Holomorphismus

[Sebastian N. (sebastian_n38)]

Tach zusammen,

Ich sollte eine Aufgabe Lösen aber ich brauch irgendwie nen Tip wie ich 
das angehen kann:

Gegeben Sei die Funktion

$$u(x,y) = 2x^3-6x^2+3x^2-3y^2$$

Finden sie eine Funktion v(x,y), so dass

$$f(z) = f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$$

 holomorph auf ganz C ist.

Wenn es holomorph ist, muss es ja auch differenzierbar sein, ich könnte 
dann also die partiellen ableitungen von u(x,y) bilden und dann mit den 
cauchy-differentialgleichungen schauen obs stimmt. nur das bringt mir ja 
irgendwie nichts, wie komm ich denn auf dieses v(x,y) :/


Hoffe mir kann jemand nen Ratschlag geben

Grüsse

[Simon K. (simon)]

Du weißt, dass
dv/dy = du/dx
und
dv/dx = -du/dy
sein muss.

Jetzt bildest du du/dx und du/dy:
I) du/dx = 6x^2-12x+6x = dv/dy
II) du/dy = -6y = -dv/dx

Glg. I) integrierst du dann nach y:
I) v = 6x^2y - 12xy + 6xy + c(x)
und leitest nach x ab
I) dv/dx = 12xy - 12y + 6y + c'(x)
und setzt sie mit Glg. II) gleich.
6y = 12xy - 12y + 6y + c'(x)
c'(x) = 12y - 12xy
und bestimmst c'(x) durch integration nach x.
c(x) = 12xy - 6x^2y + c2
Das setzt du in Glg. I ein:
v = 6x^2y - 12xy + 6xy +12xy - 6x^2y + c2
v = 6xy + c2

So würde ich das versuchen. Glaube aber, dass da noch ein Fehler drin 
ist.

[David P. (chavotronic)]

Sicher dass in der Funktion 2 Terme in x^2 drin sind? Die hätte man doch 
erst zusammengerechnet. Womöglich fehlt da ein Term in y , kann das 
sein?

[Sebastian N. (sebastian_n38)]

Tatsächlich, i am sorry

hab nen y vergessen,

$$u(x,y) = 2x^3-6xy^2+3x^2-3y^2$$

ists und danke Simon K. werd ich gleich mal so versuchen anzugehen

[Sebastian N. (sebastian_n38)]

$$Ux(x,y) = Vy(x,y)$$

$$Uy(x,y) = -Vx(x,y)$$

$$U(x,y) = 2x^3-6xy^2+3x^2-3y^2$$

Ableitung nach x

$$6x^2 - 6 + 6x = Vy$$

Ableitung nach y

$$-12y -6y = -Vx$$

$$x+iy$$

$$f' = Ux + i V'x = fx$$

$$f' = Uy - i Uy = -ify$$

Wenn ich dann die werte einsetze käme im Resultat das gleiche raus,

$$f' = 6x^2 + 6x - 6 + i(12y+6y) = fx$$

Damit hab ich jetzt ma die Differenzierbarkeit gezeigt, ne?

Jetzt hab ich aber noch das Problem dass das so nicht in der verlangten 
Form

$$f(z) = f(x+iy) = u(x,y) + iv(x,y)$$

steht, und ich nicht ganz verstehe was du mit integration der Gleichung 
I nach y meinst

Verlangt ist doch eine f(x+iy) und keine abgeleitete Funktion, also soll 
ich da einfach noch die Stammfunktion von meinem f' machen?

[Simon K. (simon)]

Deine Ableitung stimmen irgendwie nicht.
du/dx ist 6x^2-6y^2+6x
du/dy ist -12xy - 6y

Und jetzt gehts so weiter:

Du suchst jetzt eine Funktion v(x,y), dessen
a) ableitung nach x (dv/dx) gleich 12xy+6y ist
b) ableitung nach y (dv/dy) gleich 6x^2-6y^2+6x ist

also:

I) dv/dx = 12xy + 6y
II) dv/dy = 6x^2 - 6y^2 + 6x

Und wenn man die Gleichungen lösen will, muss man integrieren.

Integriere I) nach x:
v(x,y) = 6yx^2 + 6xy + c(y)

Jetzt hat man mit c(y) ein Freiheitsgrad, mit dem man die Bedigung aus 
Glg. II) zufriedenstellen kann. Dafür musst du erst mal wieder dv/dy 
erzeugen:
dv/dy = 6x^2 + 6x + c'(y)

Und das musst jetzt gleich der Glg. II) sein.
6x^2 + 6x + c'(y) = 6x^2 - 6y^2 + 6x
c'(y) = -6y^2

Und um nun c(y) zu bekommen, musst du nach y integrieren
c(y) = -2y^3 + konstante

Das heißt v(x,y) = 6yx^2 + 6xy - 2y^3

Probe:
dv/dx = 12xy + 6y
dv/dy = 6x^2 + 6x - 6y^2

Sieht gut aus, oder nicht?

[Sebastian N. (sebastian_n38)]

Das Endresultat schon jo und mit integrieren meinst du die stammfunktion 
finden?

aufjedenfall vielen dank für deine hilfe!

[Simon K. (simon)]

Sebastian N. schrieb:
> Das Endresultat schon jo und mit integrieren meinst du die stammfunktion
> finden?
Äh ja, genau.

> aufjedenfall vielen dank für deine hilfe!
Mich würde mal interessieren, wo so eine Aufgabe gestellt wird? ;-) Das 
könnte ich mir eher im Studium vorstellen (wir haben das vor kurzem in 
Mathe III gemacht). Aber da hat man das Wort "integrieren" zumindest 
schon mal gehört...

[Sebastian N. (sebastian_n38)]

joa, Studium, joa hab ich eigentlich auch, aber mathe ist nicht grade 
meine paradedisziplin :/

[Johann L. (gjlayde)]

Meine Lösung ist durch hingucken ;-)

Es ist

$$2(x+iy)^3 = 2x^3+i6x^2y-6xy^2-iy^3$$

d.h. mit diesem Term ist 2·x³ - 6·x·y² abgedeckt.
Verbleibt 3·x² - 3·y², das offenbar geliefert wird durch

$$3(x+iy)^2 = 3x^3+i6xy-3y^3$$

und damit

$$f(z) = 2z^3+3z^2$$

Irgendwie erinnert das an ... Polynomdivision?

[Sebastian N. (sebastian_n38)]

Da sie grad ne ähnlich Richtung hat, kann mir hier vielleicht uch jemand
auf die Sprünge helfen :/

Zeigen Sie durch

a) Verwendung der Cauchy-Riemannschen Dierentialgleichungen ,
b) direkte Auswertung des Differenzenquotienten ,

dass die Funktion f(z) = sin(z) in jedem Punkt z aus C differenzierbar
ist.

a) Ginge so ähnlich wie oben, wenn man weiss, dass

sin(z) = 1/2i * (e^(iz) - e^-(iz)), ne? Leite ich dann nach i und z ab?
oder soll ich das z in den e-funktionen wieder in x + iy ändern und dann
wieder die partiellen ableitungen machen, und mit Ux = Vy und Uy = -Vx
auf holomorphismus überprüfen?

und bei b), wie kann ich so eine funktion denn in den
differenzenquotienten übertragen?

[Johann L. (gjlayde)]

gähn ... und wieder die Frage: wie ist sin definiert?

[Wegstaben V. (wegstabenverbuchsler)]

Holomorphismus?

http://www.wissenschaft-online.de/abo/lexikon/psycho/6637

oder doch eher

Homomorphismus?

http://de.wikipedia.org/wiki/Homomorphismus

[Johann L. (gjlayde)]

Wegstaben Verbuchsler schrieb:
> Holomorphismus?

Ja.

http://de.wikipedia.org/wiki/Holomorphe_Funktion
http://de.wikipedia.org/wiki/Konforme_Abbildung

> oder doch eher
>
> Homomorphismus?

Nö, hier nicht.