children. Other interests include historical and religious aspects of Hindu Dharma. Indian citizen. " Wenn er Glück hat und die schnell genug mit dem überprüfen sind, dürfte er auch noch eine Fields-Medaille erhalten da er noch unter 40 ist. Interessant ist auch dass er mit 2 Kindern verheiratet ist ;) :D
Frank Bär schrieb: >>Worum geht es eigentlich? ;-) Verstehe kein Wort. > > Um die Frage, ob prinzipiell alle Probleme beliebiger Komplexität durch > einen deterministischen Algorithmus in endlicher Zeit lösbar sind, also > ohne Rückgriff auf Wahrscheinlichkeitsaussagen. Jein, vorweg: der Begriff Nicht-Deterministische Turingmaschine ist u.U. etwas missverständlich... NDTMs sind Turing-Maschinen die, je nach Ansatz, entweder alle möglichen Rechenpfade gleichzeitig ausführen oder mit einem sogenannten "luckiest possible guesser" immer den richtigen Pfad auswählen. D.h. wann (in etwa) eine Aussage kommt ist determiniert, nur nicht der Weg dorthin. Zu NP und P: NP ist die Klasse aller Entscheidungsprobleme die eine NDTM in Polynomialzeit endscheiden kann. P die Klasse, die eine normale, deterministische TM in Polynomialzeit entscheiden kann. Die Frage war bzw. ist ob diese Klassen identisch sind, nicht ob es "schwerere" Aufgaben gibt. Solche Aufgaben gibt es, die zugehörigen Komplexitätsklassen sind bspw. PSPACE, EXPTIME oder NEXPTIME (letztere sind haben Laufzeiten von O(2^P(n). P(n) = Polynom)
Simon K. schrieb: > Worum geht es eigentlich? ;-) Verstehe kein Wort. Salopp gesagt geht es um die Frage, ob für eine bestimmte, wichtige Klasse von Problemen (nämlich der der NP-vollständigen Probleme) Lösungsalgorithmen existieren, deren Zeitaufwand weniger als exponen- tiell mit der Größe des Problems wächst. Ein Beispiel eines NP-vollständigen Problems hängt mit dem 15er-Spiel zusammen, das wohl jeder kennen dürfte: http://de.wikipedia.org/wiki/15-Puzzle Die "Größe" des Problems wird in diesem Fall durch die Erhöhung der Anzahl der Felder bestimmt, die nach Belieben erhöht werden kann Die Aufgabe, die (einige) Informatiker interessiert ist es, einen mög- lichst effizienten Algorithmus zu finden, der bei beliebiger Vermischung der einzelnen Felder die kürzeste Zugfolge liefert, die die Felder wieder in die sortierte Reihenfolge bringt. Alle bekannten Algorithmen basieren im Prinzip darauf, dass erst einmal alle Möglichkeiten für den ersten Zug ermittelt werden, für jeden dieser Züge alle Möglichkeiten für den zweiten Zug usw. Da in jeder Situation 2 bis 4 Züge möglich sind, liegt die Anzahl der Zugfolgen aus k Zügen im Bereich von 2^k bis 4^k. Da bei n Feldern die kürzeste Zugfolge bei guter Mischung aus mindestens die Länge n hat (jedes Feld wird mindes- tens einmal verschoben), wächst die Anzahl der Rechenschritte, die der Algorithmus zur Lösung braucht, exponentiell mit der Anzahl der Felder. Man kann zwar die Anzahl der zu untersuchenden Zugfolgen drastisch reduzieren, aber die exponentielle Abhängigkeit bleibt. Die Frage ist nun, ob es einen Algorithmus gibt, der dieses Problem in polynomieller Zeit löst, so dass die Anzahl der Rechenschritte nur in der m-ten Potenz mit der Anzahl der Felder wächst. Bisher hat noch niemend einen gefunden, allerdings auch nicht bewiesen, dass es keinen solchen Algorithmus gibt. Es gibt noch viele weitere solcher Probleme, die in exponentieller Zeit lösbar sind, wo man aber nicht wusste, ob es nicht vielleicht auch einen polynomiellen Algorithmus gibt. Dazu zählen auch bedeutsamere Probleme wie das Knacken verschlüsselter Nachrichten ohne Kenntnis des geheimen Schlüssels. All diese Probleme fasst man unter dem Begriff "NP-vollständig" zusammen. Zur formalen Definition der NP-Vollständigkeit werden zwei abstrakte Maschinen zur Ausführung von Algorithmen, nämlich die determi- nistische und die nichtdeterministische Turing-Maschine herangezogen. Herr Deolalikar will nun bewiesen haben, dass die NP-vollständigen Probleme auf einer deterministischen Turing-Maschine (die von den Fähigkeiten her einem realen Computer mit unendlich viel Speicher entspricht) nicht in polynomieller Zeit lösbar sind. Das ist zwar schon lange vermutet worden, aber nun ist es amtlich, sofern der Beweis keine Fehler enthält.
Danke für die Erklärungen. Ich bin froh, dass wenigstens ihr das versteht :-) Frank Bär schrieb: > Um die Frage, ob prinzipiell alle Probleme beliebiger Komplexität durch > einen deterministischen Algorithmus in endlicher Zeit lösbar sind, also > ohne Rückgriff auf Wahrscheinlichkeitsaussagen. Das hört sich eher nach einem philosophischen Problem an :-D
@ Simon K. (simon) Benutzerseite
>Das hört sich eher nach einem philosophischen Problem an :-D
Eben, klingt wie die Suche nach der Weltformel, Stein der Weisen, 42.
Mal ganz pragmatisch-ingenieurtechnisch.
Nö, geht nicht, ist aber auch egal.
;-)
Simon K. schrieb: > Danke für die Erklärungen. Ich bin froh, dass wenigstens ihr das > versteht :-) > > Frank Bär schrieb: >> Um die Frage, ob prinzipiell alle Probleme beliebiger Komplexität durch >> einen deterministischen Algorithmus in endlicher Zeit lösbar sind, also >> ohne Rückgriff auf Wahrscheinlichkeitsaussagen. > > Das hört sich eher nach einem philosophischen Problem an :-D Nur das ist es in dem Fall ganz und garnicht. Wäre P=NP, hätte das weitreichende Folgen für unser heutiges Leben, im Positiven könnten viele Optimierungsprobleme nun optimal gelöst werden und damit in verschiedenen Lebensbereichen die Qualität verbessert und Kosten gespart werden, als auch im Negativen, da damit die Kryptographie die uns bis heute bekannt ist hinfällig wäre in puncto Sicherheit. Es wäre vorerst kein sicheres Online-Banking usw. mehr möglich.
@ D. I. (grotesque) >> Das hört sich eher nach einem philosophischen Problem an :-D >Nur das ist es in dem Fall ganz und garnicht. Ich denke schon. > Wäre P=NP, hätte das >weitreichende Folgen für unser heutiges Leben, Wirklich? Glaub ich nicht. Der Beweis spuckt ja nicht direkt die Lösung für alle komplexen Probleme aus, er sagt nur, dass sie existieren, wenn er denn positiv verlaufen wäre. Was aber IMO schon der "gesunde Menschenverstand" negativ entscheidet. Allein die Formulierung, "beliebig komplexe Probleme in endlicher Zeit", "immer zufällig den richtigen Lösungsschritt" etc. ist schon arg abgespaced. Vielleicht sollten die Jungs ab und an mal wieder in die Realität eintauchen, und sich nicht nur in N-dimensionalen Räumen bewegen. N-> 00 Das klingt so wie ein allwissender Gott, der schnurstrackt den richtigen Lösungsweg geht, weil der die Lösung VORHER kennt. > im Positiven könnten >viele Optimierungsprobleme nun optimal gelöst werden und damit in >verschiedenen Lebensbereichen die Qualität verbessert und Kosten gespart >werden, Jaja, klingt wie der Traum der kostenlosen, unbegrenzten Atomkraft in den 50er Jahren. Die Realität ist anders. Gott sei Dank ;-) > als auch im Negativen, da damit die Kryptographie die uns bis >heute bekannt ist hinfällig wäre in puncto Sicherheit. Es wäre vorerst >kein sicheres Online-Banking usw. mehr möglich. Der Knackpunkt von OnlineBanking liegt meist auf der menschlichen Seite, selten auf der technischen. MfG Falk
Naja ein Beweis für P=NP hätte ja sein können dass er einfach einen Algorithmus angibt der z.B. TSP in polynomieller Zeit löst. Sache gegessen.
Simon K. schrieb: >> Um die Frage, ob prinzipiell alle Probleme beliebiger Komplexität durch >> einen deterministischen Algorithmus in endlicher Zeit lösbar sind, also >> ohne Rückgriff auf Wahrscheinlichkeitsaussagen. > > Das hört sich eher nach einem philosophischen Problem an :-D Das hört sich nur deswegen philosophisch an, weil von einigen Vorpostern ein paar Dinge durcheinandergebracht worden sind. Es geht bei dieser Fragestellung weder um Probleme beliebiger Komplexität noch um Algorith- men, die nicht in endlicher Zeit ausführbar sind noch um Wahrscheinlich- keiten und zufallsgesteuerte Algorithmen. Vielmehr betrifft der Satz ganz konkrete Algorithmen, wie sie in Logis- tik- und Schachprogrammen, Autoroutern von Platinenlayoutprogrammen, FPGA-Synthesetools und Optimierern in Compilern zu finden sind bzw. zu finden wären, wenn man sie effizient implementieren könnte. Das sind alles Programme mit denen jeder von uns schon einmal direkt oder indi- rekt in Berührung gekommen ist. Im Vergleich dazu erscheint bspw. die Quantentheorie um Größenordnungen abgespaceter, weil sie wirklich jeglichem gesunden Menschenverstand widerspricht. Aber auch sie hat gerade in der Elektronik ihren festen Stellenwert, weil viele Phänomene, die sich in elektronischen Bauteilen abspielen, nur durch sie erklärbar sind. Falk Brunner schrieb: >> Wäre P=NP, hätte das >>weitreichende Folgen für unser heutiges Leben, > > Wirklich? Glaub ich nicht. Der Beweis spuckt ja nicht direkt die Lösung > für alle komplexen Probleme aus, er sagt nur, dass sie existieren, wenn > er denn positiv verlaufen wäre. Na, na, woher willst du das denn wissen, wo es den Beweis doch gar nicht gibt? Es gibt schließlich auch konstruktive Beweise. In diesem Fall wäre ein konstruktiver Beweis die Beschreibung eines Algorithmus, der ein einzi- ges NP-vollständiges Probleme in polynomieller Zeit löst. Da aber die meisten Beweise der NP-Vollständigkeit von Problemen darauf beruhen, diese in bereits analysierte andere Probleme überzuführen, ließen sich aus dem gefundenen Algorithmus sofort effiziente Algorithmen für eine ganze Reihe weiterer Probleme ableiten. Es würde also eine regelrechte Lawine ausgelöst werden, in deren Folge ein nicht zu unterschätzender Teil der aktuellen Software als völlig überholt gelten würde und neu geschrieben werden müsste, um konkurrenz- fähig zu bleiben. Wenn der Beweis von Deolalikar korrekt ist, wird dies natürlich nicht passieren. Und auch wenn dieser Beweis nur eine lange gehegte Vermutung bestätigt, hat er doch einen Nutzen: Die Kryptologen müssen nicht mehr befürchten, dass irgendwann von einem Tag auf den anderen ihre Ver- schlüsselungsverfahren nutzlos werden, weil sie von einem unerwartet effizienten Algorithmus geknackt werden. Die Verschlüsselungsverfahren werden jetzt nur noch durch die Steigerung der Rechenleistung von Computern gefährdet, die aber — zumindest bisher — dank dem Mooreschen Gesetz ziemlich gut vorhersehbar ist. > Der Knackpunkt von OnlineBanking liegt meist auf der menschlichen > Seite, selten auf der technischen. Das liegt daran, dass gerade der Mensch ein hochgradig nichtdeterminis- tisches System ist ;-)
D. I. schrieb: > Naja ein Beweis für P=NP hätte ja sein können dass er einfach einen > Algorithmus angibt der z.B. TSP in polynomieller Zeit löst. Sache > gegessen. Wo sich einem die Hirnwindungen verdrehen ist finde ich eben erst wenn man einen Beweis angibt der zweifelsfrei festlegt das es eine Optimale Lösung/Strategie gibt aber trotzdem den Lösungsweg nicht kennt. Wir hatten das mal in einer Vorlesung zur Automaten/Spieltheorie das Schokoladenspile (http://www.armin-p-barth.ch/pdf/3-4-0.pdf Seite 15 Aufgabe 2). Auf Seite 17 steht folgender Satz:
1 | Jedes Zwei-Personen-Spiel, das die folgenden Eigenschaften 1 – 5 erfüllt, besitzt eine Gewinnstrategie für den einen oder anderen Spieler. |
2 | 1) Die beiden Spieler A, B machen immer abwechselnd einen Zug. A beginnt. |
3 | 2) Es gibt genau zwei mögliche Ausgänge des Spiels: A gewinnt oder B gewinnt. |
4 | 3) Jeder Zug entsteht als eine Wahl des Spielers aus einer Menge möglicher Züge. |
5 | 4) Zu jedem Zeitpunkt haben beide Spieler volle Kenntnis über die bisher gespiel-ten Züge und die weiteren möglichen Spielzüge. |
6 | 5) Die Anzahl möglicher Züge ist von oben beschränkt. |
Im folgendem wird dieser Satz bewiesen mit vollständiger Induktion. Da unser Spiel die Vorraussetzungen erfüllt wissen wir das es eine Gewinnstrategie entweder für A oder für B gibt, d.h. wenn derjenige "richtig" spielt kann er nicht verlieren egal was der andere tut. Trotzdem wissen wir nicht wie diese Strategie aussieht!
@ Yalu X. (yalu) (Moderator) >> Wirklich? Glaub ich nicht. Der Beweis spuckt ja nicht direkt die Lösung >> für alle komplexen Probleme aus, er sagt nur, dass sie existieren, wenn >> er denn positiv verlaufen wäre. >Na, na, woher willst du das denn wissen, wo es den Beweis doch gar nicht >gibt? Sagt mir mein Instinkt. Denn das wäre sowas wie ein informationstheoretisches schwarzes Loch, dass aus dem Nichts entsteht und plötzlich alles umsich herum aufsaugt. Das wird (hoffentlich) nicht so schnell passieren. >diese in bereits analysierte andere Probleme überzuführen, ließen sich >aus dem gefundenen Algorithmus sofort effiziente Algorithmen für eine >ganze Reihe weiterer Probleme ableiten. Keine Ahnung. Das übersteigt mein rudimentäres mathematisches Verständnis um Größenordungen. >Es würde also eine regelrechte Lawine ausgelöst werden, in deren Folge >ein nicht zu unterschätzender Teil der aktuellen Software als völlig >überholt gelten würde und neu geschrieben werden müsste, um konkurrenz- >fähig zu bleiben. Eben das meine ich. >Das liegt daran, dass gerade der Mensch ein hochgradig nichtdeterminis- >tisches System ist ;-) Seine Determiniertheit basiert auf seinen humanoiden Insuffizienzen ;-) MFG Falk
Falk Brunner schrieb: > Sagt mir mein Instinkt. Instinkt verhält sich zu Theoretischer Informatik ungefähr wie McDonalds zu einem Ernährungsberater.
@ P. M. (o-o) >> Sagt mir mein Instinkt. >Instinkt verhält sich zu Theoretischer Informatik ungefähr wie McDonalds >zu einem Ernährungsberater. Stimmt! ;-) Ich erhebe ja auch keinen akademischen Anspruch auf Korrektheit.
>d.h. wenn derjenige >"richtig" spielt kann er nicht verlieren egal was der andere tut und wenn beide "richtig" spielen entsteht ein schwarzes Loch. :-)
Michael Sauron schrieb: >>d.h. wenn derjenige >>"richtig" spielt kann er nicht verlieren egal was der andere tut > und wenn beide "richtig" spielen entsteht ein schwarzes Loch. :-) Nee, dann hängt der Gewinn von von der Marke der Schokoladentafel ab: Ist es eine Ritter Sport, gewinnt der zweite Spieler, bei fast allen anderen Marken der erste. (ohne Smiley)
Quantentheorie ist gar nicht so abgespacet, wie es den Anschein hat. Es geht in erster Linie darum, dass sich Materie anders verhaelt sobald die Unterteilung bei Kloetzchen endet anstelle sich wie ein Kontinuum(Fluessigkeit) zu verhalten. Das Verhalten der Kloetzchen bestimmt dann auch wieder das Verhalten der Menge. Der Rest ist aufwendige Mathematik. Da muss man dann einfach durch. Dasselbe Verhalten kann man beobachten wenn man Menschenmengen (oder Sozialmengen) untersucht und irgendwann beim Individuum endet. Das Verhalten des Individuums bestimmt auch das Verhalten der Menge.
Ha-jetzt Aber schrieb: > Das Verhalten der Kloetzchen > bestimmt dann auch wieder das Verhalten der Menge. Der Rest ist > aufwendige Mathematik. Da muss man dann einfach durch. Allerdings gilt sowohl für Menschenmengen als auch für Quanten, dass das Ganze etwas anderes ist als die Summe seiner Teile. Beispiel Menschenmenge: wenn jeder einzelne das für ihn individuell rational vernünftige tut, bedeutet das nicht unbedingt ein gutes Ergebnis für die Menge. Im brennenden Kino ist es für jeden einzelnen eine vernünftige Verhaltensweise, sich so schnell wie möglich zum Ausgang zu begeben. Machen das aber alle gleichzeitig, verstopft der Ausgang, es kommt zum Stau, wodurch es Tote geben kann, obwohl bei optimaler Koordination alle rausgekommen wären. http://de.wikipedia.org/wiki/Rationalit%C3%A4tenfalle Beispiel Quanten: Supraleiter erster Art. Elektronen verbinden sich zu Cooper-Paaren, dadurch wird aus zwei Fermionen auf einmal ein Boson, für das das Pauli-Prinzip nicht mehr gilt. Durch Kombination zweier Teilchen ist etwas qualitativ völlig anderes herausgekommen. Andreas
Yalu X. schrieb: > (ohne Smiley) Hm.. war es nicht so das immer Spieler 1 gewinnt? Kann aber auch sein das wir eine leicht abgewandelte Variante hatten.
Läubi .. schrieb: > Hm.. war es nicht so das immer Spieler 1 gewinnt? Kann aber auch sein > das wir eine leicht abgewandelte Variante hatten. Ich hätte mal gesagt, dass jeder Spieler versucht, die Schokolade so zu brechen, dass ein quadratisches Stück (bzw. eins mit gleich vielen Zeilen wie Spalten) übrig bleibt. Dem Gegenspieler bleibt dann nichts anderes übrig, als dieses Quadrat zu zerstören, so dass es ihm nicht gelingen wird, im letzten Zug das Stück mit dem X zu hinterlassen, da dieses ja ebenfalls quadratisch ist. Der erste Spieler kann diese Strategie nur dann erfogreich umsetzen, wenn die Schokoladentafel nicht schon zu Beginn quadratisch ist.
.... Wobei quadratisch sich auf die Aazahl der Stücke bezieht, nicht etwa auf die äußere Form der stücken oder der Tafel. Wie würde das bei drei oder sechseckigen stücken ausgehen? braucht es dann 3 Spieler?
>Der erste Spieler kann diese Strategie nur dann erfogreich umsetzen, >wenn die Schokoladentafel nicht schon zu Beginn quadratisch ist. Wenn dieses Spiel in genügend vielen Durchgängen gespielt wurde, nehmen die Körper der Spielenden auch eine quadratische Form an. Erst heute wieder sah ich ein paar Schulkinder mit dem Format 80x80cm. (Kopfkissenformat) ;-) MfG Paul
Winfried J. schrieb: > Wie würde das bei drei oder sechseckigen stücken ausgehen? Interessante Aufgabenerweiterung :) Hast du dafür schon eine Strategie gefunden? Ein Bisschen schwieriger wird die ursprünglich Aufgabe auch dann, wenn das mit X gekennzeichnete Stück nicht in der Ecke der Tafel, sondern an einer beliebigen Position auf der Tafel liegt. Paul Baumann schrieb: > Erst heute wieder sah ich ein paar Schulkinder mit dem Format 80x80cm. Ja, das ist das typische Symptom übermäßigen Ritter-Sport-Genusses. Dem kann nur durch regelmäßiges Einwerfen einer Toblerone-Stange (aber bitte längs, nicht quer) entgegengewirkt werden. Das sollte aber auch nicht zu oft passieren, sonst bekommen die Schüler mit der Zeit einen dreieckigen Querschnitt, was auch nicht gut aussieht ;-)
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