Kleines Matheproblem (DGL)

[Dominik S. (dasd)]

Hallo zusammen.

Ich hab hier gerade ein kleines Verständnisproblem bei einer 
DGL-Aufgabe.
Vielleicht kann mir zufällig jemand auf die Sprünge helfen.

Gegeben ist die DGL:

$$y^4 - 16y = 0$$

Ich suche jetzt die Nullstellen.
Das charakteristische Polynom ist also

$$\lambda^4 - 16 = 0$$

Umgestellt:

$$\lambda^4 = 16$$

Die Nullstellen lauten wohl:

$$\lambda_{1,2} = \pm 2$$

$$\lambda_{3,4} = \pm j$$

Aber wie kommt man darauf?
Ich steh' momentan wohl ziemlich auf'm Schlauch :)

Danke euch im voraus.

[Thomas B. (detritus)]

Dominik S. schrieb:

> Gegeben ist die DGL:
>
>

$$y^4 - 16y = 0$$

>
> Ich suche jetzt die Nullstellen.


Das charakteristische Polynom ist also

$$\lambda^4 - 16\lambda = 0$$

Dann z.B. Substitution von lambda^2=z.

>
> Die Nullstellen lauten wohl:
>
>
>

$$\lambda_{1,2} = \pm 2$$

>

$$\lambda_{3,4} = \pm j$$

>

[Daniel -. (root)]

wie kommt man auf den Ansatz oder auf die 4 Nullstellen?

Ansatz:
y(t)=A*exp(k*t)
y'(t)=A*k*exp(k*t)
..
..

y_allg=y_spez+y_homo

bei dir liegt eh die homo variante vor. Daher

y'''' - 16y = 0
A*exp(k*t)(k^4 - 16) = 0

da Produkt zeitunabhängig 0 sein muss, muss k^4 = 16 sein.
eine zahl ist allgemein in komplexer schreibweise
q = Q*exp(j*phi + 2*pi*j*n)
jetzt ziehst du 4 wurzel aus q ... q ist hier 16 mit
Q = 16 und phi = 0 mit n beliebig natürlich

4 -te wurzel ist hoch 1/4
16^(1/4)=Q^(1/4)*exp((j*phi + 2*pi*j*n)/4)=2*exp(j*pi/2*n)
damit "passen" jetzt 4 zahlen in die 2*pi umkreisung
n=0
n=1
n=2
n=3
(n=5 entspricht n=0, ist also keine "neue" wurzel)

Deine Lösung heisst nicht +-j sondern +-2j. und +-2 natürlich

Hoffe es hilft dir etwas
Daniel

[Dominik S. (dasd)]

Ja, die Lösungen sind natürlich

$$\lambda_{3,4} = \pm 2j$$

und

$$\lambda_{1,2} = \pm 2$$

War oben ein Tippfehler.
(In der DGL muss es natürlich auch y'''' heißen und nicht y^4, bin mit 
dem LaTeX noch nicht ganz warm :D)

Aber danke euch beiden.
Ich denke mit damit kann ich das ganze halbwegs nachvollziehen :)

[Christian L. (cyan)]

>Gegeben ist die DGL:
>y^4 - 16y = 0

>Ja, die Lösungen sind natürlich
>+-2j
>und
>+-2

Die Lösung ist falsch. Es ist doch wohl sehr offensichtlich, dass eine 
Nullstelle die 0 ist. Die zweite Nullstelle ist dann eine 2 und die 
letzten beiden +-2j.

Habt ihr jemals die -2 in die DGL eingesetzt?

Christian

[Jo O. (brause1)]

Christian L. schrieb:
>>Gegeben ist die DGL:
>>y^4 - 16y = 0
>
>>Ja, die Lösungen sind natürlich
>>+-2j
>>und
>>+-2
>
> Die Lösung ist falsch. Es ist doch wohl sehr offensichtlich, dass eine
> Nullstelle die 0 ist. Die zweite Nullstelle ist dann eine 2 und die
> letzten beiden +-2j.
>
> Habt ihr jemals die -2 in die DGL eingesetzt?
>
> Christian

Gemeint war nicht die Gleichung : y^4 - 16y = 0
sondern die DGL: y'''' - 16y = 0

+-2j und +-2 sind die Lösungen des charakteristisches Polynoms zu obiger 
DGL:

$$\lambda^4 - 16 = 0$$

daraus folgen die spez. Lösungen der DGL dann:

c1*exp(+2x) ; c2*exp(-2x) ; c3*exp (-2jx) ; c4*exp(+2jx)

siehe auch : 
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%27%27+-+16y+%3D+0+
und
http://www.mathepedia.de/Allgemeines_Loesungsverfahren.aspx

[Johann L. (gjlayde)]

Dominik S. schrieb:

> War oben ein Tippfehler.
> (In der DGL muss es natürlich auch y'''' heißen und nicht y^4, bin mit
> dem LaTeX noch nicht ganz warm :D)
Schreibt sich

$$y^{(4)}-16y = 0$$

oder

$$y''''-16y = 0$$

oder

$$\frac{\mathrm d^4y}{\mathrm dx^4}-16y = 0$$

[Christian L. (cyan)]

>Gemeint war nicht die Gleichung : y^4 - 16y = 0
>sondern die DGL: y'''' - 16y = 0

Uups, sehe es auch gerade. Sorry, falls ich etwas Verwirrung rein 
gebracht habe. Ist auch schon wieder ein Weilchen her bei mir.

Christian