Mich verlassen grad meine Kombinatorikkenntnisse. Folgende Probleme: 1. Gegeben seien n Kugeln nummeriert von 1 bis n. Ich ziehe willkürlich k <= n Kugeln. Wie hoch ist die WSK, dass sich eine bestimmte Kugel i, 1 <= i <= n unter den gezogenen k Kugeln befindet? 2. Gegeben seien n Kugeln nummeriert von 1 bis n. Für jede Kugel besteht eine Wahrscheinlichkeit p_i in einen Pool aufgenommen zu werden. Aus diesem Pool ziehe ich willkürlich k <= |Pool| Kugeln. Wie hoch ist die WSK, dass sich eine bestimmte Kugel i, 1 <= i <= n unter den gezogenen k Kugeln befindet?
Zu 1: Beim 1. Zug ist die W'keit, dass Du Kugel i erwischst 1/n. Beim zweiten 1/(n-1), beim dritten 1/(n-2) usw. Mehr verrate ich nicht. Schliesslich wollen wir ja, dass Du Deine Kombinatorikkenntnisse wiedererlangst. Für 2 habe ich keine Zeit mehr. Ein ander Mal vllt.
Die Frage, die mich bei solchen Aufgaben immer beschäftigt hat. Was bringen diese Aussagen in der Praxis? Das Ausrechnen einen Widerstandswertes in der Schaltung, oder eines Trägers in der Statik ok. Aber wenn es heisst (zB), die Wahrscheinlichkeit, mit dem Auto einen tödlichen Unfall zu haben, ist 1%. Ja schön? Und nun? nach 99 Fahrten das Auto stehen lassen? Mir fehlt das irgendwie der Sinn solcher Betrachtungen...
Matthias Lipinsky schrieb: > Mir fehlt das irgendwie der Sinn solcher Betrachtungen... Versicherungsmathematikern nicht - allen Leuten, die Ausfallraten jeglicher Art berechnen. Auch diverse andere Methoden Geld zu verdienen haben eine Affinität zu Statistik, wie Lotto, andere Gewinnspiele und manches Banking. > Ja schön? Und nun? nach 99 Fahrten das Auto stehen lassen? Und zwar so lange bis das Risiko rum ist, d.h. bis es gescheppert hat. Weil, das muss dann ja kommen, das Schicksal schlägt dann unerbittlich zu und du solltest dein Auto besser gleich verkaufen. ;-)
>Versicherungsmathematikern nicht - allen Leuten, die Ausfallraten >jeglicher Art berechnen. Ja schön. Da sind wir auch nicht weiter. Und dann? Werden die Prämien erhöht.. Wie immer. Eine nachträgliche Auswertung vom zB Unfällen letztes Jahres ok. Aber Ausrechnen, ob/wie wahrscheinlich ein Ereignis in Zukunft eintreten wird... Naja,...
Daniel R. schrieb: > Zu 1: > Beim 1. Zug ist die W'keit, dass Du Kugel i erwischst 1/n. Beim zweiten > 1/(n-1), beim dritten 1/(n-2) usw. Das bezweifle ich. Gut der erste Fall ist auch nicht so schwer. Ich betrachte alle k-Teilmengen in denen die Kugel vorkommt und teile das durch alle möglichen Teilmengen, dann habe ich die WSK dass eine bestimmte Kugel in der k-Teilmenge ist und das multipliziert mit 1/k, sollte die gesuchte WSK sein. > > Mehr verrate ich nicht. Schliesslich wollen wir ja, dass Du Deine > Kombinatorikkenntnisse wiedererlangst. Wenn du einfach zugibst, dass du die Fragestellung nicht beantworten kannst hätte das schon gereicht... Die 2. Aufgabe ist wie mir scheint jedoch deutlich kniffliger, weil sich die p_i gegenseitig beeinflussen und aufs Gesamtergebnis auswirken. Matthias Lipinsky schrieb: > Die Frage, die mich bei solchen Aufgaben immer beschäftigt hat. Was > bringen diese Aussagen in der Praxis? Zum Beispiel wüßte man gern wie man die Parameter n,k,p_i wählen muss um für eine bestimmte Kugel eine Ziehwahrscheinlichkeit zu erreichen. Wenn dus etwas praxisnäher haben willst: Auf einer Spieleseite gibts Items zu verlosen, aber da die Items unterschiedlich wertvoll sind, sollen die nicht mit gleicher Wahrscheinlichkeit aus dem Itempool gezogen werden und jetzt möchte man für jedes Item eine gewisse Wahrscheinlichkeit erreichen.
Zu Frage 1: Für jede der gezogenen k Kugeln ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich dabei um die vorgegebenene Kugel i handelt, gleich 1/n. Da die Kugel i nicht zweimal gezogen werden kann, können die Einzelwahr- scheinlichkeiten einfach addiert werden, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeine der k Kugeln die Kugel i ist, gleich k/n ist. Zu Frage 2: Da in diesem Fall k keine vorgegebene Konstante ist, sondern u.a. von der Poolgröße abhängt, hängt das Ergebnis davon ab, wie k in Abhängigkeit von der Poolgröße festgelegt wird. Kannst du mehr Informa- tionen über den genauen Ablauf des Zufallsexperiments liefern?
Yalu X. schrieb: > Zu Frage 2: Da in diesem Fall k keine vorgegebene Konstante ist, sondern > u.a. von der Poolgröße abhängt, hängt das Ergebnis davon ab, wie k in > Abhängigkeit von der Poolgröße festgelegt wird. Kannst du mehr Informa- > tionen über den genauen Ablauf des Zufallsexperiments liefern? Gerne: Ich habe eine Tabelle folgender Form: Kugel | WSK im Pool zu landen (p) k1 | 100% k2 | 80% k3 | 95% ... kn | 66% Wenn nun eine Kugel bestimmt werden soll: Pool pool; forall Kugeln k: wenn random() < p_i: pool.add(k) //0.0 <= random() < 1.0 wenn !pool.empty(): k_chosen = pool.randomElement() random() und randomElement() liefern gleichverteilte Ergebnisse, also wenn etwas im Pool landet, dann haben alle Elemente im Pool die gleiche WSK gezogen zu werden.
Yalu X. schrieb: > Zu Frage 1: Für jede der gezogenen k Kugeln ist die Wahrscheinlichkeit, > dass es sich dabei um die vorgegebenene Kugel i handelt, gleich 1/n. Ich lese die Aufgabenstellung als "Ziehen ohne zurücklegen". D.h. beim ersten mal ziehen sind n Kugeln im Beutel. Die Wahrscheinlichkeit ist daher 1/n da alle Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Da aber die Kugel nicht zurückgelegt wird, sind beim nächsten mal ziehen nur noch n-1 Kugeln im Beutel. Die Wahrscheinlichkeit, die gewünschte zu ziehen ist daher 1/(n-1). Damit verbleiben n-2 Kugel im Beutel etc.
@Karl Heinz Buchegger Die erste Aufgabe ist doch allein mit Menschenverstand lösbar: Teile die n Kugeln in einen Haufen mit k und einen mit n-k Kugeln auf. Die obige Fragestellung entspricht dann der Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit Kugel i im Haufen mit den k Kugeln enthalten ist. Und das ist das Verhältnis günstige/alle, also k/n. Wie Yalu oben auch schrieb.
Ich denke die Argumentation stimmt so nicht. Wenn du günstig/alle betrachten willst, musst du dich fragen: Auf wieviele Arten kann ich einen Haufen mit k Kugeln aus den n Kugeln bilden und in wievielen davon ist die gesuchte Kugel i drinnen.
Ich nehm alles zurück und behaupte das Gegenteil. Eine Simulation zeigt, dass ihr recht habt (war ja auch wieder mal klar.) Wenn ich mich nicht vertan habe, dann zeigt das Programm
1 | #include <stdio.h> |
2 | #include <stdlib.h> |
3 | |
4 | int random( int min, int max ) |
5 | {
|
6 | return min + rand() % ( max - min ); |
7 | }
|
8 | |
9 | int main() |
10 | {
|
11 | int n, k, s, i; |
12 | |
13 | printf( "n: " ); |
14 | scanf( "%d", &n ); |
15 | printf( "Kugel suchen: " ); |
16 | scanf( "%d", &s ); |
17 | |
18 | for( k = 1; k < n; ++k ) { |
19 | |
20 | int NrFound = 0; |
21 | int nrExperiments = 0; |
22 | |
23 | for( nrExperiments = 0; nrExperiments < 100000; nrExperiments++ ) { |
24 | |
25 | // Kugeln in den Beutel
|
26 | int* Kugeln = new int [n]; |
27 | for( i = 0; i < n; ++i ) |
28 | Kugeln[i] = i; |
29 | |
30 | // Kugeln mischen
|
31 | for( i = 0; i < n - 1; ++i ) { |
32 | int index = random( i, n ); |
33 | int tmp = Kugeln[index]; |
34 | Kugeln[index] = Kugeln[i]; |
35 | Kugeln[i] = tmp; |
36 | }
|
37 | |
38 | // die ersten k ziehen und nachsehen ob die gesuchte Kugel s dabei ist
|
39 | for( i = 0; i < k; ++i ) { |
40 | if( Kugeln[i] == s ) { |
41 | NrFound++; |
42 | break; |
43 | }
|
44 | }
|
45 | |
46 | delete [] Kugeln; |
47 | }
|
48 | |
49 | printf( "gezogene Kugeln %d, gefunden %d, p = %lf\n", k, NrFound, (double)NrFound / nrExperiments ); |
50 | }
|
51 | }
|
das die Wahrscheinlichkeit tatsächlich schön linear ansteigt. Anstelle des Ziehens, mische ich einfach die Kugeln und 'ziehe' dann die k Kugeln, in dem ich nachsehe, ob die gesuchte Kugel unter den ersten k Kugeln ist. Müsste ja eigentlich gleichwertig sein. Das Experiment wird 100000 mal wiederholt und bei 100 Kugeln ergibt sich tatsächlich ein einigermassen gleichmässiger Anstieg der Wahrscheinlichkeit.
@Karl Heinz Buchegger Man kann es sich noch auf eine andere Art anschaulich überlegen: Man hat die n Kugeln, fortlaufend nummeriert von 1 bis n. Die Nummern seien abgeklebt/verdeckt. Man mischt die Kugeln und legt sie dann alle in eine Reihe. Für jede der n Positionen ist jetzt zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass die dort liegende Kugel mit der Zahl i beschriftet ist, 1/n. Nun greift man eine der Kugeln und legt sie in einen Korb. Für die verbliebenen Kugeln hat sich durch die letzte Aktion aber nichts geändert -- greift man die nächste, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mit der Zahl i beschriftet ist, noch immer 1/n. Hat man auf diese Weise seine k Kugeln im Korb und sieht nach, ob eine von ihnen mit i beschriftet ist, so ist die Wahrscheinlichkeit dafür k*(1/n) also k/n.
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