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Forum: Offtopic Astronomie: Innenwinkel in großen Dreiecken?


Autor: Johann L. (gjlayde) Benutzerseite
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Hi, ich frag mich gerade, ob es vielleicht schon den Versuch gab, den 
Innenwinkel in großen Dreiecken experimentell zu bestimmen, etwa 
mithilfe von Satalliten, die zB um die Erde oder die Sonne kreisen.

Im einfachsten, idealisierten Fall könnte Versuch so aussehen:

Drei Satelliten befinden sich im gleichen Abstand zur Sonne und sind von 
dieser aus in Winkeln von je 120° aus zu sehen. Die Satelliten senden zu 
einem bestimmten Zeitpunkt Lichtsignale aus. Jeder Satellit bestimmt 
dann den Winkel, unter dem er die beiden anderen Satelliten sieht.

Nach der Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) ergibt sich für das von 
den drei Satelliten aufgespannte Dreieck eine Innenwinkelsumme S mit S > 
180°, d.h. der Raum ist positiv gekrümmt und mithin nicht-euklidisch.

Experimentell/rechnerisch hat man einige Probleme zu bewältigen wie die 
endliche Lichtgeschwindigkeit und die Tatsache, daß die Satelliten nicht 
stillstehen (im Bezug zu Sonne), sondern sich aus praktischen Erwägungen 
in Orbits um die Sonne befinden, sich also bewegen während die 
Lichtsignale zu ihnen unterwegs sind.

Wurde so ein Experiment oder ein ähnliches schon mal ausgeführt? Zum 
Beispiel mit künstlichen Erd-Satelliten, die wesentlich leichter in den 
Orbit zu bringen sind als Sonnen-Satelliten?

Autor: A. K. (prx)
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Die Frage ist vielleicht, warum man das tun sollte. Die 
Relativitätstheorie ist gut bestätigt, die lokale Raumkrümmung 
ebenfalls. Und mittlerweile auch, dass der Raum insgesamt ziemlich 
euklidisch ist. ;-)

Autor: Johann L. (gjlayde) Benutzerseite
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A. K. schrieb:
> Die Frage ist vielleicht, warum man das tun sollte.

Für mich wäre die Frage eher, warum man es nicht tun sollte, ausser 
vielleicht aus finanziellen Gründen :-)

> Die Relativitätstheorie ist gut bestätigt, die lokale Raumkrümmung
> ebenfalls.

Mir fällt da Licht"ablenkung" im Schwerefeld ein, also 
Gravitationslinsen oder daß man bei einer Sonnenfinsternis Gestirne 
beobachten kann, die klassische hinter die Sonne zu erwarten sind. Wenn 
die Krümmung stark genug ist (was sie wohl nicht ist), dann würden sogar 
zwei Satalliten genügen.

> Und mittlerweile auch, dass der Raum insgesamt ziemlich euklidisch ist. ;-)

"Euklidisch" oder "flach"? Das ist ja nicht das gleiche :-)

Und "ziemlich euklidich" ist eben nicht-euklidisch. Der winzige Bewohner 
einer Kugeloberfläche nimmt diese eben als "fast flach" war, aber es ist 
immer noch eine Kugel -- egal wie groß die Kugel im Vergleich zum 
Bewohner ist.

In einer ähnlichen Lage ist der Mensch in Bezug auf's Universum: er ist 
winzig im Vergleich dazu; gleiches gilt auch für das Sonnensystem und 
sogar für unsere Galaxis. "Flach" ist also relativ.

Euklidisch würde zudem bedeuten, daß das Universum unendlich groß ist, 
wovon man heute nicht mehr ausgeht. Anders ausgedrückt: die Topologie 
ist nicht die von R^3, sondern irgend was anderes, zB im einfachsten 
Falle S3 (gekrümmt) oder S1^3 (flach).

Autor: A. K. (prx)
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Johann L. schrieb:

> "Euklidisch" oder "flach"? Das ist ja nicht das gleiche :-)

Die NASA kombiniert vorsorglich gleich beide Begriffe: WMAP nailed down 
the curvature of space to within 1% of "flat" Euclidean, improving on 
the precision of previous award-winning measurements by over an order of 
magnitude.

> Euklidisch würde zudem bedeuten, daß das Universum unendlich groß ist,
> wovon man heute nicht mehr ausgeht.

Ich würde nicht behaupten wollen dass ich verstehe was damit gemeint 
ist, aber die Kosmologen scheinen keinen Widerspruch in einem endlichen 
expandierenden euklidisch flachen Universum ohne Rand zu sehen.

Autor: Johann L. (gjlayde) Benutzerseite
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A. K. schrieb:
> Johann L. schrieb:
>
>> "Euklidisch" oder "flach"? Das ist ja nicht das gleiche :-)
>
> Die NASA kombiniert vorsorglich gleich beide Begriffe: WMAP nailed down
> the curvature of space to within 1% of "flat" Euclidean, improving on
> the precision of previous award-winning measurements by over an order of
> magnitude.

Euklidisch impliziert flach, nicht aber umgekehrt. In einer flachen 
Geometrie hat jedes Dreieck eine Winkelsumme von 180°. Worauf sie die 1% 
oben beziehen, ist mir aber schleierhaft. Daß die Krümmung sehr dicht an 
0 ist, ist nicht weiter verwunderlich. Damit jedoch bestimmte Topologien 
des Universums auszuschliessen, geht nur, wenn man die Gesamtgröße des 
Objekts kennt, mit dem man es zu tun hat. Lebt man z.B. in einer 
unbegrenzten Fläche und kennt deren (endliche) Größe sowie eine obere 
Schranke für deren Krümmung, so kann man bestimmte Topologien für die 
Fläche ausschliessen. Ist die Fläche zum Beispiel relativ klein und die 
Krümmung ebenfalls, kann es sich nicht um eine Kugeloberfläche handeln.

>> Euklidisch würde zudem bedeuten, daß das Universum unendlich groß ist,
>> wovon man heute nicht mehr ausgeht.
>
> Ich würde nicht behaupten wollen dass ich verstehe was damit gemeint
> ist, aber die Kosmologen scheinen keinen Widerspruch in einem endlichen
> expandierenden euklidisch flachen Universum ohne Rand zu sehen.

Euklidisch: Das Universum hat die Topologie von R^n, hier also von R^3 
und ist damit nicht endlich groß. So ist jedenfalls der Gebrauch der 
Vokabel in der Mathematik.

Flach: Der Raum ist nicht gekrümmt. Insbesondere haben Dreiecke eine 
Innenwinkelsumme von 180°. Ein Beispiel für eine endliche Topologie, 
deren kanonische Geometrie flach ist, ist der 2-Torus. Also z.B. ein 
Bildschirm wie bei einem Computerspiel, dessen gegenüberliegende Kanten 
miteinander verbunden sind. Das 3-dimensionale Analogon ist der 3-Torus, 
d.h. man nimmt einen Würfel und "verklebt" dessen gegenüberliegende 
Seiten, ohne sie zu verdrehen. Den enstehende Gebilde (das nicht mehr im 
Anschauungsraum darstellbar ist) hat endliche Größe, keinen Rand und ist 
flach.

Ohne Rand: Man kommt nie ans "Ende des Universums". Eine 2-dimensionale 
Kugeloberfläche hat keinen Rand, dennoch ist eine Kugeloberfläche 
endlich groß. Eine Kreisscheibe hat dagegen einen Rand. Der 2-Torus von 
oben hat auch keinen Rand.

Ein Attribut, das noch fehlt, ist

orientierbar: Ein Beispiel für eine nicht-orientierbate Fläche (ohne 
Rand und endlich) ist die Klein'sche Flasche: Man stelle sich eine 
kleine, rotierende Scheibe in der Fläche vor. Nun kann man die Scheibe 
so innerhalb der Fläche verschieben, daß sie an ihren Ausgangsort 
zurückkommt und ihre Rotationsrichtung umgedreht ist, ohne daß es 
einen "Sprung" gegeben hätte. Eine orientierbare Oberfläche ist die 
Kugeloberfläche: hier ist eine solche Bewegung nicht möglich. Egal wie 
man eine Scheibe darin bewegt, ihre Drehrichtung nach Zurückkehren an 
den Ausgangsort wird sich nicht verändert haben.

Autor: Johann L. (gjlayde) Benutzerseite
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...aber offenbar bekommt man auch über die kosmische 
Hintergrundstrahlung (bei entsprechender Modellbildung) Werte für die 
Raumkrümmung?

Weil nach der ART die Krümmung durch den Energie-Impuls-Tensor bestimmt 
ist, auso auch eine Aussage über die Energie(verteilung).

Autor: Marek N. (bruderm)
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Moin,

also der olle Gauß hat ja mal in Niedersachsen nach solchen Dreiecken 
gesucht. Jetzt ist er tot, das hat er nun davon.
Dass der Raum gekrümmt ist, das ist ja nun hinlänglich bekannt, also was 
genau möchtest du mit deinem Experiment beweisen?

Beste Grüße, Marek

Autor: Johann L. (gjlayde) Benutzerseite
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Marek N. schrieb:
> Moin,
>
> also der olle Gauß hat ja mal in Niedersachsen nach solchen Dreiecken
> gesucht. Jetzt ist er tot, das hat er nun davon.

Gauß ist tot, Riemann ist tot, Poincaré ist tot... und nur ist auch 
schon ganz übel!

> Dass der Raum gekrümmt ist, das ist ja nun hinlänglich bekannt,

"Bekannt" sein kann Raumkrümmung nur aus experimenteller Bestimmung 
derselben, nicht aus der Theorie. Die Theorie modelliert und macht 
Voraussagen. Mehr nicht.

> also was genau möchtest du mit deinem Experiment beweisen?

Die Frage war, ob jemand weiß, ob solche Experimente schon mal 
durchgeführt wurden. Weiterhin ist interessant, wie gegebenenfalls die 
technischen Schwierigkeiten überwunden wurden (det Teufel steckt 
bekanntlich im Detail) und welche Ergebnisse es gab.

Johann

Autor: Mario K. (Gast)
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> Johann L. schrieb:

>> Euklidisch würde zudem bedeuten, daß das Universum unendlich groß ist,
>> wovon man heute nicht mehr ausgeht.

und wo hört das Universum auf?

Autor: Johann L. (gjlayde) Benutzerseite
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Mario K. schrieb:
>> Johann L. schrieb:
>
>>> Euklidisch würde zudem bedeuten, daß das Universum unendlich groß ist,
>>> wovon man heute nicht mehr ausgeht.
>
> und wo hört das Universum auf?

Es hört nicht auf.

Am einfachsten kann man sich das klarmachen an 2-dimensonalen Analogien:

Eine Kugeloberfläche ist 2-dimensional, hat aber für ein Wesen, das 
darauf lebt, keine Grenze:

Die Oberfläche endet nicht irgendwo. Sie ist endlich groß aber 
unbegrenzt (das "ohne Rand" von oben). Es gibt aber auch andere 
Topologien (unendlich viele), die das erfüllen, zum Beispiel ein Torus, 
also die Oberfläche eines Reifens.

Analog gibt es 3-dimensionale Topologien, die keinen Rand haben und nur 
endlich groß sind. Diese kann man im 3-dimensionalen Raum nicht 
veranschaulichen, aber das heisst nicht, daß es sie nicht gibt (schon 
garnicht vom mathematischen Standpunkt aus :-))

Die 3-Sphäre, also die 3-dimensionale Verallgemeinerung einer 
Kugeloberfläche, ist mathematisch
d.h. alle Punkte, deren Abstand vom Ursprung gleich Radius ist.

Für eine ungefähre Veranschaulichung kann man sich zwei 3-dimensionale 
Kugeln vorstellen (zB eine rote und eine grüne). Dann verklebt man deren 
Oberflächen so, daß korrespondierende Punkte eins werden. Also Nordpol 
mit Nordpol, Südpol mit Südpol, etc. Bewegt man sich nun in dem so 
konstruierten 3-dimensionalen Objekt, genannt "3-Sphäre", so kommt man 
nie an eine Grenze oder an einen Rand. Dennoch ist die Größe endlich. 
Beim Übergang vom roten in den grünen Teil gibt's auch keinen Rand; man 
bemerkt lediglich einen Farbwechsel. Dieser Übergang entspricht im 
2-dimensionalen dem Äquator, an dem man sich zwei Halbkugeln -- eine 
rote und eine grüne -- zusammengesetzt denken kann. Ein 2-dimensionales 
Wesen könnte versuchen, sich eine Kugeloberfläche aus zwei Kreisflächen 
zusammengesetzt vorzustellen. Dazu werden die Kanten miteinander 
verklebt, was topologisch eine Kugeloberfläche ergibt, mangels 
3-dimensionaler Vorstellungskraft des Flächenwesens aber nicht von ihm 
erfasst werden kann. Aber es gibt ihm eine ungefähre Vorstellung von der 
2-Sphäre.

Analog kann man sich einen 2-Torus vorstellen, indem man die 
gegenüberliegenden Kanten eines Quadrats verklebt. Oder einen 3-Torus, 
indem man die gegenüberliegenden Seiten eines Würfels verklebt. 
Mathematisch ist der 3-Torus einfach
vobei S_1 die 1-Sphäre ist, also baugleich mit dem Rand eines Kreises. × 
ist das Kartesische Produkt.

Ein anderes 3-dimensionales Objekt endlicher Größe und ohne Rand, das 
weder baugleich zum T_3 noch zur S_3 ist, ist

Was das Universum angeht, so weiß man noch nicht welche Topologie es 
hat. Erschwerend kommt hinzu, daß eine Topologie mit unterschiedlichen 
Geonmetrien versehen sein kann, ähnlich wie eine Kugeloberfläche mit 
Dellen und Bergen topologisch immer noch eine Kugeloberfläche ist, 
allerdings eine mit von Ort zu Ort wechselnder Krümmung. Ein Torus ist 
topologisch etwas ganz anderes als eine Kugel, die "im Mittel" positiv 
gekrümmt sein muss. Die "natürliche" Geometrie eines Torus' ist eben im 
Gegensatz zur 2-Sphäre.

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