Primzahlen und Raumdimensionen

[Stefan H. (Firma: dm2sh) (stefan_helmert)]

Hallo,

ist euch schon mal folgendes aufgefallen:
Hat man einen 0-dimensionalen Raum, reicht ein zweites gleichartiges 
Objekt um maximale Kompaktheit zu erreichen.
Im 1-dimensionalen Raum erreichen 3 Objekte maximale Kompaktheit.
Im 2-dimensionalen R. brauch man 7 gleich große Kreise, einer in der 
Mitte, 6 außen rum. Oder 5 Quadrate, eins in der Mitte, an jede Kante 
ein weitere Quadrat.
Im 3-dimensionalen Raum kann man 13 gleiche Kugeln maximal kompakt 
anordnen, also eine in der Mitte, die anderen 12 außen rum. Oder man 
nimmt 7 Würfel, einer in der Mitte, an jeder der 6 Flächen jeweils 
einer.

Na, was fällt auf? Klar, alles Primzahlen.
Nun gibt es aber noch die 11, wo könnte man die denn unterbringen?
Wie sieht das bei höheren Raumdimensionen aus, ob sich da auch wieder 
Primzahlen ergeben?

Da gibt es ja auch noch die Riemannsche Vermutung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Vermutung
Alle nichttrivialen Nullstellen seien bei Re(s)=1/2, bei der 
Zetafunktion:

$$\zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}= \prod_{p\ \text{prim}} \frac{1}{1-\frac1{p^s}} = \frac1{\left(1-\frac1{2^s}\right) \left(1-\frac1{3^s}\right)\left(1-\frac1{5^s}\right) \cdots}$$

Wenn man das Ganze einsetzt und ein wenig umstellt:

$$s=\frac{1}{2}+i x$$

$$\zeta (s) = \prod_{p\ \text{prim}} \frac{1}{1-\frac1{p^{\frac{1}{2}+i x}}}$$

$$\zeta (s) = \prod_{p\ \text{prim}} \frac{1}{1-\sqrt{\frac{1}{p}}\cdot\frac1{p^{i x}}}$$

$$\zeta (s) = \prod_{p\ \text{prim}} \frac{\sqrt{p}}{\sqrt{p}-p^{-i x}}$$

...entstehen also einige Wurzeln. Das erinnert irgendwie an den 
Pythagoras, den man u. a. als Kreisgleichung kennt:

$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$

Die Brüche der Zeta-Funktion erinnern an die Möbius-Transformation.

Vielleicht hängen ja alle diese Sachen miteinander zusammen?
Für die maximal kompakte Anordnung der Körper im Raum, befinden sich die 
Mittelpunkt und die Berührungspunkte alle gleich weit vom zentralen 
Körper entfernt -> Radius

[Uhu U. (uhu)]

Stefan Helmert schrieb:
> Hat man einen 0-dimensionalen Raum, reicht ein zweites gleichartiges
> Objekt um maximale Kompaktheit zu erreichen.
> Im 1-dimensionalen Raum erreichen 3 Objekte maximale Kompaktheit.

Ach deswegen hats heute morgen so geknirscht, als ich in die 
Marmeladenstulle biß...

[Johann L. (gjlayde)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> Ach deswegen hats heute morgen so geknirscht, als ich in die
> Marmeladenstulle biß...

Und beim Öffbeb der Wurstpackung gab's bestimmt ne Wurstkatastrophe!

http://de.wikipedia.org/wiki/Theorie_der_endlichen_Kugelpackungen

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Stefan Helmert schrieb:
> Oder 5 Quadrate, eins in der Mitte, an jede Kante ein weitere Quadrat.

> Oder man nimmt 7 Würfel, einer in der Mitte, an jeder der 6 Flächen
> jeweils einer.


Im Vierdimensionalen haut das schon nicht mehr hin: Ein 4-D-Würfel wird
durch acht 3-D-Würfel begrenzt. Man hat also einen 4-D-Würfel in der
Mitte und 8 außen herum, macht zusammen 9, was aber keine Primzahl ist.

[Läubi .. (laeubi)]

Yalu X. schrieb:
> macht zusammen 9, was aber keine Primzahl ist

Ach was, alle ungeraden Zahlen größer 1 sind Primzahlen!
http://www.mathematik.hu-berlin.de/~jkoven/alletmoegliche/lustiges/primzahlen.pdf 
;)

[Simon S. (-schumi-)]

Jede Dimension kann hat ja 2 Richtungen.

Also 1*Dimension (1D) hat eben nach vorn und nach hinten

2*Dimension (2D) nach vorn, hinten, links, rechts

und 3*Dimension (3D) nach vorn, hinten, links, rechts, oben, unten.

Für jede weitere Dimension kommen also 2 Richtungen hinzu, in die der 
Körper begrenzt werden muss.

Demzufolge währe  das bei 4D dann 4*2 begrenzende Objekte. +1 in der 
Mitte ist wie bei Yalu 9, und keine Primzahl

Somit gilt:
[Anzahl der Körper] = 2*[Anzahl der Dimensionen] +1

Weiter würds gehen:

5D = 11 = OK
6D = 13 = OK
7D = 15 = NICHT OK
8D = 17 = OK

usw... halt

[(prx) A. K. (prx)]

Stefan Helmert schrieb:

> Im 1-dimensionalen Raum erreichen 3 Objekte maximale Kompaktheit.
> Im 2-dimensionalen R. brauch man 7 gleich große Kreise, einer in der
> Mitte, 6 außen rum. Oder 5 Quadrate, eins in der Mitte, an jede Kante
> ein weitere Quadrat.

Wie Johann mit der Erwähnung der Wurstkatastrophe schon andeutete ist 
das nicht die maximale Kompaktheit - jedenfalls nicht wenn man die über 
den umschliessende Volumen definiert.

[Simon S. (-schumi-)]

Ahja,..

>Hat man einen 0-dimensionalen Raum, reicht ein zweites gleichartiges
>Objekt um maximale Kompaktheit zu erreichen.

Warum braucht man da eigentlich ein zweites gleichartiges Objekt? Wohin 
soll denn das erste flüchten?

[Karl H. (kbuchegg)]

> Im 2-dimensionalen R. brauch man 7 gleich große Kreise,
> einer in der Mitte, 6 außen rum.

Schon falsch.

[Alexander S. (esko)]

Karl Heinz Buchegger schrieb:
>> Im 2-dimensionalen R. brauch man 7 gleich große Kreise,
>> einer in der Mitte, 6 außen rum.
> Schon falsch.
Wenn es gleich große Kreise sind stimmt das schon.

[Karl H. (kbuchegg)]

Alexander Schmidt schrieb:
> Karl Heinz Buchegger schrieb:
>>> Im 2-dimensionalen R. brauch man 7 gleich große Kreise,
>>> einer in der Mitte, 6 außen rum.
>> Schon falsch.
> Wenn es gleich große Kreise sind stimmt das schon.

Jep. Ich hatte die falsche "Zeichnung" im Kopf.

6 Kreise können um einen 7-ten in der Mitte angeordnet werden.

Sorry.

[Nitram L. (nitram)]

Läubi .. schrieb:
> 
http://www.mathematik.hu-berlin.de/~jkoven/alletmoegliche/lustiges/primzahlen.pdf

wie geil ist das denn.... :-)

nitraM

[Michael L. (michaelx)]

Stefan Helmert schrieb:
> Im 2-dimensionalen R. brauch man 7 gleich große Kreise, einer in der
> Mitte, 6 außen rum. Oder 5 Quadrate, eins in der Mitte, an jede Kante
> ein weitere Quadrat.

Was ist mit einem Fünfeck? Da braucht man 1+5 - so'n Mist, dass da keine 
Primzahl rauskommt! :-/