Wahrscheinlichkeit: 12 Studenten und 12 Facharbeiten

[Truestein (Gast)]

Ein Professor hat die 12 Facharbeiten von 12 Studenten heillos 
durcheinandergebracht. Wenn er nun die 12 Arbeiten an die Studenten 
wahllos austeilt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass 
mindestens 9 Arbeiten korrekt zurückgegeben werden?

Mein Idee ist, folgende Formel (siehe Lotto) zu nehmen:

12! / 9! / 3! = 220

Es gibt 202 Möglichkeiten mindestens 9 Arbeiten korrekt zurückzugeben, 
also ist die Wahrscheinlichkeit 1/220.

Habe aber ein mulmiges Gefühl mit dieser "Lösung".

[strammer max (Gast)]

...und was genau hat das mit Elektronik zu tun?
btw: der Lösungsweg würde mich interessieren...

[HenningW (Gast)]

Eine zur Lösung führende Möglichkeit ist die Hypergeometrische 
Verteilung für 9, 10, 11 und 12 auszurechnen und zu addieren. Schön ist 
das aber nicht.

[J.-u. G. (juwe)]

Truestein schrieb:
> also ist die Wahrscheinlichkeit 1/220.
>
> Habe aber ein mulmiges Gefühl mit dieser "Lösung".

Das Gefühl hast Du zurecht. Du musst schon die Anzahl der korrekten 
Möglichkeiten auf die Anzahl aller Möglichkeiten normieren.

[Daniel -. (root)]

was du hast ist - P(genau 9 beliebige Arbeiten sind richtig)
achte auf das Wort "mindestens"

Wie gross ist P(diese 9 Arbeiten sind richtig verteilt) ;-)

[Johann L. (gjlayde)]

Das Problem wurde schon X mal durchgekaut als "Mantelproblem" oder 
"Jackenproblem". Einfach Google anwerfen.

[Timm T. (Gast)]

Truestein schrieb:
> Ein Professor hat die 12 Facharbeiten von 12 Studenten heillos
> durcheinandergebracht.

Uninteressant. Wenn die nichtmal ihre Matrikelnummer auf die Arbeit 
schreiben können, haben sie alle nur ein "Ungenügend" verdient.

[Wegstaben V. (wegstabenverbuchsler)]

> wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass
> mindestens 9 Arbeiten korrekt zurückgegeben werden?

irgendwas zwischen 0 und 1.
Bei binärem Wertebereich des Ergebnisses läßt sich die Antwort nochmal 
stark vereinfachen, es wird dann einfach auf den passenden Wert 
gerundet.

[Johann L. (gjlayde)]

Hier meine Lösung einer änlich gestellten Aufgabe. Für die Facharbeiten 
geht das analog.

Hab leider die LaTeX-Quelle verschlunzt...

[Stephan S. (outsider)]

Ich denke die Wahrscheinlichkeit ist recht hoch. Unter 12 Studenten sind 
bestimmt 9 die den Altmeister von der Fachschaft genutzt haben und somit 
eh das Gleiche auf dem Papier stehen haben... SCNR

[John H. (karabka)]

Das mantelproblem beschreibt aber die fixpunktfreie Permutation - 
gefragt war aber, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens 9 
von 12 Arbeiten korrekt zurückgegeben werden. Bei der fixpunktfreien 
Permutation errechnet man die Wahrscheinlinhkeit, dass keine Arbeit 
korrekt zurück gegeben wird.

LG,
John

[Johann L. (gjlayde)]

John H. schrieb:
> Das mantelproblem beschreibt aber die fixpunktfreie Permutation -
> gefragt war aber, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens 9
> von 12 Arbeiten korrekt zurückgegeben werden. Bei der fixpunktfreien
> Permutation errechnet man die Wahrscheinlinhkeit, dass keine Arbeit
> korrekt zurück gegeben wird.

Wie ich bereits schrieb, ist das keine copy-und-paste-Lösung, sondern 
zeigt den Weg zur Lösung anhand einer vergleichbar gelagerten, ähnlichen 
Aufgabenstellung auf.

Das Mantelproblem: Genau einer bekommt den Mantel oder genau 2 oder 
genau 3 oder...  Und davon das Gegenereignis.

Problem des OP: Genau 9 Arbeiten sind korrekt oder genau 10 Arbeiten 
sind korrekt oder...

Die Analogien der beiden Aufgaben und ihrer Lösungen sind groß und so 
evident, daß ich nicht extra aufhebens darum machte und 
fälschlicherweise davon ausging, daß eine solche Transferleistung von 
einem Studenten(?) selbst erbracht werden könnte.

Fixpunktfreiheit oder nicht verwirrt nur und hilft auch nicht weiter.

Daß die Aufgabe nicht allgemein gestellt ist als "mindestens n von m 
Studenten" wird die Lösung nochmals einfacher.

Beim Mantelproblem ist eine Schwierigkeit, eine explizite Darstellung 
der Wahrscheinlichkeit zu bekommen.  Das kann man machen, indem man 
diese rät und dann zB per vollständiger Induktion nachweist. Dabei fällt 
die Formel allerdings vom Himmmel, weshalb ich eine formale Potenzreihe 
verwendete.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Johann L. schrieb:
> Daß die Aufgabe nicht allgemein gestellt ist als "mindestens n von m
> Studenten" wird die Lösung nochmals einfacher.

Da die maximale Anzahl der falsch ausgeteilten Arbeiten (3) bekannt und
klein ist, wird die Aufgabe sogar sehr viel einfacher:

  Wieviele Möglichkeiten gibt es, alle 12 Arbeiten richtig auszuteilen?
  -> trivial

  Wieviele Möglichkeiten gibt es, genau 1 Arbeit falsch auszuteilen?
  -> trivial

  Wieviele Möglichkeiten gibt es, genau 2 Arbeiten falsch auszuteilen?
  -> sehr leicht

  Wieviele Möglichkeiten gibt es, genau 3 Arbeiten falsch auszuteilen?
  -> ziemlich leicht

<Angebermodus>
Aufgaben dieses Stils haben wir bereits in der Schule gelöst :)
</Angebermodus>

Das Mantelproblem (das ich bisher gar nicht kannte) mit einer beliebigen
Anzahl von Personen ist da schon schwieriger, sollte aber von einem
MINT-Studenten ohne fremde Hilfe gelöst werden können.


Und hier ist noch der faule Lösungsweg für das obige Problem:

Da die Anzahl der Studenten nicht allzu groß ist, lässt man einfach den
PC alle Möglichkeiten durchzählen:

import Data.List
import Ratio

prob n m = numOfGood % product [1..n]
  where numOfGood = length $ filter isGood $ permutations [1..n]
        isGood xs = (length $ filter id $ zipWith (==) xs [1..n]) >= m

main = do
  print $ prob 12 9

[Johann L. (gjlayde)]

Yalu X. schrieb:

> Aufgaben dieses Stils haben wir bereits in der Schule gelöst :)

Gibt's heutzutage keine 
Stochastik/Wahrscheinlichkeitsrechnung/Kombinatorik mehr im 
Matheunterricht?

[D. I. (Gast)]

Geht doch nichts über ein bisschen Haskellspielerei

[Johann L. (gjlayde)]

In Yalus Diktion von oben ist dann

$$\operatorname{prob}(n,m) = \sum_{k = m}^n \frac 1{k!} \sum_{j=0}^{n-k} \frac{(-1)^j}{j!}$$

auszurechnen für n=12 und m=9.

[Markus S. (markus7)]

@Johann

Wie lautet das Ergebnis deiner Formel? Komme damit einfach nicht klar!

[Markus S. (markus7)]

Hier meine Überlegungen zum Thema:

Es gibt 12! = 479 001 600 Möglichkeiten die Arbeiten zurückzugeben.

Es gibt 12! / 9! / 3! = 220 Möglichkeiten die Arbeiten an 9 Studenten 
korrekt zugeteilt zurückzugeben. Diese werden mal 2 genommen, da die 3 
falsch zugeteilten Arbeiten in zwei Variationen auftauchen

Es gibt 12! / 10! / 2! = 66 Möglichkeiten die Arbeiten an 10 Studenten 
korrekt zugeteilt zurückzugeben.

Es gibt 12! / 12! / 1! = 1 Möglichkeit die Arbeiten an 12 Studenten 
korrekt zugeteilt zurückzugeben.

Ergebnis p = 507 / 479 001 600 ~ 1.06 10^-6

Nach obiger Formel von Johann erhalte ich ~ 1.24 10-^10.

[Johann L. (gjlayde)]

Markus Selter schrieb:
> Hier meine Überlegungen zum Thema:
>
> [...]
>
> Ergebnis p = 507 / 479 001 600 ~ 1.06 10^-6
>
> Nach obiger Formel von Johann erhalte ich ~ 1.24 10-^10.

Einsetzen in meine Formel aus 
Beitrag "Re: Wahrscheinlichkeit: 12 Studenten und 12 Facharbeiten" ergibt:

$$\begin{align} p(12,9) &= \frac 1{3\cdot 9!} + \frac 1{2\cdot 10!} + \frac 1{12!}\\ &\approx 9{,}186\cdot 10^{-7} + 1{,}378\cdot 10^{-7} + 2{,}088\cdot 10^{-9}\\ &\approx 1{,}058\cdot 10^{-6} \end{align}$$

[Johann L. (gjlayde)]

Immerhin ergibt sich aus meiner Formel eine Möglichkeit, diese auf 
Plausibilität zu testen:

$$1 \,\stackrel{\,.}=\, \sum_{k = 0}^n \frac 1{k!} \sum_{j=0}^{n-k} \frac{(-1)^j}{j!} \,=\, \sum_{k = 0}^n \frac 1{(n-k)!} \sum_{j=0}^k \frac{(-1)^j}{j!}$$

Wenn es gelingt, zu zeigen, daß für irgendein natürliches n diese Summe 
nicht gleich 1 ist, dann hab ich Mist gebaut :-;

[Markus S. (markus7)]

@Johann

Zumindest das Ergebnis deiner Formel und meiner Einlassung (507 / 12! = 
1.05845158 × 10E-6) stimmen überein. Meine Umsetzung deiner Formel 
(Programm) hingegen muss ich wohl noch einmal durchsehen.

[Johann L. (gjlayde)]

Markus Selter schrieb:
> @Johann
>
> Zumindest das Ergebnis deiner Formel und meiner Einlassung (507 / 12! =
> 1.05845158 × 10E-6) stimmen überein. Meine Umsetzung deiner Formel
> (Programm) hingegen muss ich wohl noch einmal durchsehen.

Vielleicht liegt's an der Klammerung, daß du einen viel zu kleinen Wert 
bekommst. Die Formel ist so zu lesen:

$$\sum_{k = m}^n \left( \frac 1{k!} \sum_{j=0}^{n-k} \frac{(-1)^j}{j!}\right)$$

Ansonsten wären Klammern um die einzelnen Summenterme. Allerdings ist 
eine  andere Klammerung hier garnicht möglich, da in der rechten Summe 
ja der Index der linken auftaucht...

[Markus S. (markus7)]

Den Fehler habe ich gefunden (in F:statt mit T mit L multipliziert, 
dadurch wurden die "Fakultätem" zu groß).

Hier das funktionierende Programm:

{$N+}
VAR

 k : INTEGER ;
 j : INTEGER ;

 p : double ;
 s : double ;

CONST

 n = 12 ;
 m = 9 ;

FUNCTION F( L:INTEGER ):double ;

VAR

 R : double ;
 T : INTEGER ;

BEGIN
  R := 1 ;

  IF L > 1 THEN
    FOR T := 2 TO L DO
      R := R * T ;

  F := R ;
END ;

BEGIN
  p := 0 ;

  FOR k := m TO n DO
    BEGIN
      s := 0 ;

      FOR j := 0 TO n - k DO
        IF ( j AND 1 ) = 1 THEN
          s := s - ( 1 / F(j) )
        ELSE
          s := s + ( 1 / F(j) ) ;

      p := p + (1 / F(K)) * s ;
    END ;

END.

[Johann L. (gjlayde)]

Sehr mathematisch das Programm... kein Bezeichner länger als 1 Buchstabe 
;-)

Kannst du das mal für ein paar Werte n testen mit der Formal in
  Beitrag "Re: Wahrscheinlichkeit: 12 Studenten und 12 Facharbeiten"
und ob da immer 1 rauskommt?

[Markus S. (markus7)]

Johann L. schrieb:
> Sehr mathematisch das Programm... kein Bezeichner länger als 1 Buchstabe
> ;-)
>
> Kannst du das mal für ein paar Werte n testen mit der Formal in
>   Beitrag "Re: Wahrscheinlichkeit: 12 Studenten und 12 Facharbeiten"
> und ob da immer 1 rauskommt?

Ja. 1.0 und nichts anderes ;)