Hallo, ich habe eine Frage, wie kann man sich die Formel i= Io*e^(-t/tau) herleiten? Warum verwendet man hier eine e-Funtion? Und gibt es irgendeine Herleitung für tau oder wurde das durch Proben ermittelt? Entschuldigt bitte mein Unwissen, aber ich kann wirklich nichts zu dem Thema finden. Gruß Tom
@ Tom Matt (br00k3n) >ich habe eine Frage, wie kann man sich die Formel i= Io*e^(-t/tau) >herleiten? Über die Differentialgleichung des Kondensators. I = dU/dt * C > Warum verwendet man hier eine e-Funtion? Das ist die Lösung der Differentialgleichung. >Und gibt es irgendeine Herleitung für tau Sicher. >oder wurde das durch Proben >ermittelt? Lass das mal keinen Mathematiker hören, der springt dir an den Hals ;-) >Entschuldigt bitte mein Unwissen, aber ich kann wirklich nichts zu dem >Thema finden. Dann suchst du schlecht. MfG Falk
Gast
#1884107
Falk Brunner schrieb: > Über die Differentialgleichung des Kondensators. I = dU/dt * C Das ist keine Differentialgleichung ! Ersetze U durch U0*sin( ...t/tau) und schreibe den Sinus mit Hilfe der komplexen e-Funktion. Dann bilde die Ableitung nach t und setze an geeigneter Stelle Io ein. t=Zeit, tau=Schwingungsdauer oder 2*pi/T (je nach Autor) Das wars. B.
@ Bernadette (Gast) >> Über die Differentialgleichung des Kondensators. I = dU/dt * C >Das ist keine Differentialgleichung ! Für mich schon. >Ersetze U durch U0*sin( ...t/tau) und schreibe den Sinus mit Hilfe der >komplexen e-Funktion. Und wozu? >Dann bilde die Ableitung nach t und setze an geeigneter Stelle Io ein. >t=Zeit, tau=Schwingungsdauer oder 2*pi/T (je nach Autor) Wer sagt denn, dass ich das rein wechseltstrommässig betrahten will und muss? MfG Falk
Oder über die Laplacetransformation Beitrag "Re: kondensator über spannungsteiler laden"
Bei Wikipedia findet man eine Herleitung aus der Ladungs-Differentialgleichung. http://de.wikipedia.org/wiki/RC-Glied#Differentialgleichung_der_Entladung Meiner Meinung nach gibt es aber schönere Herleitungen ;-)
U ------- R -------+----- Uc
|
C
|
---
Ansatzt: U = I*R + UC
I = C * duc/dt
eingesetzt in obere Formel ergibt
U = R* C* duc/dt + UC
Das ist eine inhomogene lineare Dgl 1.Ordnung
Wir loesen die homogene Dgl indem man das Stoerglied (U) zu 0 setzt.
0 = R*C*duc/dt + UC
umstellen
duc/dt = UC /-(R*C)
loesung der DGL durch trennen der Variabeln (es gibt noch andere
Loesungswege)
duc/UC = dt * -1/(R*C)
integrieren auf beiden Seiten ergibt (Man kann der Integrationskonstante
K auch durch ihren Logarhytmus darstellen was die Sache vereinfacht)
ln(UC) + ln(K) = -t/(R*C)
zusammenfassen:
ln(UC/K) = -t/(R*C)
umstellen
UC/K = exp(-t/R*C)
UC = K * exp(-t/R*C)
Das ist die Loesung der homogenen DGL. Der Faktor K muss noch bestimmt
werden.
Zur Loesung der inhomogene DGL brauchen wir noch eine partikulaere
Loesung.
Die ergibt sich aus
U = R* C* duc/dt + UC mit UC = 1 und duc = 0
zu U = 1
Die Gesammtloesung:
UC = U + K*exp(-t/R*C)
Der Faktor K bestimmen wir aus der Anfangsbedingung. Beim Einschalten
t=0 ist UC = 0 zu
0 = U + K mit exp(-0/R*C) = 1
also ist K = -U
Das jetzt in UC = U + K*exp(-t/R*C) eingesetzt ergibt
UC = U - U*exp(-t/R*C)
oder schoener geschrieben zu:
UC = U(1-exp(-t/R*C)
>ich habe eine Frage, wie kann man sich die Formel i= Io*e^(-t/tau)
>herleiten? Warum verwendet man hier eine e-Funtion?
>Und gibt es irgendeine Herleitung für tau oder wurde das durch Proben
>ermittelt?
Du siehst das wurde nicht durch Probieren herausgefunden.
Vielen Dank jetzt hab ich mal ne herleitung dafür^^ Wir machen das nämlich nicht im BKFHT und es ist schwer sich das dann irgendwie aus dem hut zu ziehn