Ein Kondensator wird über eine Spannungsrampe geladen. Dazu möchte die DGL erstellen. Um mir das Ganze vor Augen zu halten, habe ich ein Programm (siehe Anhang) geschrieben. Wie komme ich auf die DGL?
Angehängte Dateien:
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URampe-R-C.gif
7,4 KB
Na such mal nach der Herleitung für die DGL der e -Funktion. Was anderes ist die Ladekurve von einem Kondensator nicht. Das solltest du auch im Mathebuch finden.
Hallo, http://de.wikipedia.org/wiki/Kondensator_%28Elektrotechnik%29 siehe Absatz unter "Zeitbereich"
Das ist ein Zweizeiler : u(c):= 1/C * integral i(c) * dt i(c):=1/R *( U0- u(c))
Die uebliche Exponentialfunktion kannste in die Tonne druecken. Die passt nur bei einem Spannungs-Schritt. Bei einer Rampe als Eingang ist die Loesung anders.
@Stefan, Ralph Eure "Lösungsvorschläge" helfen mir nicht weiter. @Nano Der Zweizeiler steht im Prinzip im Programm.
Guten Abend, muss es denn unbedingt die DGL sein, oder geht es um den Ladevorgang des Kondensators (sprich die Kondensatorspannung)? Das könnte man ja evtl. mit Laplace machen: Uc(p)/UEingang(p) = (1/p*C)/(R+1/(p*C))=1/(1+p*C*R) Rampe transformiert (=UEingang): 1/p^2 Dann (1/p^2)*1/(1+p*C*R) ausrechnen und mit Tabellen rücktransformieren und du hast den zeitlichen Velrauf der Kondensatorspannung. Sollte doch so gehen, oder habe ich etwas übersehen?
Warum sollte das nicht mit Laplace gehen? Die Frage ist, ob der Threadersteller das schon kennt ;)
>@Nano > >Der Zweizeiler steht im Prinzip im Programm. Ich dachte du wolltest die DGL ? Ist deren Herleitung klar ? Du willst die Loesung der DGL ?
Heinz schrieb: > @Stefan, Ralph > > Eure "Lösungsvorschläge" helfen mir nicht weiter. Stefan schrieb: > http://de.wikipedia.org/wiki/Kondensator_%28Elektr... > > siehe Absatz unter "Zeitbereich" Hallo, du sollst nicht vorrangig auf die Gleichung im Absatz unter "Zeitbereich" schauen sondern den Text ganz genau lesen. Da wird erklärt wie was zustande kommt. "eine zeitliche Änderung der Ladung" = "Strom" (dQ/dt = I) an dieser simplen Gleichung hängt sich alles auf oder noch einfacher gesprochen: wenn sich die Anzahl der Ladungen (Elektronen) im Kondensator verändert hat müssen welche hinein oder herausgeflossen sein !!! Da Q=U*C gilt: dQ/dt = d(U*C)/dt = C *dU/dt = I (weil C=constant) Weil U linear zunehmen soll und die Ableitung einer linearen Funktion eine Konstante ist muss I konstant sein I wird in deiner Schaltung massgeblich vom Widerstand R und der an diesem Widerstand anliegenden Spannung ( = Differenzspannung zwischen angelegter Spannung und Spannung am Kondensator) bestimmt. Damit ist klar welche Spannung man anlegen muss damit ein konstanter Strom zum Kondensator fliest. Das Ganze jetzt als Formel hingeschrieben und du bist fertig !!!
Hallo, folgense Sätze müssen gestrichen werden, ich hab die Aufgabenstellung nicht vollständig gelesen !! Stefan schrieb: > Weil U linear zunehmen soll und die Ableitung einer linearen Funktion > eine Konstante ist muss I konstant sein Stefan schrieb: > Damit ist klar welche Spannung man anlegen muss damit ein konstanter > Strom zum Kondensator fliest.
Hallo, es ist doch wie folgt. Uc = 1/C * integral i*dt UR = R*i Uc+UR=(Rampenfunktion)= f(t) somit: 1/C * integral i(t)*dt + R*i(t) = f(t) nach ableiten nach t ergibt sich 1/C * i(t) + R*d i(t)/dt = f'(t) du musst nur noch f(t) parametrisieren und ableiten.
>Uc = 1/C * integral i*dt >UR = R*i >Uc+UR=(Rampenfunktion)= f(t) > >somit: > >1/C * integral i(t)*dt + R*i(t) = f(t) > >nach ableiten nach t ergibt sich > >1/C * i(t) + R*d i(t)/dt = f'(t) Klar ? Die Rampe abgeleitet gibt eine Konstante. Das Schema ist also const1* i(t) + const2* d i(t)/dt = const3 Und die Loesung fuer i(t) ist daher ...
> 1/C * i(t) + R*d i(t)/dt = f'(t)
f(t) = 10 * t
f'(t) = 10
1/C * i(t) + R * di(t)/dt = 10
i(t) = e(^-(t / (R * C)) + 10 * C
Korrekt?
> i(t) = e(^-(t / (R * C)) + 10 * C
Die "Lösung" ist nicht richtig, da die Ströme, mit den Daten von oben,
im mA Bereich liegen statt im µA Bereich.
Das war mir auch klar, danke. Es wurde nach einer DGL gefragt. Die hab ich gepostet. Mit dieser DGL ist auch der allgemeine Fall lösbar, wenn die gegebene Funktion keine Rampe ist. :-)
> Das war mir auch klar, danke.
Mir ist gar nichts klar :)
Die Herleitung der DG ist:
Das wars schon. Wenn Du alles zwischen dem ersten und dem letzten Gleichheitszeichen wegstreichst, steht die DG für die Kondensatorspannung u_C da. Du kannst sie dann noch in die Standardform
mit tau = R C bringen. Bei zeitlich linear ansteigender Spannungsrampe (Anstiegsgeschwindigkeit A) setzt Du
Jetzt sollte es aber klar sein.
Danke Vuvuzelatus :) Uc = A (t - C * R) + e^(-t / (C * R))
Bitte. Uc = A (t - C * R) + e^(-t / (C * R)) Mit Sicherheit nicht. Du kannst Spannungen zu Spannungen addieren, oder Zahlen zu Zahlen, aber die Zahl e^(...) zur Spannung A (t - C * R) addieren geht nicht. Du hast den Vorfaktor vor dem e-hoch unterschlagen.
S = 10V/1s = 10V/s tau = R*C = 0,1s Uc(t) = S*tau*(exp(-t/tau)-1)+S*t Die Formel gilt solange die Eingangsspannung steigt. Falls die Rampe nach 1s endet, dann muss ab da mit einer anderen Formel gerechnet werden.
> Du hast den Vorfaktor vor dem e-hoch unterschlagen.
Stimmt.
Uc = A (t - C * R) + c1 * e^(-t / (C * R))
>Uc = A (t - C * R) + c1 * e^(-t / (C * R))
lach... das ist zumindest formal richtig (wenn c1 eine Spannung ist).
Aber wie groß ist c1? Ohne eine Antwort darauf ist die Lösung nicht
komplett. Denn wenn ich das Experiment z. B. mit R = 5 kOhm, C = 1 mF
und A = 3 V/s mache und den uC(t)-Verlauf voraussagen will, dann muss
ich ja wissen, welchen Wert ich für das c1 einzusetzen habe.
@Heinz, Nimm meine Formel. Die stimmt und ist überprüft mit LTspice. Hergeleitet habe ich sie mit Formeln aus der Laplace-Transformationstabelle. S = 10V/1s = 10V/s tau = R*C = 0,1s Uc(t) = S*tau*(exp(-t/tau)-1)+S*t Die Formel gilt solange die Eingangsspannung steigt. Falls die Rampe nach 1s endet, dann muss ab da mit einer anderen Formel gerechnet werden. "Warum in die Ferne schweifen, wenn das Gute liegt so nah."
> Aber wie groß ist c1?
C1 = A C R = A * Tau
uC = A (t - Tau) + A Tau e^(-t / Tau)
@Helmut
Deine Formel schaue ich mir noch an.
Irgendwas verschlingt hier die '*' und interpretiert sie als Fettdruck.
Korrekt. uC ist also aus zwei additiv überlagerten Teilen zusammengesetzt: Einem in t linearen Teil A (t - tau), der seinerseits aus dem Spannungsquellenteil A t und der negativen konstanten Spannung -A tau besteht, und dem "Entladungsteil" A tau e^(-t/tau), der eine Entladung des Kondensators von der Spannung A tau auf Null beschreibt. Die Lösungen linearer inhomogener Differentialgleichungen sind übrigens immer solche additiven Überlagerungen. Nun kann man sich noch für den Verlauf der uC-Kurve kurz nach dem Start (t << tau) und nach sehr langer Zeit (t >> tau) interessieren. Entwickelt man e^(-t/tau) bis zur ersten Ordnung (e^(-x) = 1 - x) sieht man, dass sich erstaunlicherweise alles komplett wegsubtrahiert. uC muss also beim Start schneller als linear in t anwachsen. Die Entwicklung von e^(-t/tau) bis zur zweiten Ordnung (e^(-x) = 1 - x + x^2/2) bringt einen quadratischen Anstieg ans Licht:
Das Verhalten im Unendlichen ist einfacher zu erfassen: Nachdem man ein paar tau abgewartet hat, ist der Entladeteil bedeutungslos. Ab da steigt die Kondensatorspannung uC mit derselben Geschwindigkeit A wie die Quellenspannung, sie ist jedoch um den konstanten Wert A tau kleiner.
@Helmut Deine Formel stimmt mit der aus der DGL gewonnenen überein. S*tau*exp(-t/tau)-S*Tau+S*t=S*(t-Tau)+S*Tau*e^(-t/Tau)
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