Multiplikation bei unterschiedlichen Frequenzen

[Fabian H. (Firma: Technische Universität Berlin) (brein)]

Hi Leute,

ich stehe gerade auf dem Schlauch.
Ich lerne gerade für eine Klausur (Signale und Systeme) und muss jetzt 
zwei Si-Funktionen  mit einander multiplizieren, die verschiedene 
Argumente (Frequenzen) haben. Ich weiß nicht, warum ich mich so hart 
anstelle. Vielleicht weil ich schon recht lang am büffeln bin. ^^

Ich habe zwei Rechteckfunkionen, die mit eindander gefaltet werden 
müssen.

$$x(t)=rect({{t-2T}\over2});$$

$$y(t)=rect(t-1 {{1}\over{2}}T);$$

Faltung im Zeitbereich, entspricht Multiplikation im Frequenzbereich.
Also umwandeln:

$$X(j\omega) = 2si(j2\omega) \cdot e^{-j\omega2T};$$

$$Y(j\omega) = si(j\omega) \cdot e^{-j\omega{{3}\over{2}}T};$$

$$c(t)=x(t)*y(t);$$

 Die Faltung im Zeitbereich entspricht

$$C(j\omega)= X(j\omega) \cdot Y(j\omega);$$

 der Faltung im Frequenzbereich.

Die E-Funktionen sind kein Problem. Aber die Si-Funktionen zu 
multiplizieren mache ich wie?

Wolfram Alpha sagt dazu, das Ergebnis sei:

$$si(x) \cdot si(2x) = {{sin(x) \cdot sin(2x)}\over{2x^2}};$$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sinc%282x%29*sinc%28x%29

Geht das einfacher, oder ist das das Ergebnis?
Was meint Ihr?

Warum kann es nicht einfach

$$si(x) \cdot si(2x) = si^2(2x^2);$$

 sein?

Gruß und Danke für Denkanstöße
Fabian

[Physiker (Gast)]

Fabian Hoemcke schrieb:
> Aber die Si-Funktionen zu multiplizieren mache ich wie?

Stichwort: Additionstheoreme

[Physiker (Gast)]

Produkte der trigonometrischen Funktionen lassen sich mit folgender 
Formel berechnen (Bronstein 2.5.2.1.3)

$$\sin x \; \sin y = \frac{1}{2}\Big(\cos (x-y) - \cos (x+y)\Big)$$

[Fabian H. (Firma: Technische Universität Berlin) (brein)]

Also lautet das Ergebnis wie folgt:

$$C(j\omega) = X(j\omega) \cdot Y(j\omega)$$

$$C(j\omega) = 2si(j2\omega) \cdot e^{-j\omega2T} \cdot si(j\omega) \cdot e^{-j\omega{{3}\over{2}}T}$$

$$C(j\omega) = {{1}\over{2}}(cos(j2\omega - j\omega) - cos(j2\omega + j\omega)) \cdot e^{-j\omega2T -j\omega{{3}\over{2}}T}$$

?

Zuvor musste man bei der Aufgabe die KKF der beiden rect-Funktionen 
erstellen. Eine Art Trapez kam dabei heraus.

Jetzt lautet die Frage, wie sich die KKF von C(jw) unterscheidet.

Ich würde sagen, in jedem Punkt. Worauf der Prof. hier raus will, ist 
mir schleierhaft. :(

Danke bisher
Fabian

[Fabian H. (Firma: Technische Universität Berlin) (brein)]

Entschuldigung. Wir sollen die Fourier-Transformierte von KKF mit C(jw) 
vergleichen. Und das für 2 Punkte.Gibt es da einen schnellen weg oder 
muss jetzt hier wirklich aufwendig ein Rechteck mit und zwei Rampen 
transformiert werden?