Übertragungsfunktion weiter umformen

[Tom D. (thomyyy)]

Hallo,
ich denke mein Thema passt hier am meisten :)

Im Anhang habe ich ein Bild hochgeladen, dieses die bis zum blauen 
Kasten von mir erarbeitete Rechnung ergibt. Sie ist entstanden von einer 
Schaltung, und bis zu diesen Punkt ist auch alles richtig.

Meine Frage lautet, ob ich diese Formel weiter umformen kann bzw. 
vereinfachen kann.
Wäre sehr dankbar für eure Hilfe.

Grüße Tom

[Alexander L. (lippi2000)]

Du hast noch ganz schön viele Quadrate von Omega drin stehen. Ich würde 
die erst einmal ausklammern.

Im Prinzip ist aber dann wahrscheinlich echt Schluss. Du kannst 
höchstens versuchen die Polynomdarstellung in eine Darstellung der Pol- 
und Nullstellen umformen (Partialbruchzerlegung).

Ob dein Ergebnis sich weiter vereinfacht glaube ich aber nicht. Du 
kannst lediglich alle Pol- und Nullstellen direkt ablesen und somit 
deine Konstanten einfacher im PN-Plan dimensionieren.


Gruß Alexander

[Hans (Gast)]

Die ganze Formel http://www.wolframalpha.com/ übergeben.

[Tom D. (thomyyy)]

@Alexander Liebhold
1. Also ich hab nochmal die Formel im blauen Kasten schön deutlich in 
einem Bild dargestellt. Im zweiten Bild habe ich durch Ausklammern eine 
verkürzte Form bekommen, meintest du es so?

Alexander Liebhold schrieb:
> Du kannst höchstens versuchen die Polynomdarstellung in eine Darstellung
> der Pol- und Nullstellen umformen (Partialbruchzerlegung).
> Ob dein Ergebnis sich weiter vereinfacht glaube ich aber nicht. Du
> kannst lediglich alle Pol- und Nullstellen direkt ablesen und somit
> deine Konstanten einfacher im PN-Plan dimensionieren.

2. Ja, das hört sich sehr interessant an was du meinst. Am liebsten 
hätte ich gerne eine Form, wo man die Pol- und Nullstellen ablesen kann, 
wie du es schon sagst (aber nur wenn es geht), z.B.=
         (x+D)*(x+E)
-----------------------------   -> für x gleich omega, und für D z.B. L1
(x-A)*(x+B)*(x-C)*(x-F)

Weißt du denn wie das genau geht mit der Darstellung der Pol- und 
Nullstellen? Denn das wäre mir am liebsten, wenn ich das ablesen könnte.


@Hans
Ich habe meine Formel in http://www.wolframalpha.com/ eingegeben, und 
die obige Berechnung bekommen. Ich habe für C1 gleich A eingesetzt, 
C2=B, C3=C, L1=D, L2=E und L3=F. Was meinst du dazu?

[Floh (Gast)]

Tom K. schrieb:
> Weißt du denn wie das genau geht mit der Darstellung der Pol- und
> Nullstellen? Denn das wäre mir am liebsten, wenn ich das ablesen könnte.

Lässt sich ausfaktoriesieren, indem du die NST rausfindest.
Also entweder WA rechnen lassen oder z.B. Hornerschema.

[Hans M. (hansilein)]

erste Nullstelle:

$$\{A\to 0\}$$

zweite Nullstelle:

$$\left\{F\to \frac{-1+B e w^2+C e w^2}{C w^2 \left(-1+B e w^2\right)}\right\}$$

dritte Nullstelle:

$$\left\{B\to \frac{1}{e w^2},C\to 0\right\}$$

[Tom D. (thomyyy)]

@Hans Mayer

Hey, wie hast du das gemacht? Welche Ausgangsformel hast du jetzt 
genommen?
Was ist mit D und E (bzw. wieso nur 3 nullstellen)?
Was soll das klein e bei dir bedeuten?
Und wie kriegt man die Polstellen? :)

[Hans M. (hansilein)]

Ich hab das mit Mathematica gemacht, einfach Solve[]
ich hab dein Wolfram Alpha-Teil genommen, klein E ist = groß E

Mir ist nicht ganz klar was Du willst, es gibt ja sehr viele Parameter.
Polstellen kann es eine ganze Menge geben, für jede Variable in 
abhängigkeit von allen Anderen Variablen.

Wenn A=0 ist ist das ganze Teil eben 0, da kommt es auf die anderen 
Parameter nicht mehr an.
Was das bedeutet weiss ich nicht, Du hast die Schaltung ja nicht hier 
reingestellt.

[Hans M. (hansilein)]

sorry, kommando zurück meine nullstellen sind falsch, Mathematika hat 
das D als Aufforderung abzuleiten verstanden.

[Tom D. (thomyyy)]

Hm okay, naja hab das e net ganz verstanden mit dein mathematica.

Ich denke ich habe das weiter oben gut beschrieben... z.B. oben, der 
Alexander hat mich schon richtig verstanden und weiß wohl was ich will.

Ganz oben im Startbeitrag mit der Formel im blauen Kasten, die will ich 
weiter umformen bzw. eine Umformung kriegen, wo ich direkt meine Pol- 
und Nullstellen ablesen kann. :)

[Alexander L. (lippi2000)]

Hey Tom,

was mich etwas wundert, sind die Zeitkonstanten in deiner Gleichung.

(jw)^2 --> einfache Zeitkonstante
(jw)^4 --> quadratische Zeitkonstante

Das sehe ich erst mal bei dir nicht.
Ich bin jetzt nochmal in deine Umformung des ersten Post's reingegangen 
und habe folgendes gemacht:

1.Vereinfachen (Kürzen) des deiner ersten Gleichung

$$\frac{ (j\omega )^2L_2L_3 + \frac{L_3+L_2}{C_2} + \frac{L_2}{C_3} + \frac{1}{(j\omega )^2C_2C_3} }{ (j\omega )^2L_1L_2 + \frac{L_1 + L_2}{C_2} + \frac{L_2}{C_1} + \frac{1}{(j\omega )^2C_1C_3} }$$

Jetzt multipliziere ich genau wie du den Zähler und Nenner mit 
(jw)^2*C2*C3

$$\frac{ (j\omega )^4L_2L_3C_2C_3 + \left[ (L_2+L_3)C_3 + L_2C_2\right]\cdot (j\omega )^2 + 1 }{ (j\omega )^4L_1L_2C_2C_3 + \left[ (L_1+L_2)+C_3 + L_2C_2\frac{C_3}{C_1} \right]\cdot (j\omega )^2 + \frac{C_2}{C_1} }$$

An dieser Stelle sind nun alle Zeitkonstanten in Ordnung!

Die Übertragungsfunktion liegt nun ordnungsgemäß in Polynomdarstellung 
vor.

$$G(j\omega ) = \frac{ b_m(j\omega )^m + \dots + b_2(j\omega )^2 + b_1(j\omega ) + b_0 }{ a_n(j\omega )^n + \dots + a_2(j\omega )^2 + a_1(j\omega ) +a_0 }$$

Die Polynomdarstellung lässt sich in das Zeitkonstantenmodell wie folgt 
umrechnen:

$$G(j\omega ) = \frac{b_0}{a_0}\frac{ \left(1+j\omega T_{D1}\right)\left(1+j\omega T_{D2}\right)\cdot\dots\cdot \left(1+j\omega T_{Di}\right) }{ \left(1+j\omega T_{1}\right)\left(1+j\omega T_{2}\right)\cdot\dots\cdot \left(1+j\omega T_{j}\right) }$$

mit

$$T_{Di} = -\frac{1}{p_{Ni}} \qquad\qquad T_{j} = -\frac{1}{p_{Pj}}$$

Das heißt für dich: Pol- und Nullstellen deiner Übertragungsfunktion 
bestimmen.

Hierzu wird (jw)^2 = g substituiert.

[Alexander L. (lippi2000)]

Sorry,

hab die Pol-/Nullstellen mit Laplace-Operator angegeben. Es gilt p = jw

Wenn du keine Werte hast, würde ich an dieser Stelle abbrechen. 
Ansosnten könntest du dir jetzt mit einigen Vorgaben deine Pol- und 
Nullstellen im Pol-Nullstellen-Plan vorgeben und somit ein stabiles 
System konstruieren.



P.S.: Bei den Übertragungsfunktionen immer auf die Zeitkonstanten 
achten, diese müssen bei der fertigen Übertragungsfunktion in Bezug auf 
die Potenz von jw stimmen.

[Tom D. (thomyyy)]

Hey Alexander,

danke für deine Hilfe.
Also ohne j geht das nicht, sowie im blauen Kasten ?
Du hörst nach meiner Berechnung 2 Schritte vorher schon auf wie ich 
bemerkt habe. Das sieht auch richtig aus,  da es hier in der 
Polynomdarstellung vorliegt. Ich weiß jetzt aber nicht, wie ich das 
berechne mit den Zeitkonstantenmodell..? Wie beginne ich denn damit bzw. 
kannst du mir es bitte anhand eines kleinen Beispiels zeigen?

Ja ich habe einige Werte vorliegen:

L1= 248,6 nH
C1= 4,52*10^-5 nF
L2= 0,056 nH
C2= 0,198 nF
L3= 248,6 nH
C3= 4,52*10^-5 nF

Mittenfrequenz: fc= 1,5 GHz
Bandbreite: 32MHz

braucht man sonst noch was?

Grüße Thomas

[Tom D. (thomyyy)]

@Alexander

Hey, ich warte noch auf deine bzw. eure Antwort... :)