Komplexe rechnung

Zum Unterstreichen kann z. B. "\underline{Z}" verwendet werden.

Die Transformation (A. E. Kennelly) kann entweder auf den Realteil oder 
auf den Imaginärteil bezogen werden. Hier wird sie zweckmässigerweise 
auf den Imaginärteil {sin(·)} bezogen (, weil eine sin(·) -Zeitfunktion 
gegeben ist).

Die gegebene Zeitfunktion ist

$$i(t) = \hat{I} \cdot \sin(\omega \cdot t+ \alpha)$$

  mit

$$\hat{I} = \sqrt{2}\cdot I_{eff}.$$

Die {sin(·)-bezogene} Transformation in den komplexen Bereich lautet wie 
folgt.
  ° i(t) ist Imaginärteil der komplexen Zeitfunktion

$$\underline{i}(t) = \hat{I}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot (\omega \cdot t+\alpha)},$$

 (hier wurde ein Realteil hinzugefügt).
  ° Die komplexe Zeitfunktion wird zeitfrei gemacht:

$$\underline{I} = \frac{\underline{i}(t)}{\mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot \omega \cdot t}} = \hat{I} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot \alpha}.$$

Die gegebene Admittanz (= der komplexe Leitwert) ist

$$\underline{Y} = |\underline{Y}|\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot \mathrm{arg}(\underline{Y})}$$

    (nicht j·ω·t, denn die Admittanz ist nicht abhängig von der Zeit).
Es folgt die komplexe Spannung

$$\underline{U} = \frac{\underline{I}}{\underline{Y}} = \frac{\hat{I}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot\alpha}}{|\underline{Y}|\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot \mathrm{arg}(\underline{Y})}} = \frac{\hat{I}}{|\underline{Y}|} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot (\alpha-\mathrm{arg}\lbrace\underline{Y}\rbrace)}.$$

Jetzt wird die Rücktransformation in den Zeitbereich durchgeführt.
  ° Die komplexe Zeitfunktion ist

$$\underline{u}(t) = \underline{U} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot\omega \cdot t} = \frac{\hat{I}}{|\underline{Y}|} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}\cdot (\omega \cdot t +\alpha-\mathrm{arg}\lbrace\underline{Y}\rbrace)}.$$

  ° Die gesuchte reelle Zeitfunktion ist der Imaginärteil

$$u(t) = \mathrm{Im}[\underline{u}(t)] = \frac{\hat{I}}{|\underline{Y}|} \cdot \sin(\omega \cdot t +\alpha-\mathrm{arg}\lbrace\underline{Y}\rbrace).$$

Mike4 schrieb:
> (habe noch nie
> einen "komplexen" Widerstand in der Eulerischen form
> gesehen/betrachtet...

Na, dann wirds aber mal Zeit... :)

Eine Impedanz, als Bodediagramm visualisiert, ist nicht nur schön 
anzusehen, sondern man erkennt das Systemverhalten auf einen Blick und 
kann daraus direkt nützliche Schlüsse ziehen und Systeme gut miteinander 
Vergleichen.

Oder vielleicht so, als Beispiel an Nichtidealen bzw Realen Bauteilen, 
wie z.B. einen Elektrolytkondensator:
Man veranschaulicht sich dessen Komplexe Impedanz als einen von der 
Frequenz abhängigen Kapazitätsanteil und einen von der Frequenz 
abhängigen Widerstandsanteil(auch ESR genannt). Das ist für den in 
Schaltplänen und passiven Grundbauteilen denkenden Menschen sehr leicht 
nachzuvollziehen und zu verstehen. Dann kannst du auch gleich sagen: 
hier bei 4 kHz geht der Kondensator nur noch halb so gut(oder so 
ähnlich).
Nachteil dieser Darstellung ist, dass sie nur auf den Bereich bis hin 
zur Resonanzfrequenz greifbar und leicht verständlich ist.

mfg mf