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Forum: Offtopic Fermat und seine Kuben


Autor: Иван S. (ivan)
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Guten Morgen,

ich habe mir gestern in der Nacht unter Anderem ein kurzes Video über 
die Mathematik angesehen, genauer "Mathematik zum Anfassen: Das berühmte 
Problem", einsehbar unter Anderem unter folgendem URL: 
http://www.youtube.com/watch?v=zjY88cZLgG4

Dort wird auf ein Problem eingegangen, welches ein gewisser Franzose 
names Fermat im 17. Jahrhundert nach Lektüre der Aufzeichnungen eines 
antiken Griechens namens Diophant gelöst habe. Diese Lösung soll elegant 
und einleuchtend sein, sie ist jedoch nicht überliefert worden.

Im 18. Jahrhundert konnte anscheined ein Schweizer namens Euler das 
Problem unter Zuhilfenahme sogenannter "imaginärer" - also eingebildeter 
- Zahlen lösen.
Einen neuzeitlichen, umfangreichen Beweis trat der Brite Wiles an, der 
dazu sogenannte "elliptische Kurven" und Unmengen an Papier benötigte.

Der elegante Fermat'sche Beweis sei also angeblich bis heute nicht 
gefunden worden. Das hat mich stutzig gemacht, weswegen ich hier also 
meine gedanklichen Ergüsse dazu niederschreiben will.

Bei diesem Kubenproblem handelt es sich um folgenden Sachverhalt:
"Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben zu zerlegen."

Ich weiß nicht, was an dieser Offensichtlichkeit überhaupt zu beweisen 
wäre. Jeder, der sich dieses Problem überhaupt gedanklich vorzustellen 
vermag, der muß doch instantan einsehen, daß es gar keine Möglichkeit 
geben kann, aus einem Würfel einen kleineren Würfel in jener Weise 
herauszuschneiden, sodaß nach dieser Operation wiederum ein Würfel 
übrigbleibt. Man kann es oft, lange und mit Beharrlichkeit an einem 
Würfel aus Holz versuchen und wird doch nie zu einem Erfolge gelangen.

Allenfalls ein Quader dessen kleinste Flächen ein Quadrat bilden und 
dessen lange Seite doppelt so lange ist wie die Seitenlänge eben eines 
dieser Quadrate ließe sich problemlos in zwei Kuben teilen. Dies dürfte 
ebenso offensichtlich sein, nehme ich an. Aber das ist ja ebensowenig 
ein Problem, wie die Nicht-Teilbarkeit eines Kubus in zwei kleinere.

Aber bitte, wenn es eben mathematischer sein muß:
Im Zahlensystem der guten, heuzutage "natürlich" genannten Zahlen, 
besitzt der kleinste mögliche Kubus die Seitenlänge 1 und das Volumen 1. 
Da es keine kleiner Zahl als 1 gibt, so ist natürlich auch das 
wegschneiden eines kleineren Kubus' unmöglich, für diesen speziellen 
Falle halte ich also den Beweis schon für meinerseits instantan 
erbracht.

Nun der Kubus mit Seitenlänge 2: Dieser besitzt ein Volumen von 8. Der 
einzige kleinere Kubus welchen man herausschneiden könnte ist der Kubus 
mit Seitenlänge 1. Übrig bleibt ein Gebilde in Form eines Ls (Volumen) 
vor (oder hinter) einer Platte von 2x2x1, das Gesamtvolumen beträgt 7. 
Dieses  Gebilde ist aber wiederum kein Kubus. Schlimmer noch: Es ist 
überhaupt kein Kubus bekannt, welcher ein Volumen von 7 aufweisen kann.

Kubus Seitenlänge 3: Volumen 27
Kleinere (potentiell) abziehbare Kuben: Seitenlänge 1, Seitenlänge 2
Abziehen von Kubus SL1: Restvolumen 26. 26 ist kein Element aus N^3
Abziehen Von Kubus SL2: Restvolumen 19. 19 !E N^3

Seitenlänge 4: V=64
PAK: SL 1, SL 2, SL 3
 64  -  1^3 ==   64  -   1  =   63;   63 !E N^3
 64  -  2^3 ==   64  -   8  =   56;   56 !E N^3
 64  -  3^3 ==   64  -  27  =   37;   37 !E N^3

SL 5: V=125
125  -  1^3 ==  124;   124 !E N^3
125  -  2^3 ==  117;   117 !E N^3
125  -  3^3 ==   98;    98 !E N^3
125  -  4^3 ==   61;    61 !E N^3

SL 6: V=216
216 -   1 = 215
216 -   8 = 212
216 -  27 = 189
216 -  64 = 152
216 - 125 =  91

usw. usf.

Für jede Zahl x gibt es eine Kubikzahl C=x^3
Für jedes dieser C gibt es x-1 kleinere Kuben.
Diese kleineren Kuben nennen wir nun A, das Restvolumen
soll in sinniger Weise nun B genannt werden. Die den Volumina
entsprechenden Seitenlängen wollen wir mit den äquivalenten
Kleinbuchstaben bezeichnen, so soll also C=c^3 sein.
Die Annahme für teilbare Kuben lautet nun:
C = A + B (Volumina)  bzw.  a^3 + b^3 = c^3 (Längen)

Wir wollen also sehen was passiert, wenn wir ein Volumen A
versuchen von einem größerem Volumen C abzuziehen.

B = C - A
b^3 = c^3 - a^3

Wir wollen das kleine Volumen einfacher Weise simpel von der Ecke
des größeren Volumens abziehen.
Nun können wir leicht erschließen, daß die Seitenlänge a des
abzuziehenden Kubus' gleich der Differenz aus c und b sein muß.

In Folge gilt:           b^3 = c^3 - ( c - b )^3
Laut Binomi gilt:  (c - b)^3 = c^3 - 3bc^2 + 3cb^2 - b^3

Wir setzen ein:          b^3 = c^3 - ( c^3 - 3bc^2 + 3cb^2 - b^3 )
Klammer auflösen:        b^3 = c^3 -   c^3 + 3bc^2 - 3cb^2 + b^3
c^3 fällt weg:           b^3 = 3bc^2 - 3cb^2 + b^3
Umformen -b^3 +3cb^2:  3cb^2 = 3bc^2
Division durch 3:       cb^2 = bc^2
Division durch c:        b^2 = bc
Division durch b:          b = c

Toll, ein Abziehen eines Kubus' ist also nur möglich, wenn b = c ist.
Oben haben wir als Prämisse gefordert, daß die Seitenlänge a des
abzuziehenden kleineren Kubus' gleich der Differenz aus c und b sein 
muß.
Wenn b und c gleich sind, so ist deren Differenz Null.

Es kann also nur ein Kubus mit der Seitenlänge 0 abgezogen werden.
Ein Kubus mit der Seitenlänge Null ist aber identisch mit keinem Kubus.

Man darf daher mit Fug und Recht behaupten, daß es nicht möglich ist,
einen kleineren Kubus von einem Größerem abzuziehen.

Was denkt Ihr?

Gruß, Iwan

Autor: Wegstaben Verbuchsler (wegstabenverbuchsler)
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> Was denkt Ihr?
> Gruß, Iwan

Wie kann dir die Lösung der Fermaschen Vermutung bei deinem 
Börsenproblem helfen?

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Иван S. schrieb:

> Was denkt Ihr?

Das du ein wenig besser aufpassen musst, wenn du dich mit Mathe 
beschäftigst.

Was du hier anschneidest ist NICHT die Fermatsche Vermutung.

Bei der Fermatschen Vermutung geht es nicht darum ob es eine ganzzahlige 
Lösung für

   a^3 + b^3 = c^3

gibt.

Es geht auch nicht darum, ob es eine ganzzahlige Lösung für

   a^4 + b^4 = c^4

gibt.

Für alle diese Exponenten und für viele weiter, bis hinauf zu einigen 
Tausend kennt man Beweise.

Beim Fermat geht es darum, dass es für alle n (n > 2) in

  a^n + b^n = c^n

keine ganzzahlige Lösung gibt.

Und das ist eine wesentlich weitreichendere Aussage!
Denn bei den Einzelbeweisen weiß man es immer nur für ein bestimmtes n. 
Das schliesst aber nicht aus, dass es nicht ein n geben könnte, 
vielleicht extrem gross, meinetwegen 5000000, bei der das dann doch 
wieder geht. Und wenn es nicht 5000000 ist, dann vielleicht 5000001 usw.

Nein. Fermat sagt, für ALLE n, egal wie gross dieses n auch sein möge, 
egal welchen Wert es hat, es geht nicht.

"Für Alle" das ist für Mathematiker so ziemlich das Beste was es geben 
kann. Sozusagen ihr 'beinahe heiliger Gral'. Denn damit haben sie einen 
allumfassenden Beweis gefunden, der immer gilt.
Das ist so wie die Aussage: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Oder in der Sprache der Mathematik:
Für ALLE n, n Element aus den natprlichen Zahlen, gibt es ein m 
(ebenfalls aus den natürlichen Zahlen), so dass gilt: m > n UND m ist 
prim. Nimm ein n an, irgendeines, es spielt keine Rolle welches. Es wird 
immer ein m geben welches größer ist und welches prim ist.

Darum geht es beim Fermat. Um das "Für ALLE". Und genau dieses "Für 
ALLE", das ist der Knackpunkt beim Fermat. Darum dreht sich alles beim 
Fermat.

Und das hat weder Gauss noch Euler noch irgendjemand anderer vor 1997 
geschafft nachzuweisen. Viele haben sich daran versucht, keiner hat es 
geschafft. Auch viele Amateurmathematiker haben sich am Fermat versucht 
und ihre 'Beweise' an professionelle Mathematiker geschickt. Dort sind 
diese Beweise meistens ungesehen in den Papierkorb gewandert bzw in der 
Ablage für entweder 'mittlerer Unsinn' bzw. 'kompletter Unsinn' 
verschwunden. Man wusste in der Mathematik schon lange, dass es keinen 
einfachen Beweis für den Fermat geben kann, sondern dass dazu ein ganz 
neuer Ansatz notwendig sein würde und das dieser Ansatz sicher nicht aus 
dem Nicht-professionellen Umfeld der Mathematik kommen würde.

Autor: Uhu Uhuhu (uhu)
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Иван S. schrieb:
> Nun können wir leicht erschließen, daß die Seitenlänge a des
> abzuziehenden Kubus' gleich der Differenz aus c und b sein muß.

Aus
folgt:

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Иван S. schrieb:
> Bei diesem Kubenproblem handelt es sich um folgenden Sachverhalt:
> "Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben zu zerlegen."
>
> Ich weiß nicht, was an dieser Offensichtlichkeit überhaupt zu beweisen
> wäre. Jeder, der sich dieses Problem überhaupt gedanklich vorzustellen
> vermag, der muß doch instantan einsehen, daß es gar keine Möglichkeit
> geben kann, aus einem Würfel einen kleineren Würfel in jener Weise
> herauszuschneiden, sodaß nach dieser Operation wiederum ein Würfel
> übrigbleibt.

Mit "Kubus" ist hier nicht ein geometrischer Würfel, sondern eine
Kubikzahl gemeint. Und der Satz geht ja noch weiter (s. Beitrag von Karl
Heinz).

Autor: Иван S. (ivan)
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Es ging in erster Linie um das Problem mit den Kuben. Da ich nur geringe 
mathematische Kenntnisse besitze, ist es mir auch nicht möglich, eine 
allgemeine Lösung anzugeben.

Allerdings soll es ja eine allgemeine Formel nach dem Prinzip Binomis 
geben. Mit dieser allgemeinen Formel könnte man hernach wahrscheinlich 
ebenso wie ich verfahren, also den abzuziehenden Körper als Differenz 
zwischen dem Ausgangskörper und dem Rest dieser Subtraktion zu 
betrachten.

Da ich in meinem persönlichem Alltag allerdings selten mit Gebilden zu 
tun habe, welche mehr als 3 Dimensionen aufweisen und überdies meine 
Kenntnisse der Zahlenverdreherei für solch ein Vorhaben zu geringwertig 
vorhanden sind, so überlasse ich dieses Feld den jüngeren und in diesem 
Felde wohl auch ambitionierteren Kollegen.

Mir reicht es schon, dies für den Sachverhalt mit den Kuben gezeigt zu 
haben, so verbleibe ich, in diesem Sinne und den besten Wünschen für 
einen Erfolge in dieser Sache,

mit Gruße, Iwan

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Da die Poincare Vermutung mitlerweile auch bewiesen werden konnte, 
kannst du dich ja noch an der Goldbach-Vermutung betätigen.

Die sieht auf den ersten Blick noch viel einfacher aus, hat es aber 
faustdick hinter den Ohren.

  Jede gerade Zahl größer als 2, kann als die Summe 2-er Primzahlen
  aufgefasst werden.

Das ist alles. Ganz simpel.
Zum Beispiel 14
14 besteht aus 3 + 11. 3 ist eine Primzahl, 11 ist eine Primzahl

Goldbach sagt nun nicht, dass das für 14 oder 16 oder 1024 oder 5000002 
geht. Nein, Goldbach sagt: Das geht mit jeder geraden Zahl.

Für alle n, n Element aus N, gibt es 2 Zahlen m und k, so dass

   2*n = m + k   UND m ist prim UND k ist prim

Für die Mathematik hat die Goldbach Vermutung zwar keine große 
Bedeutung. Wer sie beweisen kann, dem ist allerdings die Fields Medaille 
so gut wie sicher ( == Nobel Preis der Mathematik)

Autor: Иван S. (ivan)
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Yalu X. schrieb:
> Mit "Kubus" ist hier nicht ein geometrischer Würfel, sondern eine
> Kubikzahl gemeint.

Zwischen diesen Beiden gibt es keinen Unterschied.

Mit Gruße, Iwan

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Иван S. schrieb:
> Es ging in erster Linie um das Problem mit den Kuben. Da ich nur geringe
> mathematische Kenntnisse besitze, ist es mir auch nicht möglich, eine
> allgemeine Lösung anzugeben.

:-)
Was immer du glaubst gezeigt zu haben, es hat nichts mit dem Problem zu 
tun.
:-)


> Ich weiß nicht, was an dieser Offensichtlichkeit überhaupt zu
> beweisen wäre. Jeder, der sich dieses Problem überhaupt gedanklich
> vorzustellen vermag, der muß doch instantan einsehen, daß es gar
> keine Möglichkeit geben kann, aus einem Würfel einen kleineren Würfel
> in jener Weise herauszuschneiden, sodaß nach dieser Operation wiederum
> ein Würfel übrigbleibt.

Darum geht es aber gar nicht, wenn Mathematiker von einem Kubus reden.
Wenn sie sich einen Kubus als einen Würfel vorstellen, dann stellen sie 
ihn sich ale ein Gebilde vor, bei dem alle Seiten gleich lang sind, und 
dessen Volumen der gesuchte Kubus ist. Denn das Volumen eines Würfels 
ist proprtional zur 3. Potenz der Seitenlänge.

Und natürlich kann ich deinen deformierten Kubus nehmen und entsprechend 
zurechtdrücken (da beginnt dann das Reich der Topologie) bis die Delle 
weg ist und ich wieder einen Würfel mit genau dem gleichen Volumen wie 
dein beschnittener Würfel aufweist. Stell dir den Würfel meinetwegen aus 
Ton gemacht vor. Und du darfst nach der Teilungsoperation die Tonklumpen 
wieder zu neuen perfekten Würfeln formen solange du nur kein Material 
verschwinden lässt oder dazugibst.

Nur sagt uns der Fermat dann eben: Dieser neue, zurechtgebogene Würfel 
wird keine ganzzahlige Seitenlänge haben (wenn die beiden Ausgangswürfel 
ganzzahlige Seitenlängen hatten).

Das ist die bedeutung von 'Man kann keinen Kubus in 2 kleinere 
ganzzahlige Kuben zerlegen' Es geht nicht um die Äussere Form, aka 
Würfel, sondern es geht um das Volumen und dessen Verhältniss zur 
Seitenlänge. Wenn wir schon das mathematische Problem in die Sprache der 
Geometrie übersetzen wollen.

Es ist nicht möglich 3 Würfel herzustellen, so dass
alle 3 Würfel ganzzahlige Seitenlängen haben UND das Volumen der beiden 
kleineren Würfel zusammengenommen das Volumen des größeren Würfels 
ergeben.

Und das ist in der Tat für sich genommen eine erstaunliche Tatsache.

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Иван S. schrieb:
> Yalu X. schrieb:
>> Mit "Kubus" ist hier nicht ein geometrischer Würfel, sondern eine
>> Kubikzahl gemeint.
>
> Zwischen diesen Beiden gibt es keinen Unterschied.

Doch, sogar einen großen: Das eine ist ein geometrischer Körper, das
andere eine Zahl. Dass ein Würfel nicht in zwei kleinere Würfel zerlegt
werden kann, ist trivial. Dass eine Kubikzahl nicht als Summe zweier
kleinerer Kubikzahlen dargestellt werden kann, ist nicht mehr trivial.
Immerhin hat einer Euler heißen müssen, um das zu beweisen.

Autor: Иван S. (ivan)
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Karl heinz Buchegger schrieb:
>> Ich weiß nicht, was an dieser Offensichtlichkeit überhaupt zu
>> beweisen wäre. Jeder, der sich dieses Problem überhaupt gedanklich
>> vorzustellen vermag, der muß doch instantan einsehen, daß es gar
>> keine Möglichkeit geben kann, aus einem Würfel einen kleineren Würfel
>> in jener Weise herauszuschneiden, sodaß nach dieser Operation wiederum
>> ein Würfel übrigbleibt.
>
> Darum geht es aber gar nicht, wenn Mathematiker von einem Kubus reden.
> Wenn sie sich einen Kubus als einen Würfel vorstellen, dann stellen sie
> ihn sich ale ein Gebilde vor, bei dem alle Seiten gleich lang sind, und
> dessen Volumen der gesuchte Kubus ist. Denn das Volumen eines Würfels
> ist proprtional zur 3. Potenz der Seitenlänge.

Eben, genau so, wie es sich mit einem Würfel verhält. Wie gesagt, es 
gibt keinen Unterschied zwischen einem "realen" Kubus (=Würfel) und 
einem "mathetamatischem" Kubus (= Potenz mit Exponentem 3), sofern man 
rein materielle Dinge wie Gewicht/Dichte ausblendet.

> Und natürlich kann ich deinen deformierten Kubus nehmen und entsprechend
> zurechtdrücken (da beginnt dann das Reich der Topologie) bis die Delle
> weg ist und ich wieder einen Würfel mit genau dem gleichen Volumen wie
> dein beschnittener Würfel aufweist.

Unmöglich, wenn wir bei Seitenlängen im Bereich der natürlichen Zahlen 
bleiben. Man kann das sehr gut mit Zuckerwürfeln oder Legosteinen 
ausprobieren, es wird immer eine Ecke fehlen.

> Nur sagt uns der Fermat dann eben: Dieser neue, zurechtgebogene Würfel
> wird keine ganzzahlige Seitenlänge haben (wenn die beiden Ausgangswürfel
> ganzzahlige Seitenlängen hatten).

Dazu brauche ich keinen Fermat, dazu tut es wie eben gesagt auch die 
Legokiste. Als Folge davon muß eben auch Binomi gelten, dabei ist es 
egal, ob es sich um einen realen oder mathematischen Kubus handelt. Man 
kann nämlich die mathematischen Kuben sehr wohl als Volumina auffassen. 
Es müssen die selben Gesetze gelten, also auch Binomi.

> Das ist die bedeutung von 'Man kann keinen Kubus in 2 kleinere
> ganzzahlige Kuben zerlegen' Es geht nicht um die Äussere Form, ala
> Würfel, sondern es geht um deren Volumen dessen Verhältniss zur
> Seitenlänge.

Wie gesagt, das ist meiner Meinung nach das Selbe. Ich lasse mich aber 
gerne von einem Gegenbeispiel überzeugen. ;-)

Iwan,
der sich jetzt einmal ein Bierchen genehmigen wird

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Иван S. schrieb:

> Unmöglich, wenn wir bei Seitenlängen im Bereich der natürlichen Zahlen
> bleiben. Man kann das sehr gut mit Zuckerwürfeln oder Legosteinen
> ausprobieren, es wird immer eine Ecke fehlen.

Du jhast es immer noch nicht verstanden. Es geht nicht um die Ecke. Die 
ist bedeutungslos.

Stell dir einen Würfel aus Ton oder Lehm vor.
Perfekt gemacht.
Von dem schneidest du jetzt einen Teil heraus.
Die beiden entstehenden Teile darfst du wieder zu Würfeln formen. Wieder 
zu perfekten Würfeln, mit geraden Kanten und 90° Winkeln.

Fermat sagt nun:
Wenn dein Ausgangswürfel eine ganzzahlige Seitenlänge hatte, dann ist es 
unmöglich diesen Würfel in 2 Teile zu teilen, so dass man daraus wieder 
Würfel mit einer ganzzahligen Seitenlänge formen kann.

Das ist die Aussage
Man kann einen Kubus nicht in 2 Kuben zerteilen.

Und das hat nichts mit Lego oder dergleichen zu tun oder damit dass du 
an einer Ecke etwas abbrichts.

> Wie gesagt, das ist meiner Meinung nach das Selbe.

Ist es nicht.
Du bist Praktiker. Du hängst zu sehr an der äusseren Form. Die ist aber 
uninteressant. Du darfst die Gegenstände umformen, solange du nur ihr 
Volumen nicht veränderst.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Ein anderes Beispiel

Du möchtest Würfel aus Plexiglas bauen.
Aber du hast ein paar Bedingungen:
* Alle Würfel sind hohl und man kann Wasser reinschütten.
* Alle Würfel sollen innen eine ganzzahlige Seitenlänge haben
* Die Würfel sollen so bemessen sein, dass man die beiden
  kleineren Würfel randvoll mit Wasser anfüllen kann und wenn
  man das Wasser aus den beiden kleineren Würfel in den größeren
  schüttet, dann ist dieser randvoll.

Und da kommt jetzt Fermat ins Spiel und sagt: Das geht nicht!
Es ist unmöglich derartige Würfel zu bauen so dass alle Bedingungen 
erfüllt werden können.

Autor: Иван S. (ivan)
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Karl heinz Buchegger schrieb:
> Иван S. schrieb:
>
>> Unmöglich, wenn wir bei Seitenlängen im Bereich der natürlichen Zahlen
>> bleiben. Man kann das sehr gut mit Zuckerwürfeln oder Legosteinen
>> ausprobieren, es wird immer eine Ecke fehlen.
>
> Du hast es immer noch nicht verstanden. Es geht nicht um die Ecke. Die
> ist bedeutungslos.

Mir scheint eher, daß Du nicht glauben willst, daß ich diesen 
Sachverhalt sehr wohl verstanden habe.

> Stell dir einen Würfel aus Ton oder Lehm vor. Perfekt gemacht.
> Von dem schneidest du jetzt einen Teil heraus.
> Die beiden entstehenden Teile darfst du wieder zu Würfeln formen. Wieder
> zu perfekten Würfeln, mit geraden Kanten und 90° Winkeln.

Entweder, ich kann das herausgeschnittene Volumen zu einem Würfel mit 
ganzzahliger Seitenlänge formen, dann bleibt aber nicht genug (oder 
etwas zuviel, je nach Ansichtssache) für das Restvolumen über. Oder mit 
dem Restvolumen lässt sich ein Würfel formen, genau dann geht es sich 
aber mit dem herausgeschnittenem Teil nicht aus. Genau das ist der 
Knackpunkt.

> Und das hat nichts mit Lego oder dergleichen zu tun oder damit dass du
> an einer Ecke etwas abbrichts.

Man kann aber Legostücke oder Zuckerwürfel als anschaulichen Behelf für 
kleinstmögliche kubische Volumina mit Seitenlänge 1 verwenden. Man 
bildet nun aus c^3 Zuckerwürfeln einen Würfel mit der Seitenlänge c. Von 
diesem Würfel aus Zuckerwürfeln nimmt man nun eine beliebe Menge A weg. 
Nun überprüft man, ob diese Menge A eine Kubikzahl ist. Ist dem der 
Fall, so kann man aus der Restmenge Zuckerwürfeln c^3 - A mit Sicherheit 
keinen neuen Würfel bauen, es werden Zuckerwürfeln übrig bleiben.

>> Wie gesagt, das ist meiner Meinung nach das Selbe.
> Ist es nicht.

Ist es. Probier' es aus.

Gruß, Iwan

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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> B = C - A
> b^3 = c^3 - a^3
>
> Wir wollen das kleine Volumen einfacher Weise simpel von der Ecke
> des größeren Volumens abziehen.
> Nun können wir leicht erschließen, daß die Seitenlänge a des
> abzuziehenden Kubus' gleich der Differenz aus c und b sein muß.

Das muss keineswegs so sein.

Gehen wir eine Dimension tiefer.
Die berühmten phythagoräischen Zahlen 3, 4, 5

Es gilt

  5^2 = 3^2 + 4^2

aber die Differenz aus 5 und 4 ergibt nicht 3

Es sei denn du kannst zeigen, dass diese deine Voraussetzung in 
Dimension 3 gilt, ist damit dein 'Beweis' schon gestorben.
Aber versuch es erst gar nicht. Mit jedem beliebigen Gegenbeispiel kann 
man leicht zeigen, dass aus

  b^3 = c^3 - a^3

eben nicht folgt, dass a = c - b ist. Und auch geometrisch gibt es keine 
Veranlassung zu dieser Annahme.

Alles was du gezeigt hast ist: Du kannst einen Holzwürfel (einen starren 
undeformierbaren Körper) nicht so durchschneiden, dass sich wieder 2 
geometrische Würfel ergeben. Das mag zwar auch in manchen Kreisen nicht 
uninteressant sein, hat aber mit Fermat nichts zu tun. Manche würden 
sogar sagen: diese Erkentniss ist trivial, birgt aber eine interesante 
Fragestellung in sich: Gibt es einen geometrischen Körper, den man in 
geeigneter Weise in 2 Teile zerteilen kann, so dass die Teile 
verkleinerte Kopien des Originals sind.
Um ehrlich zu sein: Ich kenne die Lösung nicht. Aus dem Bauch heraus 
würde ich sagen nein. Aber sicher bin ich nicht. In 2 Dimensionen geht 
das. Die DIN Reihe beim Papier beruht darauf. DINA4 kann mit einem 
Schnitt in 2 DINA5 Blätter geteilt werden, wobei die Teile dasselbe 
Breiten zu Höhen Verhältnis aufweisen wie das Original.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Иван S. schrieb:

> Man kann aber Legostücke oder Zuckerwürfel als anschaulichen Behelf für
> kleinstmögliche kubische Volumina mit Seitenlänge 1 verwenden. Man
> bildet nun aus c^3 Zuckerwürfeln einen Würfel mit der Seitenlänge c. Von
> diesem Würfel aus Zuckerwürfeln nimmt man nun eine beliebe Menge A weg.

Wer sagt, dass ich eine ganze Anzahl an Zuckerstückchen wegnehmen muss?

Ich kann die Zuckerwürfel nach belieben zerbröseln und wieder in eine 
neue Form pressen.

> Nun überprüft man, ob diese Menge A eine Kubikzahl ist. Ist dem der
> Fall, so kann man aus der Restmenge Zuckerwürfeln c^3 - A mit Sicherheit
> keinen neuen Würfel bauen, es werden Zuckerwürfeln übrig bleiben.

Das stimmt zwar ist aber nicht das was du gezeigt hast.

Autor: Karl Heinz (kbuchegg) (Moderator)
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Aber (es ist schon spät):

Letzten Endes ist die Fragestellung aber auch relativ uninteressant. Man 
kennt seit Jahrhunderten Beweise für alle möglichen Exponenten bis 
hinauf (ich glaube) zu irgendwas um die 100000. Für alle diese 
spezifischen Zahlen n konnte man zeigen, dass

    a^n + b^n = c^n

keine Lösung in den ganzen Zahlen hat.

Aber wie bereits gesagt: Das ist nicht der Fermat.
Der Fermat ist 'für alle n' und das ist eine ganz andere Geschichte.

Autor: Иван S. (ivan)
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Karl heinz Buchegger schrieb:
> Иван S. schrieb:
>> Man kann aber Legostücke oder Zuckerwürfel als anschaulichen Behelf für
>> kleinstmögliche kubische Volumina mit Seitenlänge 1 verwenden. Man
>> bildet nun aus c^3 Zuckerwürfeln einen Würfel mit der Seitenlänge c. Von
>> diesem Würfel aus Zuckerwürfeln nimmt man nun eine beliebe Menge A weg.
>
> Wer sagt, dass ich eine ganze Anzahl an Zuckerstückchen wegnehmen muss?
> Ich kann die Zuckerwürfel nach belieben zerbröseln und wieder in eine
> neue Form pressen.

Dann verlassen wir den Bereich der natürlichen Zahlen und somit ist das 
Ganze sowiso hinfällig.

Gute Nacht.

Autor: Иван S. (ivan)
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Karl heinz Buchegger schrieb:
> Alles was du gezeigt hast ist: Du kannst einen Holzwürfel (einen starren
> undeformierbaren Körper) nicht so durchschneiden, dass sich wieder 2
> geometrische Würfel ergeben. Das mag zwar auch in manchen Kreisen nicht
> uninteressant sein, hat aber mit Fermat nichts zu tun.

Was für den Holzwürfel gilt, muss für alle kubischen natürlichen Zahlen 
gelten. Es ist egal, ob der Würfel deformierbar ist oder nicht, oder von 
wo das Volumen entnommen wird. Einzig und alleine wichtig ist, daß die 
Volumina und Seitenlängen ganze positive Zahlen sind

Auch wenn es trivial sein soll, mir genügt es. Mir wird vorgeworfen, daß 
ich zu sehr im Materiellen verankert wäre und der Würfel nicht einer 
natürlichen Kubikzahl entsprechen würde. Im Gegenzug werfe ich den 
Theoretikern vor, daß sie anscheinend den Wald vor lauter Baumen nicht 
mehr sehen. Schade, daß mich keiner versteht, macht aber nichts.

So, nun geh' ich wirklich ins Bett.

Autor: A. K. (prx)
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Иван S. schrieb:

> Theoretikern vor, daß sie anscheinend den Wald vor lauter Baumen nicht
> mehr sehen. Schade, daß mich keiner versteht, macht aber nichts.

Иван, deine Würfel bringen allein schon deshalb nicht weiter, weil du 
dich damit auf n=3 beschränkst. Ein weiterer anschaulicher Beweis, warum 
es mit n=3 nicht geht, ist zwar schön, aber für Fermat herzlich 
unerheblich. Und schon 4-dimensionale "Würfel" verlieren stark an 
Anschaulichkeit, ganz zu schweigen von solchen mit beliebigem n.

Vorsicht übrigens, dass du nicht in den Schablonen "keiner versteht 
mich" oder "die wollen mich alle nicht verstehen" verrennst. Oft genug 
sieht man damit nur in den Spiegel, d.h. merkt nicht mehr, dass nicht 
alle anderen mit ihrer Argumentation unrecht haben, sondern man selbst 
(Ein Geisterfahrer? Hunderte!) und man in eine psychologische Falle 
rennt.

Autor: Platinenschwenker .. (platinenschwenker)
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A. K. schrieb:
> Иван S. schrieb:
>
>> Theoretikern vor, daß sie anscheinend den Wald vor lauter Baumen nicht
>> mehr sehen. Schade, daß mich keiner versteht, macht aber nichts.
>
> Иван, deine Würfel bringen allein schon deshalb nicht weiter, weil du
> dich damit auf n=3 beschränkst. Ein weiterer anschaulicher Beweis, warum
> es mit n=3 nicht geht, ist zwar schön, aber für Fermat herzlich
> unerheblich. Und schon 4-dimensionale "Würfel" verlieren stark an
> Anschaulichkeit, ganz zu schweigen von solchen mit beliebigem n.

Für Dimension Nr. 4 könnte Iwan immerhin zur physikalischen 
Versinnbildlichung die Zeit hinzuziehen (bei Vektoren geht das), aber ob 
das der Anschauung des besagten Problems dient würde ich eher 
bezweifeln. Und wie soll man sich in der Mathe noch einen Vektor der 
Dimension 5 vorstellen? Am besten gar nicht mehr .. ;)

Autor: Иван S. (ivan)
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Guten Morgen,

ich sehe ein, daß ein teil von dem von mir geschriebenen Blödsinn ist.
Insbesondere beim Argument der Differenz habe ich mich arg vertan. Ich 
hatte die binonmische Formel aufgeschrieben und irrtümlicher Weise das b 
aus der Formel mit dem b aus meinem Volumen verwechselt.

Ich werde mir das Ganze aber am Wochenende nocheinmal anschauen und wenn 
sich dann kein Erfolg einstellt die Sache ad acta legen. Allerdings bin 
ich mir sicher, daß der Schlüssel zu dem Ganzen bei Binomi liegt.

Hundsmüde bin ich auch, 'mal gucken ob und wann ich endlich schlafen 
kann. Hmm, vielleicht noch schauen was der EuroStoxx heute macht.

Gute Nacht, Iwan

Autor: Uhu Uhuhu (uhu)
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Anschaulichkeitsbeweise sind ein Glatteis, das Mathematiker mit gutem 
Grund meiden.

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