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Forum: Offtopic Wurzelautomatik beim Taschenrechner


Autor: Ingo Laabs (grobian)
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Kann mir mal einer erkären, wie die Wurzelautomatik beim Taschenrechner 
funktioniert. In der Schule (vor 30 Jahren) haben wir es mal durch 
näherung und probieren gelernt. Wie macht es der Taschenrechner ?

Gruß aus der Wurzel Deutschlands (Berlin)
Ingo

Autor: Vlad Tepesch (vlad_tepesch)
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für solche Fragen kann ich
http://www.amazon.com/Elementary-Functions-Prentic...
empfehlen.

Autor: Bernd G. (Firma: LWL flex SSI) (berndg)
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Der Taschenrechner macht das über eine Reihenentwicklung.

Autor: Simon K. (simon) Benutzerseite
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Such mal nach CORDIC Algorithmus.

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Da Taschenrechner üblicherweise im BCD-Code rechnen, würde ich sagen,
dass entweder das Heron-Verfahren

  http://de.wikipedia.org/wiki/Heron-Verfahren

oder das Verfahren des schriftlichen Wurzelziehens (wie es unsere
Vorfahren noch in der Schule gelernt haben)

  http://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliches_Wurzelziehen

zum Einsatz kommt.

Letzteres Verfahren hat den Vorteil, dass es bei "aufgehenden" Wurzeln
immer das exakte Ergebnis liefert, während man beim Heron-Verfahren
evtl. mit Rundungsfehlern rechnen muss. Allerdings haben die meisten
Taschenrechner kosmetisch orientierte Rundungsstrategien, die solche
Fehler mühelos wegbügeln (an anderer Stelle allerdings auch Fehler
generieren, wo vorher keine waren).

Autor: Uhu Uhuhu (uhu)
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Ich hatte mal einen Taschenrechner, der zog fröhlich aus negativen 
Werten die Wurzel. Das spricht stark für das Heron-Verfahren.

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Uhu Uhuhu schrieb:
> Ich hatte mal einen Taschenrechner, der zog fröhlich aus negativen
> Werten die Wurzel. Das spricht stark für das Heron-Verfahren.

Wieso denn das? Das Heron-Verfahren konvergiert nur für Zahlen >= 0. Für
negative Zahlen müsste man den Betrag nehmen, um das Verfahren anwenden
zu können. Dann funtioniert aber auch jedes andere Verfahren.

Autor: Uhu Uhuhu (uhu)
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Yalu X. schrieb:
> Wieso denn das?

Probiers aus - ohne Betrag...

Autor: Yalu X. (yalu) (Moderator)
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Uhu Uhuhu schrieb:
> Probiers aus - ohne Betrag...

Hab ich:

Radikand = -2
Startwert = 1
Die ersten 10 Werte der Iteration:

   1.0000000
  -0.5000000
   1.7500000
   0.3035714
  -3.1423319
  -1.2529310
   0.1716631
  -5.7395327
  -2.6955361
  -0.9767844

Wenn man -1 als Startwert nimmt, ändert sich nur das Vorzeichen der
obigen Ergebnisse. Das Verfahren kann allein deswegen schon nicht
konvergieren, weil die Funktion

keinen reellen Fixpunkt hat.

Erst wenn man mit einem imaginären Wert startet (j), konvergiert das
Verfahren:

   1.0000000j
   1.5000000j
   1.4166667j
   1.4142157j
   1.4142136j
   1.4142136j
   1.4142136j
   1.4142136j
   1.4142136j
   1.4142136j

Ich glaube aber nicht, dass dein Taschenrechner intern mit komplexen
Zahlen rechnet.

Autor: Jörg Wunsch (dl8dtl) (Moderator) Benutzerseite
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Yalu X. schrieb:
> Allerdings haben die meisten
> Taschenrechner kosmetisch orientierte Rundungsstrategien, die solche
> Fehler mühelos wegbügeln (an anderer Stelle allerdings auch Fehler
> generieren, wo vorher keine waren).

Ich hatte mal einen Taschenrechner, bei dem war 2^14 = 16383.99. ;-)
(Alles andere hat aber gepasst, auch alle anderen Zweierpotenzen.)

Autor: Uhu Uhuhu (uhu)
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Numerik ist schon ein paar Jahrzehnte her...

Den Taschenrechner gab es Anfang der 70er bei Quelle, stinkprimitiv und 
schweineteuer.

Für Wurzel aus -4 hat er -2 ausgespuckt. Womöglich hat er einfach das 
Vorzeichen ignoriert.

Autor: Sven P. (haku) Benutzerseite
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Naja, seis drum.

;-)

Autor: Εrnst B✶ (ernst)
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Sven P. schrieb:
> Naja, seis drum.
>

== 20, solange es keine Rundungsfehler gibt ;)

.

.

.

http://xkcd.com/217/

Autor: Wilhelm F. (ferkes-willem)
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Uhu Uhuhu schrieb:

> Ich hatte mal einen Taschenrechner, der zog fröhlich aus negativen
> Werten die Wurzel. Das spricht stark für das Heron-Verfahren.

Bei negativem Argument aus dem Zahlenbereich Z (positive und negative 
ganze Zahlen) sind auch negative Wurzelergebnisse üblich. In Analysis 
machten wir die Intervallschachtelung noch zur Wurzelfindung. Die ließe 
sich auch zu einem Software-Algorithmus verarbeiten.

Wie aber die Rechner mit reellen Zahlen rechnen, weiß ich nicht ganz 
genau. Da stecken ja ausgefeilte Mathematiker dahinter.

Mein 16 Jahre alter HP48G jedenfalls, rechnet in jedem Fall immer 
richtig. Gebe ich da die Quadratwurzel von -2 ein, zeigt er mir sogar 
ein komplexes Ergebnis (0, 1.414...).

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