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Forum: Offtopic Wie löse ich folgendes Integral


Autor: D. I. (Gast)
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Innerhalb eines Beweises muss ich folgendes Integral (Thema B-Splines) 
lösen:

mit

Aber ich komme nicht drauf wie man bei der Multiplikation der 2 
Funktionen die Fallunterscheidung korrekt behandelt.

Das Ergebnis was ich erwarte ist:

Autor: Zwölf Mal Acht (hacky)
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Zeichne die zu integrierende Funktion doch mal auf. Dann wird's 
einfacher.

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Im ersten Fall integrierst du ganz normal von 0 bis u. Beide Faktoren im
Integral sind dann 1, also ist das Ergebnis u-0=u.

Im zweiten Fall zerlegst du das Integral in drei Teilintegrale: von 0
bis u-1, von u-1 bis 1 und von 1 bis u. Im ersten Integral ist der linke
Faktor 0, im letzten der rechte. Nur im mittleren Integral sind beide
Faktoren 1, also ist das Ergebnis 1-(u-1)=2-u.

Im dritten Fall gehen die drei Teilintegrale von 0 bis 1, von 1 bis u-1
und von u-1 bis u. Im ersten Integral ist der linke Faktor 0, im letzten
der rechte und im mittleren beide. Also ist das Ergebnis 0.

Autor: D. I. (Gast)
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Yalu X. schrieb:
> Im ersten Fall integrierst du ganz normal von 0 bis u. Beide Faktoren im
> Integral sind dann 1, also ist das Ergebnis u-0=u.
>

Das habe ich noch selbst hingebracht jo.

> Im zweiten Fall zerlegst du das Integral in drei Teilintegrale: von 0
> bis u-1, von u-1 bis 1 und von 1 bis u. Im ersten Integral ist der linke
> Faktor 0, im letzten der rechte. Nur im mittleren Integral sind beide
> Faktoren 1, also ist das Ergebnis 1-(u-1)=2-u.
>
> Im dritten Fall gehen die drei Teilintegrale von 0 bis 1, von 1 bis u-1
> und von u-1 bis u. Im ersten Integral ist der linke Faktor 0, im letzten
> der rechte und im mittleren beide. Also ist das Ergebnis 0.

Ok das führt offensichtlich zum Ergebnis. Aber was ist die Idee dahinter 
die Integrationsgrenzen so zu wählen?

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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D. I. schrieb:
> Ok das führt offensichtlich zum Ergebnis. Aber was ist die Idee dahinter
> die Integrationsgrenzen so zu wählen?

Die beiden zwischen 0 und u liegenden zusätzlichen Integrationsgrenzen
werden an die Unstetigkeitsstellen der beiden Faktoren gelegt. Bei y=1
wechselt N00(y) von 1 nach 0, und bei y=u-1 wechselt N00(u-y) von 0 nach
1.

Jetzt muss noch geprüft werden, in welchen Fällen die Grenzen 1 und u-1
überhaupt relevant sind, d.h innerhalb des Intervalls [0,u] liegen. Das
ist nur für u>=1 der Fall. Für u<1 sind N00(y) und N00(u-y) über das
gesamte Integrationsintervall konstant 1, was das Ergebnis u liefert.

Für u>=1 liegen 1 und u-1 beide in [0,u], also spaltet man das Gesamt-
integral sinnvollerweise an den Unsteigkeitsstellen der Faktoren in drei
Teile auf. Damit sich die Teilintervalle nicht überlappen, muss man die
Zwischengrenzen 1 und u-1 in die richtige (aufsteigende) Reihenfolge
bringen, so dass sich folgende Integrationsgrenzen ergeben:

  0,   u-1,   1,   u      für u<2

oder

  0,    1,   u-1,  u      für u>=2

Zwischen jeweils zwei dieser Grenzen sind N00(y) und N00(u-y) beide
konstant, so dass die drei Teilintegrale leicht gelöst werden können.

Autor: D. I. (Gast)
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Ok danke dir für die ausführliche Erklärung das hat geholfen.

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