Grundlagen Empfindlichkeit

[Johannes (Gast)]

Hi,

hier mal eine theoretische Frage. Ich habe einen Spannungsteiler aus R1 
und R2 und eine ideale Spannungsquelle U1.

Nun möchte ich die Empfindlichkeit von U2 (die Abgrifsspannung an R2) in 
Abhängigkeit der Bauteile Berechnen

S_u1 = R2/(R1+R2)

soweit klar, die Eingangsspannung wirkt sich direkt Proportional auf die 
Ausgansspannung aus.

Wie stelle ich nun die Terme für R1 und R2 auf??

[Ina (Gast)]

>Nun möchte ich die Empfindlichkeit von U2 (die Abgrifsspannung an R2) in
>Abhängigkeit der Bauteile Berechnen...

Was meinst du mit "Empfindlichkeit"??

[Udo S. (urschmitt)]

Meinst du die Fehlerrechnung?

[Albert .. (albert-k)]

Um sicherzugehen das ich dich verstanden habe:
Die Empfindlichkeit ist bei dir definiert als eine Veränderung von U" 
(der am Spannungsteiler abgegriffenen Spannung) zur Veränderung einer 
änderbaren Größe. In Formeln gefasst z.B.:

$$S^{U_2(R_1)}_{R_1}=\frac{\frac{dU_2(R_1)}{U_2(R_1)}}{\frac{dR_1}{R_1}}$$

Das würde die Empfindlichkeit von U2(R_1} gegen+über einer Änderung von 
R1 angeben.

Habe ich dich so richtig verstanden?

[Johannes (Gast)]

Ja genau das meine ich. Nur weis ich eben nicht wie ich von diesem 
Schritt auf meinen Term komme

[Albert .. (albert-k)]

Um dir eine kurzes Beispiel zu geben.

Man kann den von mir gezeigten Term einfach Umformen zu:

$$S^{U_2(R_1)}_{R_1}=\frac{R_1}{U_2(R_1)} \cdot \frac{dU_2(R_1)}{dR_1}$$

Der erste Term ist selbsterklärend, hier musst du nur Blind einsetzen. 
un der zweite Term ist die Ableitung von U2 nach R1, also auch ganz 
einfach.

[Johannes (Gast)]

Ich weiß ich stell mich gerade etwas dämlich an.

Ich habe das hier als zwischenschritt in einer Vorlage gegeben.
Wie ich ab diesem Term weiterkomme weiß ich, aber hier ist der Knoten 
einfach noch nicht geplatz.

$$S_{R1} = \frac{dU_2}{dR_1} = \frac{-R_2*U_1}{(R_1+R_2)^2}$$

Hätte einer die Nachsicht und würde mir das mal bitte aufzeigen wie ich 
dahin komme...

[Udo S. (urschmitt)]

Wenn ich meine alten Mathekenntnisse ausgrabe ist das doch nichts weiter 
als das partielle Differential der Gleichung

$$U_2(R1) = U_1\frac{R_2}{R_1 + R_2}$$

also die partielle Ableitung nach R1.
Wirds in der Schreibweise klarer:

$$U_2(R1) = U_1R_2(R_1 + R_2)^{-1}$$

und dann mit der Kettenregel nach R1 ableiten

[Albert .. (albert-k)]

Ich verstehe dein Problem irgendwie net so ganz.
Den zwischenschritt den du bekommen hast ist doch selbsterklärend? 
Einfach die Funktion

$$U_2(R_1) = U_1 \cdot \frac{R_2}{R_1 \cdot R_2}$$

 nach R_1 ableiten.
Mit folgenden Definitionen

$$A= U_1 \cdot R_2$$

$$B= R_1 + R_2$$

$$U_2(R_1) = \frac{A}{B}$$

ergiebt sich nach der Quotientenregel

$$\left( \frac{A}{B} \right)^{'} = \frac{A^' \cdot B - A \cdot B^'}{B^2}$$

$$\frac{dU_2(R_1)}{dR_1} =\frac{0 \cdot (R_1 + R_2) - (U_1 \cdot R_2) \cdot 1}{(R_1 + R_2)^2}$$

als Ergebnis dein Term der als zwischenschritt angegeben wurde.

Oder versuche dein problem etwas klarer zu formulieren, den gerade 
verstehe ich nicht wo das Problem von dir ist.

[Udo S. (urschmitt)]

Albert ... schrieb:
> ergiebt sich nach der Quotientenregel

Stimmt mit Quotientenregel gehts auch.
Ist schon so lange her :-)

[Udo S. (urschmitt)]

Ach so: Weiß jemand auf die Schnelle wie man die richtigen 
Ableitungszeichen für die partielle Ableitung in LaTeX kriegt?
Danke

[Johannes (Gast)]

Nein das wars, ich hing jetzt einfach irgendwie.
Jetzt wo ichs seh, komm ich mir etwas dämlich vor. Habs auch so versucht 
aber immer irgendwie einen Fehler reingebracht.

Auf jeden Fall wars das. Jetzt klappts endlich

Vielen Dank an alle für die Geduld und Hilfe

[Udo S. (urschmitt)]

Ah so gehts:
\frac{\partial U(R_1)}{\partial R_1}

$$\frac{\partial U(R_1)}{\partial R_1}$$

[Albert .. (albert-k)]

Udo Schmitt schrieb:
> Ah so gehts:
> \frac{\partial U(R_1)}{\partial R_1}
Danke für den Hinweis. habe das auch gesucht und ent auf die schnelle 
gefunden.

Johannes schrieb:
> Jetzt wo ichs seh, komm ich mir etwas dämlich vor. Habs auch so versucht
> aber immer irgendwie einen Fehler reingebracht.
Manchmal hat man ein Brett vorm Kopf, kein problem.
Ich weis nicht in welchem Kontext du das ganze amchst (Hobby, 
Selbststudium, richtiges Studium, etc.), aber bei Komplexeren Funktionen 
gibt es ein paar Hilfssätze die das ganze wesentlich vereinfachen (sind 
so knapp 10 Stück). Wenn du möchtest poste ich die hier auch rein.

[Johannes (Gast)]

Bin Student und bin gerade über dem Thema Entwurfszentrierung und da 
gehört auch die Worst-Case und Empfindlichkeitsanalyse dazu.
Für die 10 Hilfssätze Wäre ich sehr dankbar!

[Albert .. (albert-k)]

Ich beschränke mich mal auf die reinen Sätze, ohne Beweise. Desweiteren 
schreibe ich der Einfachheit und Verständlichkeit halber A(x) als A. 
Wenn die Beweise/Beispiele gewünscht sind reiche ich diese noch nach:

1. Satz

$$S^{A}_{x} = \frac{\partial{ln(A)}}{\partial{ln(x)}}$$

2. Satz

$$S^{A^m}_{x^n} = \frac{m}{n} \cdot S^{A}_{x}$$

Sonderfälle von Satz 2

$$S^{A}_{\frac{1}{x}} = -S^{A}_{x}$$

$$S^{\frac{1}{A}}_x = -S^{A}_{x}$$

3. Satz:

$$S^{c\cdot A}_x = S^{A}_{x}$$

4. Satz:

$$S^{A(u(x), v(x))}_x = S^A_{u(x)}\cdot S^{u(x)}_x+S^A_{v(x)}\cdot S^{v(x)}_{x}$$

Sonderfälle zu Satz 4

$$A(u(x), v(x)) = u(x) \cdot (v)x)$$

$$S^{u(x) \cdot v(x)}_x = S^{u(x)}_x + S^{v(x)}_x$$

oder

$$A(u(x), v(x)) = \frac{u(x)}{v(x)}$$

$$S^{\frac{u(x)}{v(x)}}_x = S^{u(x)}_x - S^{v(x)}_x$$

5. Satz:

$$S^{A(u(v(x)))}_x = S^{A(u)}_u \cdot S^{u(v)}_v \cdot S^{v(x)}_x$$

6. Satz:

$$S^{\left| A(x) \right|}_x = Re \lbrace S^{A(x)}_x \rbrace$$

Re steht für Realteil.

7. Satz:

$$S^{arc(A(x))}_x = \frac{1}{arc A(x)}\cdot Im \lbrace S^{A(x)}_x \rbrace$$

Im steht für Imaginärteil.

Mit diesen Sätzen lassen sich eigentlich alle Formeln auf eifnache oder 
bekannte Dinge herunterbrechen. Ansonsten muss man eben Ableiten.