PT1 Verhalten nachbilden

[AlteraUser (Gast)]

Hallo,
zum Testen eines Regelalgorithmus wollte ich in meiner TestBench einen 
Elektromotor nachbilden. Ich hab bisher auch alles soweit 
zusammenbekommen, bis auf das PT1 Verhalten des Motors. Testen konnte 
ich es schon ohne Verzögerung, aber das macht wenig Sinn, wenn der Motor 
den Änderungen direkt folgt.
Hat vielleicht schon jemand ein ähnliches Problem gehabt?
Wie kann ich das PT1 Glied in VHDL nachbilden? Ich hatte darüber 
nachgedacht die Differentialgleichung in eine Differenzengleichung 
umzuformen, aber irgendwie klappt das nicht ganz so wie ich mir das 
vorgestellt hab ;-).
Wenn ich

$$\frac{\mathrm{d} x_a}{\mathrm{d} t}$$

 habe, entspricht das ja der Änderung der Größe über der Zeit t. Kann 
ich das dann im Falle von einer Zeitdiskreten Betrachtung (von 
Abtastzeitpunkt zu Abtastzeitpunkt) das ganze so schreiben:

$$\frac{x_{a,k} - x_{a,k-1}} {T}$$

Weil dann würde aus der PT1 Differenzialgleichung:

$$T_1 \cdot \frac{\mathrm{d} x_a}{\mathrm{d} t}+ x_a = K_p \cdot x_e$$

Das werden:

$$T_1 \cdot \frac{x_{a,k} - x_{a,k-1}} {T} + x_a = K_p \cdot x_e$$

Da wäre nur noch das Problem, wie muss ich die Abtastzeit T 
dimensionieren?
Danke.

[Kai (Gast)]

AlteraUser schrieb:
> Da wäre nur noch das Problem, wie muss ich die Abtastzeit T
> dimensionieren?

So als Faustregel würd ich mal einen Faktor 10 kleiner als die kleinste 
Zeitkonstante deines Motors ansetzen. Dann mal ausprobieren und schauen, 
ob sich das Ergebnis stark verändert, wenn du T noch kleiner machst. 
Eventuell kannst du T natürlich auch noch größer machen, dann wirds 
einfach auf der Hardware umzusetzen.

Grüße,
Kai

[AlteraUser (Gast)]

Ja das habe ich auch gelesen, dass die Abtastrate um den Faktor 10 
größer sein soll als die kleinste im System vorkommende Zeitkonstante. 
Mein kleines Gedankenproblem ist nur, dass ich ja zu beginn am Ausgang 
den Wert 0 habe. D.h. dass dieser Ausdruck:

$$T_1 \cdot \frac{x_{a,k} - x_{a,k-1}} {T}$$

auch null ist.
Daher würde ja meine Gleichung zu Beginn wie folgt lauten:

$$x_a = K_p \cdot x_e$$

Das würde doch heißen, dass der erste Wert den ich mit diesem PT1 Glied 
errechnen würde, ungehindert dem Eingangswert folgen würde. Das 
entspräche doch aber in keinster Weise einem PT1-Verhalten. Steh ich da 
vielleicht aufm Schlauch? ;-)

[Kai (Gast)]

Im ersten Schritt fehlt der Wert von

$$x_{a,k-1}.$$

 Den wirst du wohl pauschal zu Null setzen. Im zweiten 
Berechnungsschritt gibts ja dann aus dem ersten Schritt schon einen Wert 
für

$$x_{a,k-1}.$$

 Ist halt am Anfang nicht exakt, das bessert sich aber dann ja bei 
stabiler approximation nach hinten raus.

[AlteraUser (Gast)]

Okay vielen Dank für die Hilfe, ich werde es einfach mal ausprobieren, 
mal sehen ob es so klappt ;-).

[AlteraUser (Gast)]

Also ich konnte so eben eine erfolgreiche Simulation fertigstellen. 
Falls auch mal jemand ein solches Problem haben sollte, ich habe die 
folgende Gleichung:

$$T_1 \cdot \frac{\mathrm {d}x_a} {\mathrm {dt}} + x_a = K_p \cdot x_e$$

In die Differenzengleichung:

$$T_1 \cdot \frac{x_a - x_{a,k-1}}{T} + x_a = K_p \cdot x_e$$

Aufgelöst nach dem Ausgang:

$$x_a = \frac{K_p \cdot x_e + T_1 \cdot x_{a,k-1}}{T_1 + 1}$$

Anbei noch das Simulationsergebnis aus ModelSim.
@Kai
Danke für die Hilfe.