[Mathematik] Separationsansatz - alle Lösungen finden für?

[Michael F. (michael_f)]

habe eine frage zu analysis

Finden sie alle lösungen der form u(x,y) = f(x)g(x). [man soll 
separationsansatz verwenden]

ich bezeichne ableitung von u nach x mit u,x und ableitung nach y mit 
u,y [bzw. f,x f,y g,x g,y]


aufgabe: u,x + e^x * u,y = 0

meine lösungsvariante: zuerst kann man u,x und u,y mit f und g 
ausdrücken:

--> g*f,x + f*e^x*g,y = 0 ------- | : f * g

-> f,x / f + e^x * g' / g = 0

nun müssen beide terme konstant sein und zusammen = 0 ergeben.

also f,x / f = c

und e^x * g' / g = -c

dann kann man die dgl's lösen: f = A*e^(c*x) und g = B*e^(-c*y*e^(-x))

u = f * g = A*B*e^(c*x)*e^(-c*y*e^(-x))

das wäre dann meine lösung.

in der musterlösung haben sie ganz am anfang die gleichung nicht nur 
durch f*g sondern durch f*g*e^x dividiert. das gibt natürlich dann ganz 
andere DGLs. so bekommen die als schlussergebnis: K*e^(c*e^(x))*e^(-c*y) 
[dabei wurden A*B als K zusmamengefasst].

meiner meinung nach fehlt da doch mindestens noch ein x. (damit man 
weiss wo hab ichs gross geschrieben) => sollte so sein: 
K*e^(c*X*e^(x))*e^(-c*y) oder??


MEINE FRAGEN:
1. habe ich recht, dass das X in der lösung gefehlt hat?
2. stimmt meine lösung, die ich oben beschrieben habe (nur durch f*g zu 
teilen) auch??


ich hab auch schon meine lösung mit der richtigen gleichgesetzt, dann 
kommt raus:

x - y*e^-x  = x*e^x - y

wenn man meine lösung *e^x rechnet bzw. die von der musterlösung durch 
e^x teilen würde, dann wären die lösungen identisch. vielleicht hilft 
das weiter (?)

DANKE!!

[Johann L. (gjlayde)]

Michael F. schrieb:
> habe eine frage zu analysis
>
> Finden sie alle lösungen der form u(x,y) = f(x)g(x). [man soll
> separationsansatz verwenden]

Wohl eher

$$u(x,y) = f(x)\cdot g(y)$$

> aufgabe: u,x + e^x * u,y = 0

Du erhöhst die Chance auf ein Antwort beträchtlich, wenn das lesbar da 
steht...

$$\frac{\partial u}{\partial x} + e^x \cdot\frac{\partial u}{\partial y} = 0$$

> meine lösungsvariante: zuerst kann man u,x und u,y mit f und g
> ausdrücken:
>
> --> g*f,x + f*e^x*g,y = 0 ------- | : f * g

$$f'(x)g(y) + f(x)g'(y) \cdot e^x= 0$$

> -> f,x / f + e^x * g' / g = 0
>
> nun müssen beide terme konstant sein und zusammen = 0 ergeben.
>
> also f,x / f = c
>
> und e^x * g' / g = -c

$$-e^{-x}\cdot \frac{f'}f(x) = \frac{g'}g(y) = \text{const.}$$

Da ist also der Wurm... Die eine Seite ist nur von x abhängig, die 
andere nur von y. Du hast falsch sortiert.

[Michael F. (michael_f)]

ja richtig, u(x,y) = f(x)g(y).

hätte es gerne so schön geschrieben, doch so weit bin ich mit latex noch 
nicht.

achsoo. das macht sinn. alle X und alle Y auf eine seite bringen, erst 
dann kann man den separationsansatz anwenden.


vielen Dank!