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Forum: Digitale Signalverarbeitung / DSP Zustandsregelung für nichtlineares System


Autor: cheng (Gast)
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hat jemand Ideen oder Erfahrungen zum Entwurf einer Zustandsregelung für 
nichtlineares System?
für das lineare System findet man in vielen Literaturen,aber für 
nichtlineares System habe noch keine Idee...

ein nichtlineares system wie folgt:

dx1/dt=a1*x1+b1*x2+c1
dx2/dt=a2*x1+b2*x2+c2

a1,a2,b1,b2,c1,c2 sind Konstanten.
muss man zuerst das System linearisieren?

kann jemand mir helfen?

danke!
MfG!
cheng

: Verschoben durch Admin
Autor: cheng (Gast)
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cheng schrieb:
> ein nichtlineares system wie folgt:
>
>
>
> dx1/dt=a1*x1+b1*x2+c1
>
> dx2/dt=a2*x1+b2*x2+c2
>
>
>
> a1,a2,b1,b2,c1,c2 sind Konstanten.

sorry,das nichtlineare system wie folgt:

dx1/dt=a1*x1+b1*x2*x3+c1
dx2/dt=a2*x1*x3+b2*x2+c2*x3+d1
dx3/dt=a3*x2+b3*x1*x2

a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,d1 sind Konstanten.

Autor: Zwölf Mal Acht (hacky)
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Eine Zustandsregelung beruht auf Matritzen. Das sind lineare 
Operationen. So eine Loesung gilt dann in der Naehe einer linearisierten 
Umgebung.
Ja. Das System muss zuerst linearisiert werden.
Die Variablen scheinen per Diffgleichung gekoppelt zu sein. ... muesst 
man anschauen.

Autor: cheng (Gast)
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Ha-jetzt Aber schrieb:
> Die Variablen scheinen per Diffgleichung gekoppelt zu sein. ...

ja,das ist das Problem.
Ziel ist eine Regleung durch Zustandsrückführung.
für das lineare System bekommt man einfach die Matritzen A,B,C(oder 
F,G,H),
anschließend kann man durch die bekannten Formeln den Regler & Vorfilter 
herleiten.
aber für das obige  nichtlineare System mit gekoppelten 
Zustandsvariablen
habe keine Idee...

Autor: RegProfi (Gast)
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Die Lösung ist wie schon gesagt wurde das Linearisieren der 
nichtlinearen Gleichungen. Dann sollte da schon was möglich sein.
Wie du ein System linearisierst, findest du in den entsprechenden 
Büchern. Schwer ist das aber nicht.

ps: Solche Fragen sind im Unterforum DSP besser aufgehoben.

Autor: Zwölf Mal Acht (hacky)
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Die Gleichungen sind nicht im Sinne von nichtlinearen Kennlinien der 
Sensoren nichtlinear, sondern aufgrund der gekoppelten Variablen.
Nichtlinearen Sensoren muessen natuerlich linearisiert werden, 
gekoppelte Variablen sollten entkoppelt werden. Ich wuerde versuchen 
kuenstliche entkoppelte Groessen einzufuehren, die per Simulation 
berechnet werden. Das nennt sich dann Beobachter. Sind die obigen 
Koppelkonstanten wenigsten mit hinreichender Genaugikeit bekannt und 
konstant ?

Koennen wir ein Beispiel fuer einen beschriebenen Prozess haben ? Das 
DSP Foum ist nicht noetigerweise passender. Ich schau da zb fast nie 
rein. DSP ist auch eine Geschwindigkeitsvorgabe, die hier nicht zwingend 
noetig ist.

Autor: Tommi (Gast)
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Hacky, das stimmt nicht!
Es gibt sehr wohl nichtlineare Zustandsregelung. Lyapunov kann helfen, 
allerdings ist ein nichtlinearer Reglerentwurf oft schwer/nicht machbar. 
Wenns mit linearisieren geht, um so besser. Das Regelverhalten ist dann 
aber unter Umständen nicht so gut wie bei einem nichtlinearen Entwurf.

Am Rande: ein Beobachter rekonstruiert ein nicht messbaren Zustand aus 
dem/den Eingängen und den messbaren Zuständen. Eine 
Zustandstransformation mit Modellvereinfachung zur Zustandsentkopplung 
hat damit nichts zu tun.

Autor: Zwölf Mal Acht (hacky)
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>ein Beobachter rekonstruiert ein nicht messbaren Zustand...

ist mir bekannt. Kann man aber trotzdem machen. Denn eine entkoppelte 
Groesse ist in dem Falle eine nicht messbare Groesse.

Autor: Olaf (Gast)
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> Es gibt sehr wohl nichtlineare Zustandsregelung. Lyapunov kann helfen,
> allerdings ist ein nichtlinearer Reglerentwurf oft schwer/nicht machbar.

Wie stellt man in so einem Fall den sicher das ein System nicht 
schwingt? Das stell ich mir dann schwierig vor.

Sehe ich das richtig das dann alles davon abhaengt eine gute und 
vollstaendige mathematische Erfassung seiner Strecke hinzubekommen?

Olaf

Autor: cheng (Gast)
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Tommi schrieb:
> ein Beobachter rekonstruiert ein nicht messbaren Zustand aus
>
> dem/den Eingängen und den messbaren Zuständen. Eine
>
> Zustandstransformation mit Modellvereinfachung zur Zustandsentkopplung
>
> hat damit nichts zu tun.Beitrag melden | Bearbeiten | Löschen |

das stimmt,in diesem Fall sind alle Zustandsvariablen messbar,deswegen 
brauche ich zuerst keinen Beobachter(aber natürich kann man auch einen 
einsetzen).

Tommi schrieb:
> Es gibt sehr wohl nichtlineare Zustandsregelung.

hallo Tommi,kannst du mir einige Literaturen empfehlen? ich finde immer 
nur lineare Zustandsregelung...

Tommi schrieb:
> Lyapunov kann helfen,
>
> allerdings ist ein nichtlinearer Reglerentwurf oft schwer/nicht machbar.
>
> Wenns mit linearisieren geht, um so besser. Das Regelverhalten ist dann
>
> aber unter Umständen nicht so gut wie bei einem nichtlinearen Entwurf.

meinst du hier die Lyapunov function?kannst du nichmal detaillieren?

danke allen die mir geholfen haben!
MfG!

Autor: Thomas B. (detritus)
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cheng schrieb:

> ein nichtlineares system wie folgt:
>
> dx1/dt=a1*x1+b1*x2+c1
> dx2/dt=a2*x1+b2*x2+c2
>
> a1,a2,b1,b2,c1,c2 sind Konstanten.
> muss man zuerst das System linearisieren?
>
> kann jemand mir helfen?
>
> danke!
> MfG!
> cheng

Das System ist ein autonomes, d.h. ohne Eingangsgröße. Das geht so 
natürlich auch nicht zu Regeln. Hier kann man zwar eine 
Stabilitätsuntersuchung mittels Ljapunov vornehmen, aber mit deren 
Ergebnis wird man sich abfinden müssen, da man keinerlei 
Eingriffsmöglichkeit hat.
Hat das System eine Eingangsgröße, kann man entweder eine Linearisierung 
um die gewünschte Ruhelage mit Jacobi-Matrizen durchführen, und einen 
normalen Regler entwerfen- oder man versucht einen nichtlinearen 
Zustandsregler zu entwerfen, der dem System eine prinzipiell beliebige 
Dynamik verpasst.

Autor: cheng (Gast)
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Thomas B. schrieb:
> Das System ist ein autonomes, d.h. ohne Eingangsgröße. Das geht so
>
> natürlich auch nicht zu Regeln. Hier kann man zwar eine
>
> Stabilitätsuntersuchung mittels Ljapunov vornehmen, aber mit deren
>
> Ergebnis wird man sich abfinden müssen, da man keinerlei
>
> Eingriffsmöglichkeit hat.
>
> Hat das System eine Eingangsgröße, kann man entweder eine Linearisierung
>
> um die gewünschte Ruhelage mit Jacobi-Matrizen durchführen, und einen
>
> normalen Regler entwerfen- oder man versucht einen nichtlinearen
>
> Zustandsregler zu entwerfen, der dem System eine prinzipiell beliebige
>
> Dynamik verpasst.

hallo Thomas,die richtige Zustandsgleichungen wie foglt :

dx1/dt=a1*x1+b1*x2*x3+c1*i1
dx2/dt=a2*x1*x3+b2*x2+c2*x3+d1*i2
dx3/dt=a3*x2+b3*x1*x2

a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,d1 sind Konstanten.i1,i2 sind die 
Eingangsgrößen.

ich habe schonmal versucht,eine Linearisierung um die Ruhelage mit 
Jacobi-Matrizen durchzuführen,aber dann kam nicht mehr weiter,da ich nur 
die Entwurfsmethode für lineares System kenne.
noch eine Frage:was ist ein nichtlineare zustandsregler?
kannst du mir einige Literaturen für die Zustandsregelung des 
nichtlinearen System mit gekoppelten Zustandsvariablen empfehlen?
Danke!
MfG!

Autor: RegProfi (Gast)
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Es gibt sehr elegante Methoden um ein nichtlineares System zu regeln 
oder zu steuern. Zum Beispiel die flachheitsbasierte Steuerung/Regelung. 
Ich denke aber, dass dir sämtliche Konzepte zu nichtlinearen Reglern 
nicht weiterhelfen werden, wenn es schon an der Linearisierung und 
Anwendung der linearen Theorie scheitert. Sorry, ist nicht böse gemeint. 
Das alles ist ja auch nicht trivial.

Damit du in absehbarer Zeit zum Ziel kommst, würde ich dir vorschlagen 
direkt nach Reglern bzw. Artikeln suchen, die dein System behandeln. Du 
solltest versuchen, nicht ganz so theoretisch daran zu gehen, sondern 
glücklich sein, wenn du was gefunden hast, was geht.

Falls das ganze aber natürlich irgendeine Studienarbeit ist und der Kern 
der Reglerentwurf ist, solltest du noch mal das eine oder andere Buch zu 
nichtlinearer Regelungstechnik in die Hand nehmen bevor du anfängst, 
irgendwelche abgefahrenen nichtlinearen Regler zu betrachten.

Viel Erfolg ;-)

Autor: kim Ch. (cheng)
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die richtige Zustandsgleichungen für das System wie foglt :

dx1/dt=a1*x1+b1*x2*x3+c1*i1
dx2/dt=a2*x1*x3+b2*x2+c2*x3+d1*i2
dx3/dt=a3*x2+b3*x1*x2

a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,d1 sind Konstanten.i1,i2 sind die
Eingangsgrößen.

**kann jemand nochmal erklären,wie kommt man weiter nach einer 
Linearisierung um die Ruhelage mit Jacobi-Matrizen?
**mit dieser Methode bekommt man am Ende wie lineares System den Regler 
und Vorfilter(Regelung durch Zustandsrückführung)?
**nach einer Linearisierung kann man die Formeln zu Herleitung des 
Reglers/Vorfilters weiter benutzen?

Danke!

Autor: Thomas B. (detritus)
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cheng schrieb:
> hallo Thomas,die richtige Zustandsgleichungen wie foglt :
>
> dx1/dt=a1*x1+b1*x2*x3+c1*i1
> dx2/dt=a2*x1*x3+b2*x2+c2*x3+d1*i2
> dx3/dt=a3*x2+b3*x1*x2
>
> a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,d1 sind Konstanten.i1,i2 sind die
> Eingangsgrößen.

Ok, damit kann man arbeiten.

> ich habe schonmal versucht,eine Linearisierung um die Ruhelage mit
> Jacobi-Matrizen durchzuführen,aber dann kam nicht mehr weiter,da ich nur
> die Entwurfsmethode für lineares System kenne.

Wenn die Jacobi-Matrizen stehen, hast du ein lineares System, für das 
die "normalen" Verfahren angewandt werden können. Du erhältst einen 
Regelkreis, der für kleine Auslenkungen aus dieser Ruhelage 
funktioniert. Du musst die Matrizen zunächst durch die partiellen 
Ableitungen bilden und dann die gewünschte Ruhelage einsetzen.

> noch eine Frage:was ist ein nichtlineare zustandsregler?
> kannst du mir einige Literaturen für die Zustandsregelung des
> nichtlinearen System mit gekoppelten Zustandsvariablen empfehlen?
> Danke!
> MfG!

Bei Amazon kannst du mal nach "nichtlineare Regelungen" suchen, soviel 
gibts da nicht ;) Das vom Adamy finde ich sehr gut.

Autor: kim Ch. (cheng)
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RegProfi schrieb:

> Falls das ganze aber natürlich irgendeine Studienarbeit ist und der Kern
> der Reglerentwurf ist, solltest du noch mal das eine oder andere Buch zu
> nichtlinearer Regelungstechnik in die Hand nehmen bevor du anfängst,
> irgendwelche abgefahrenen nichtlinearen Regler zu betrachten.
>
> Viel Erfolg ;-)

Ja, das ist ein Teil von meiner SA, für das obigen System habe 
eigentlich schon geschafft,eine Kaskadenregelung zu entwerfen.jetzt muss 
nochmal eine Zustandsregelung entwickeln.
ich kenne ja lineare Zustandsregelung,aber für nichtlinears System habe 
wenig kenntnisse.
ich suche die ganzen Zeit einen Buch für nichtlinearer 
Regelungstechnik,aber leider noch nicht gefunden,kann jemand helfen?

Danke sehr!

Autor: Thomas B. (detritus)
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Cheng Cheng schrieb:

> Ja, das ist ein Teil von meiner SA, für das obigen System habe
> eigentlich schon geschafft,eine Kaskadenregelung zu entwerfen.jetzt muss
> nochmal eine Zustandsregelung entwickeln.

Wenn das ein Teil einer Studienarbeit ist, würde ich beim 
linearisierten Regler mittels Jacobi-Matrizen bleiben- vor allem wenn du 
dir die nichtlinearen selbst beibringen müsstest.

> ich suche die ganzen Zeit einen Buch für nichtlinearer
> Regelungstechnik,aber leider noch nicht gefunden,kann jemand helfen?

Siehe oben, aber wie gesagt: Bleib bei den linearisierten bzw. bespreche 
dich mit deinem Betreuer.

Autor: kim Ch. (cheng)
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Thomas B. schrieb:

> Wenn das ein Teil einer Studienarbeit ist, würde ich beim
> linearisierten Regler mittels Jacobi-Matrizen bleiben- vor allem wenn du
> dir die nichtlinearen selbst beibringen müsstest.
> Siehe oben, aber wie gesagt: Bleib bei den linearisierten bzw. bespreche
> dich mit deinem Betreuer.

Hallo Thomas,
Danke für deine hilfreichen Vorschläge!
ich werde zuerst den Buch mal durchlesen,den du mir empfehlt hast.dann 
schaue nochmal wie komme weiter.

herzlichen Dank!
natürlich auch danke an alle die mir geholfen haben!
MfG!

Autor: Alter Freund (kupferstecher)
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Ein recht gutes Buch: H. Khalil, Nonlinear Systems.
Ist auf Englisch geschrieben, sehr umfangreich und recht anspruchsvoll. 
Aber bei einer Studienarbeit soll man ja was lernen :-)

Ja, ich hab die Lyapunov-Funktion gemeint. Etwas konkreteres zu sagen 
ist schwierig ohne das System selbst zu analysieren. Die Vorzeichen 
deiner Konstanten wären dann auch noch interessant.

Schau mal nach der Byrnes-/Isidori Normalform, das kann dir auch weiter 
helfen!


Tommi

Autor: kim Ch. (cheng)
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Alter Feind schrieb:
> Ein recht gutes Buch: H. Khalil, Nonlinear Systems.
> Ist auf Englisch geschrieben, sehr umfangreich und recht anspruchsvoll.
> Aber bei einer Studienarbeit soll man ja was lernen :-)
>
> Ja, ich hab die Lyapunov-Funktion gemeint. Etwas konkreteres zu sagen
> ist schwierig ohne das System selbst zu analysieren. Die Vorzeichen
> deiner Konstanten wären dann auch noch interessant.
>
> Schau mal nach der Byrnes-/Isidori Normalform, das kann dir auch weiter
> helfen!
>
>
> Tommi

Hallo Tommi,
Danke für deine Vorschläge!
ich glaube,ich zuerst etwas über nichtlineare Regelung lernen 
sollte.dann und nur dann weiß ich wie komme weiter.
danke nochmals!
MfG!

Autor: kim Ch. (cheng)
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nochmal die Zustandsgleichungen für das System:

dx1/dt=a1*x1+b1*x2*x3+c1*i1
dx2/dt=a2*x1*x3+b2*x2+c2*x3+d1*i2
dx3/dt=a3*x2+b3*x1*x2

a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,d1 sind Konstanten.i1,i2 sind die
Eingangsgrößen.

Thomas B. schrieb:
> Wenn das ein Teil einer Studienarbeit ist, würde ich beim
> linearisierten Regler mittels Jacobi-Matrizen bleiben- vor allem wenn du
> dir die nichtlinearen selbst beibringen müsstest.

Hallo Thomas,warum bevorzugst du die linearisierten Regler mittels 
Jacobi-Matrizen,wenn das ein Teil einer Studienarbeit ist?

Außerdem habe ich noch ein paar Fragen:

1)ich bin mir nicht sicher ob der Regler sinnvoll ist,der durch 
Linearisierung der Regelstrecke um eine (und nur eine) Ruhelage mit 
Jacobi-Matrizen entworfen wird. z.B. um die Arbeitspunkt:
 x1=x2=x3=i1=i2=0
hat dieser Regler Nachteile?

2)ist Gain-scheduling-Regler für das obige System mit gekoppelten 
Zustandsvariablen machbar? wie kann man für obiges System die benötigen 
Arbeitspunkte bestimmen?(kann Matlab helfen?)

danke

Autor: Thomas B. (detritus)
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Cheng Cheng schrieb:
> nochmal die Zustandsgleichungen für das System:
>
> dx1/dt=a1*x1+b1*x2*x3+c1*i1
> dx2/dt=a2*x1*x3+b2*x2+c2*x3+d1*i2
> dx3/dt=a3*x2+b3*x1*x2
>
> a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,d1 sind Konstanten.i1,i2 sind die
> Eingangsgrößen.
>
> Thomas B. schrieb:
>> Wenn das ein Teil einer Studienarbeit ist, würde ich beim
>> linearisierten Regler mittels Jacobi-Matrizen bleiben- vor allem wenn du
>> dir die nichtlinearen selbst beibringen müsstest.
>
> Hallo Thomas,warum bevorzugst du die linearisierten Regler mittels
> Jacobi-Matrizen,wenn das ein Teil einer Studienarbeit ist?

Jacobi-Matrizen entspricht einer normalen Linearisierung, die du 
vermutlich schonmal gemacht hast. Im Gegensatz dazu musst du für 
flachheitsbasierte Verfahren oder exakte Linearisierung erstmal einiges 
an Theorie nachholen, was für einen Teil einer Studienarbeit etwas 
übertrieben ist.

> Außerdem habe ich noch ein paar Fragen:
>
> 1)ich bin mir nicht sicher ob der Regler sinnvoll ist,der durch
> Linearisierung der Regelstrecke um eine (und nur eine) Ruhelage mit
> Jacobi-Matrizen entworfen wird. z.B. um die Arbeitspunkt:
>  x1=x2=x3=i1=i2=0
> hat dieser Regler Nachteile?

Klar hat er Nachteile: Er funktioniert nur bei kleinen Abständen zur 
Ruhelage. Je nachdem, wie deine Konstanten sind, muss die Ruhelage aber 
kein Punkt im Zustandsraum sein, sondern kann auch eine Gerade oder 
sogar Ebene sein. Ein inverses Pendel auf einem Verstellwagen hat z.B. 
eine Gerade entlang dem Verfahrweg als Ruhelage, eine darauf basierte 
linearisierte Regelung kann das Pendel damit unabhängig vom Ort 
stabilisieren.

> 2)ist Gain-scheduling-Regler für das obige System mit gekoppelten
> Zustandsvariablen machbar? wie kann man für obiges System die benötigen
> Arbeitspunkte bestimmen?(kann Matlab helfen?)
>
> danke

Hast du keinen Betreuer?

Autor: kim Ch. (cheng)
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Thomas B. schrieb:

> Klar hat er Nachteile: Er funktioniert nur bei kleinen Abständen zur
> Ruhelage. Je nachdem, wie deine Konstanten sind, muss die Ruhelage aber
> kein Punkt im Zustandsraum sein, sondern kann auch eine Gerade oder
> sogar Ebene sein. Ein inverses Pendel auf einem Verstellwagen hat z.B.
> eine Gerade entlang dem Verfahrweg als Ruhelage, eine darauf basierte
> linearisierte Regelung kann das Pendel damit unabhängig vom Ort
> stabilisieren.

Danke vorerst für die Antwort.
d.h: Je nachdem, wie ich die Ruhelage wähle, bekomme verschiedene 
Regler, die nur bei kleinen Abständen zur Ruhelage funktionieren.
bedeutet das auch:die Regler nicht zu der Regelstrecke passen könnten?

in diesem Fall sollte man am betsen einen nichtlinearen Regler 
entwerfen?

> Hast du keinen Betreuer?
doch,nur mein Betreuer hat erst in paar Tagen Zeit für mich, und ich 
denke,ich etwas vorbereiten sollte.

danke nochmals.
MfG

Autor: R.Egler (Gast)
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Das Khalil Buch ist gut, aber teilweise etwas langatmig. Aber schau dir 
auch mal die von Isidori an (Nonlinear Control Systems I und II). Da 
werden die Grundlagen etwas anders behandelt.

Alternativ:
Du kannst dein  nichtlineares System auch mit z.B. Modellprädiktiver 
Regelung regeln - allerdings wird das evtl. etwas aufwändig.

Autor: Ahmad Alkhawaldeh (bani)
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hallo,
falls Du noch etwas über Nichtlineare Systeme brauchst, habe ich noch 
zwei Skripte als Pdf.
Schreib mir einen Mail, den die Skripte sind ja von Profs ??


mfg
Ahmad

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