Kombinatorik Frage

Zu 1:
Beim 1. Zug ist die W'keit, dass Du Kugel i erwischst 1/n. Beim zweiten 
1/(n-1), beim dritten 1/(n-2) usw.

Mehr verrate ich nicht. Schliesslich wollen wir ja, dass Du Deine 
Kombinatorikkenntnisse wiedererlangst.

Für 2 habe ich keine Zeit mehr. Ein ander Mal vllt.

Matthias Lipinsky schrieb:

> Mir fehlt das irgendwie der Sinn solcher Betrachtungen...

Versicherungsmathematikern nicht - allen Leuten, die Ausfallraten 
jeglicher Art berechnen. Auch diverse andere Methoden Geld zu verdienen 
haben eine Affinität zu Statistik, wie Lotto, andere Gewinnspiele und 
manches Banking.

> Ja schön? Und nun? nach 99 Fahrten das Auto stehen lassen?

Und zwar so lange bis das Risiko rum ist, d.h. bis es gescheppert hat. 
Weil, das muss dann ja kommen, das Schicksal schlägt dann unerbittlich 
zu und du solltest dein Auto besser gleich verkaufen. ;-)

Zu Frage 1: Für jede der gezogenen k Kugeln ist die Wahrscheinlichkeit,
dass es sich dabei um die vorgegebenene Kugel i handelt, gleich 1/n. Da
die Kugel i nicht zweimal gezogen werden kann, können die Einzelwahr-
scheinlichkeiten einfach addiert werden, so dass die Wahrscheinlichkeit,
dass irgendeine der k Kugeln die Kugel i ist, gleich k/n ist.

Zu Frage 2: Da in diesem Fall k keine vorgegebene Konstante ist, sondern
u.a. von der Poolgröße abhängt, hängt das Ergebnis davon ab, wie k in
Abhängigkeit von der Poolgröße festgelegt wird. Kannst du mehr Informa-
tionen über den genauen Ablauf des Zufallsexperiments liefern?

WSK(Kugel_i) = 1/Poolgröße * p_i

Yalu X. schrieb:
> Zu Frage 1: Für jede der gezogenen k Kugeln ist die Wahrscheinlichkeit,
> dass es sich dabei um die vorgegebenene Kugel i handelt, gleich 1/n.

Ich lese die Aufgabenstellung als "Ziehen ohne zurücklegen".

D.h. beim ersten mal ziehen sind n Kugeln im Beutel.
Die Wahrscheinlichkeit ist daher 1/n da alle Kugeln die gleiche 
Wahrscheinlichkeit haben.
Da aber die Kugel nicht zurückgelegt wird, sind beim nächsten mal ziehen 
nur noch n-1 Kugeln im Beutel. Die Wahrscheinlichkeit, die gewünschte zu 
ziehen ist daher 1/(n-1). Damit verbleiben n-2 Kugel im Beutel etc.

@Karl Heinz Buchegger

Die erste Aufgabe ist doch allein mit Menschenverstand lösbar:
Teile die n Kugeln in einen Haufen mit k und einen mit n-k Kugeln auf. 
Die obige Fragestellung entspricht dann der Frage, mit welcher 
Wahrscheinlichkeit Kugel i im Haufen mit den k Kugeln enthalten ist. Und 
das ist das Verhältnis günstige/alle, also k/n. Wie Yalu oben auch 
schrieb.

Ich denke die Argumentation stimmt so nicht.

Wenn du günstig/alle betrachten willst, musst du dich fragen:
Auf wieviele Arten kann ich einen Haufen mit k Kugeln aus den n Kugeln 
bilden und in wievielen davon ist die gesuchte Kugel i drinnen.

Ich nehm alles zurück und behaupte das Gegenteil.

Eine Simulation zeigt, dass ihr recht habt (war ja auch wieder mal 
klar.)

Wenn ich mich nicht vertan habe, dann zeigt das Programm

1

#include <stdio.h>

2

#include <stdlib.h>

3

4

int random( int min, int max )

5

{

6

  return min + rand() % ( max - min );

7

}

8

9

int main()

10

{

11

  int n, k, s, i;

12

13

  printf( "n: " );

14

  scanf( "%d", &n );

15

  printf( "Kugel suchen: " );

16

  scanf( "%d", &s );

17

18

  for( k = 1; k < n; ++k ) {

19

20

    int NrFound = 0;

21

    int nrExperiments = 0;

22

23

    for( nrExperiments = 0; nrExperiments < 100000; nrExperiments++ ) {

24

25

      // Kugeln in den Beutel

26

      int* Kugeln = new int [n];

27

      for( i = 0; i < n; ++i )

28

        Kugeln[i] = i;

29

30

      // Kugeln mischen

31

      for( i = 0; i < n - 1; ++i ) {

32

        int index = random( i, n );

33

        int tmp = Kugeln[index];

34

        Kugeln[index] = Kugeln[i];

35

        Kugeln[i] = tmp;

36

      }

37

38

      // die ersten k ziehen und nachsehen ob die gesuchte Kugel s dabei ist

39

      for( i = 0; i < k; ++i ) {

40

        if( Kugeln[i] == s ) {

41

          NrFound++;

42

          break;

43

        }

44

      }

45

46

      delete [] Kugeln;

47

    }

48

49

    printf( "gezogene Kugeln %d, gefunden %d, p = %lf\n", k, NrFound, (double)NrFound / nrExperiments );

50

  }

51

}

das die Wahrscheinlichkeit tatsächlich schön linear ansteigt.

Anstelle des Ziehens, mische ich einfach die Kugeln und 'ziehe' dann die 
k Kugeln, in dem ich nachsehe, ob die gesuchte Kugel unter den ersten k 
Kugeln ist. Müsste ja eigentlich gleichwertig sein.

Das Experiment wird 100000 mal wiederholt und bei 100 Kugeln ergibt sich 
tatsächlich ein einigermassen gleichmässiger Anstieg der 
Wahrscheinlichkeit.

@Karl Heinz Buchegger

Man kann es sich noch auf eine andere Art anschaulich überlegen:
Man hat die n Kugeln, fortlaufend nummeriert von 1 bis n. Die Nummern 
seien abgeklebt/verdeckt. Man mischt die Kugeln und legt sie dann alle 
in eine Reihe. Für jede der n Positionen ist jetzt zunächst die 
Wahrscheinlichkeit, dass die dort liegende Kugel mit der Zahl i 
beschriftet ist, 1/n. Nun greift man eine der Kugeln und legt sie in 
einen Korb. Für die verbliebenen Kugeln hat sich durch die letzte Aktion 
aber nichts geändert -- greift man die nächste, so ist die 
Wahrscheinlichkeit, dass sie mit der Zahl i beschriftet ist, noch immer 
1/n. Hat man auf diese Weise seine k Kugeln im Korb und sieht nach, ob 
eine von ihnen mit i beschriftet ist, so ist die Wahrscheinlichkeit 
dafür k*(1/n) also k/n.