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Forum: Offtopic Komplexe Zahlen


Autor: christoph (Gast)
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Hi,

ich les mir grad was über komplexe zahlen durch. Mir ist dabei was 
aufgefallen was für mich ziemlich unlogisch ist:

und zwar heisst es:
i² = -1 = i*i

wenn ich jetzt jedoch für i =wurzel(-1) schreib komm ich auf plus eins:

i*i = i² = wurzel (-1) * wurzel (-1) = wurzel (-1 * -1) = wurzel (+1) = 
+1


Ich versteh das nicht. wieso ist dsann i² minus 1?

eine begründung wäre:

(wurzel(-1))² -> hoch zwei und wurzel kürzt sich -> =-1

aber diese aussage deckt sich nicht mit dem oberen...irgendwas passt da 
doch nicht. Kann mir von euch das jemand erklären?

Grße

Christoph

: Verschoben durch User
Autor: Lehrmann Michael (ubimbo)
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Das ist einfach so definiert! Da gibt es nix zu erklären das ist einfach 
so =)

Übrigens ein etwas falsches Forum - wir sind Elektrotechnikentwickler - 
heißt jetzt nicht, dass wir keine Ahnung von Mathe haben =)

Autor: Tom (Gast)
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i*i = i² = wurzel (-1) * wurzel (-1) =  (-1)^(1/2) * (-1)^(1/2) = (-1)^1 
= -1

Autor: soso (Gast)
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naja, schau dir mal die Potenzrechenregeln an:

da gilt: Wurzel(-1) = (-1)^0,5
(-1)^0,5 * (-1)^0,5 = (-1)^(0,5+0,5) = (-1)^1 = -1

Ganz klar :-P

Autor: soso (Gast)
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misst - zu langsam

Autor: Zwölf Mal Acht (hacky)
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Es gibt einfach eine zweite Achse, die ist senkrecht zur ersten Achse. 
Die Basisvektoren sind 1 & i. Weshalb i = sqrt(-1) ist kommt spaeter, 
wenn man die Multiplikation von komplexen Zahlen dran nimmt.

Autor: Ute (Gast)
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>wenn ich jetzt jedoch für i =wurzel(-1) schreib komm ich auf plus eins:
>
>i*i = i² = wurzel (-1) * wurzel (-1) = wurzel (-1 * -1) = wurzel (+1) =
>+1

Du darfst mit "Wurzel (-1)" ja gar nicht rechnen, weil "Wurzel (-1)" 
nicht definiert ist. Das ist doch gerade der Geck.

Wenn du irgendwo "Wurzel (-1)" hast, mußt du es "i" benennen und als 
solches stehen lassen. Erst wenn du in der weiteren Rechnung irgend wann 
"i^2" erhälst, darfst du dafür "-1" schreiben.

Autor: Pink Shell (pinkshell)
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christoph schrieb:
> i*i = i² = wurzel (-1) * wurzel (-1) = wurzel (-1 * -1) = wurzel (+1) =
> +1

auf den letzten Rechenschritt kommts an: Die Wurzel aus +1 hat zwei 
Lösungen, nämlich +1 und -1. Wie so oft ist nur eine der beiden Lösungen 
richtig... -1.

Autor: Kai S. (zigzeg)
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christoph schrieb:

> aber diese aussage deckt sich nicht mit dem oberen...irgendwas passt da
> doch nicht. Kann mir von euch das jemand erklären?

Gar nicht so leicht den Fehler zu finden. Ich denke das Problem ist dass
Wurzel(a) * Wurzel(b) = Wurzel(a * b) nur für positive a und b gilt.

Damit wird die folgende Gleichungskette Ungültig:

> i*i = i² = wurzel (-1) * wurzel (-1) = wurzel (-1 * -1) = wurzel (+1) =
> +1

ZigZeg

Autor: Stefanie B. (sbs)
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Was ist die Wurzel aus 4?

richtig 2!

Aber (-2)^2 ist auch wieder 4!

Merke:
Die Wurzeloperation schränkt das Ergebnis ein, wenn man nicht komplex 
rechnet!

Guck dir mal Einheitswurzeln an.

Autor: Zwölf Mal Acht (hacky)
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Die Wurzel ist eine Operation, und hat ein Resultat. Nichtsdestotrotz 
hat eine quadratische Gleichung zwei Losungen.

Autor: Pink Shell (pinkshell)
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Ein Oschi schrieb:
> Die Wurzel ist eine Operation, und hat ein Resultat. Nichtsdestotrotz
> hat eine quadratische Gleichung zwei Losungen.

Die Wurzel ist eine Operation, und hat im allgemeinen zwei Lösungen.

Eine quadratische Gleichung hat oft 2 Lösungen. Manchmal aber auch eine 
oder gar keine (im Reellen).

Eine Wurzelgleichung lässt sich in eine quadratische Gleichung umformen.

Autor: Zwölf Mal Acht (hacky)
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Ich wollte darauf hinweisen, dass eine Wurzeloperation und eine 
Gleichung nicht dasselbe ist. Eine Wurzel hat ein Resultat, nicht zwei. 
Dass man die anderen Losungen durch Drehung erhaelt ist dann klar.

Autor: Uhu Uhuhu (uhu)
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Ein Oschi schrieb:
> Eine Wurzel hat ein Resultat, nicht zwei.

Das Ergebnis der Operation Wurzelziehen sind die Zahlen, die mit sich 
selbst multipliziert den Operanden ergeben. Wurzel aus 4 ist also +2 und 
-2.

Im Körper der Reellen Zahlen kann die Operation mehrere Lösungen haben.

Wurzeln aus negativen Zahlen existieren nur, wenn man mit komplexen 
Zahlen rechnet.

Autor: Sni Ti (sniti)
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Ute schrieb:
> Du darfst mit "Wurzel (-1)" ja gar nicht rechnen, weil "Wurzel (-1)"
> nicht definiert ist. Das ist doch gerade der Geck.

So ein Unsinn, natürlich ist es definiert, eben als i. Es ist zwar in |R 
nicht definiert, aber das tut nichts zur Sache.

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Kai S. schrieb:
> Ich denke das Problem ist dass Wurzel(a) * Wurzel(b) = Wurzel(a * b)
> nur für positive a und b gilt.

Genau das ist der Punkt. Siehe auch:

  http://de.wikipedia.org/wiki/Potenz_%28Mathematik%...

Da steht:
für beliebige reelle r, s, falls a > 0 ist;
für beliebige rationale r, s mit ungeraden Nennern, falls a < 0 ist.

Im vorliegenden Fall ist a=-1 und r=s=½. Da weder a>0 noch der Nenner
von ½ ungerade ist, kann die Rechenregel nicht angewendet werden.

Autor: Marek N. (bruderm)
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Da wir aber ein E-Technik-Forum sind, sollten wir eher "j" schreiben ;-)
Mein "jott"!

Autor: Sven P. (haku) Benutzerseite
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Haare spalten? Ok:

Uhu Uhuhu schrieb:
> Ein Oschi schrieb:
>> Eine Wurzel hat ein Resultat, nicht zwei.
>
> Das Ergebnis der Operation Wurzelziehen sind die Zahlen, die mit sich
> selbst multipliziert den Operanden ergeben. Wurzel aus 4 ist also +2 und
> -2.
Bis in den reellen Zahlenraum:
Nä, leider nicht. Das Ergebnis des Wurzeloperators angewendet auf 
positive Zahlen ist per Definition positiv, die Wurzel aus 4 ist 
eindeutig und ist +2. Das Wurzelzeichen steht für die Wurzelfunktion, zu 
der nur der positive Ast gehört. Andernfalls wäre sie keine Funktion 
mehr.

Die zweite Lösung schummelt sich bei Lösung der quadratischen Gleichung 
über ein impliziertes Betragszeichen dazu:

Erst bei der Wurzel aus komplexen Zahlen wird der Wurzeloperator 
mannigfaltig, denn die Wurzel aus einer komplexen Zahl ist per 
Definition die Lösung der zugehörigen Potenzgleichung. Das ist nötig, da 
eine komplexe Zahl nicht so ohne Weiteres positiv oder negativ ist. Da 
'2' allerdings auch eine komplexe Zahl ist, deren Imaginärteil eben 0 
ist, darf man nun freudig Haare spalten, in welchem Zahlenraum wir denn 
gerade waren :-)


Bis in den reellen Zahlenraum hinein ist folgendes jedoch nach 
Definition und Konvention _falsch_:

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