Integral mit cauchy-formel

[Kurt T. (kurtisblow)]

Hallo,
ich versuche das komplexe Integral auf dem Bild mit der Cauchy 
Integralformel zu lösen,
nur weiss ich einfach nicht was das |z+2i| = 3 links unten im
Integral bedeutet, besser gesagt, was nun die Grenzen sind?

[Christian L. (cyan)]

Hans Lüthi schrieb:
> nur weiss ich einfach nicht was das |z+2i| = 3 links unten im
> Integral bedeutet, besser gesagt, was nun die Grenzen sind?

Ein um 2i verschobener Kreis mit Radius 3.
Für die Lösung braucht man aber nicht die Grenzen, sondern nur die 
Residuen im inneren des Bereichs. Dann gilt:

$$2\pi j\cdot f(z_0)=\int_\gamma\frac {f(z)}{z-z_0}dz$$

Jetzt zeichnest du dir den Kreis auf und guckst, welche der beiden 
Nullstellen im inneren des Kreises ist. Das ist das z0. Deine 
Originalformel musst du ersteinmal umschreiben:

$$\frac{1}{z^2+\pi^2}=\frac{1}{(z+j\pi)(z-j\pi)}$$

z0 ist somit -pi*j. Jetzt kannst du die gesammte Formel aufstellen:

$$\int_{|z+2j|=3}\frac{1}{z^2+\pi^2}dz=\int_{|z+2j|=3}\frac{1}{z+j\pi}\frac{1}{z-j\pi}dz=2\pi j\cdot f(-j\pi) \text{ mit } f(z)=\frac{1}{z-j\pi}$$

Ich komme dabei auf -1.

LG Christian

[Kurt T. (kurtisblow)]

Vielen Dank!

[Kurt T. (kurtisblow)]

Noch kurz eine Frage, warum ist z0 = -pii j und nicht pii j,
denn Z ist doch eine Kreis R=3 mit Mittelpunkt 2i, da liegt doch
-pii j nicht im Kreis, oder?

[Christian L. (cyan)]

Wenn du einen Kreis um M verschiebst, dann ändert das in der Formel von 
|z|=r zu |z-M|=r. Zeichne dir das mal auf. Versuche mal einen 
Einheitskreis um i nach unten zu verschieben. Dann siehst du's.

LG Christian

[Kurt T. (kurtisblow)]

Ok, denn bedeutet also, wenn ich den Kreis um -M verschiebe, ändert sich 
die Gleichung zu |z - (-M)| = |z + M| ?

[Christian L. (cyan)]

Ja.
Überlege dir mal an dem konkreten beispiel ein paar punkte auf dem 
Kreis. Du kannst ja ersteinmal die Formel umschreiben von |z+2i|=3 in 
|x+yi+2i|=3. Wir wissen ja, dass der Kreis nur auf der Imaginären Achse 
verschoben wird. Jetzt geht's darum, in welche Richtung. Dazu brauchst 
du dir nur Überlegen, wo die beiden Schnittpunkte des Kreises mit der 
Imaginären Achse sind. Diese sind bei x=0. Du musst also die Formel 
|yi+2i|=3 lösen. Für welche y wird sie gelöst? Na für y=1 und für y=-5. 
Somit wurde der Kreis um 2i nach unten verschoben.
Siehe auch:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt%28x^2%2B%28y%2B2%29^2%29%3D3
Das ganze ist jetzt lediglich im reelen aber im Prinzip das Gleiche.

LG Christian