Jacobi Matrix bilden:

[Bert S. (kautschuck)]

Hallo,
Ich stecke gerade bei einer Aufgabe fest und zwar soll ich die 
Jakobi-Matrix
folgender Funktion bilden:

$$f : R2 \ {0} → R2, f(x) = x/||x||^2$$

ich habe also versucht die funktion einmal abzuleiten mit Hilfe von
||x|| = sqrt(x*x)

f'(x) = (x^2 - 2x^2) / ||x||^4
Ich weiss nicht ob das richtig ist, habe hier die Quotientenregel 
benutzt.

In der Lösung sollte ich nun
folgende Jacobi Matrix bekommen:

1/||x||^4 *((x2)^2 - (x1)^2, -2(x1*x2); -2(x1*x2, (x1)^2 - (x2)^2)

Wie komme ich auf diese Jakobi-Matrix?

mfg Bert

[Johann L. (gjlayde)]

Bert Siegfried schrieb:
> Hallo,
> Ich stecke gerade bei einer Aufgabe fest und zwar soll ich die
> Jakobi-Matrix folgender Funktion bilden:

$$f : \R^2 \setminus\{0\} \to \R^2,\quad f(x) =\frac x{\|x\|^2}$$

> ich habe also versucht die funktion einmal abzuleiten mit Hilfe von
> ||x|| = sqrt(x*x)
>
> f'(x) = (x^2 - 2x^2) / ||x||^4

hä? du brauchst die partiellen Ableitungen

$$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)$$

mit i, j in {1,2}.

f_i bezeichnet die i-te Komponente von f.

[Bert S. (kautschuck)]

Ja, wie sieht dann aber die Norm aus wenn ich nach x1 ableite?
Einfach sqrt(x1 * x1)?
Dann wäre die Ableitung nach x1:

$$f'x1(x) = (1* sqrt(x1 * x1) - x1 * 1/2 * (2*x1)*(x1 * x1)^(-1/2))/(sqrt(x1*x1)^2)$$

=

$$(||x|| - 2*x1)/||x||^2$$

[Johann L. (gjlayde)]

Die Ableitung der Norm ist
 

$$\frac{\partial}{\partial x_i}\|x\| = \frac{x_i}{\|x\|}$$

  
Damit sollte es einfach sein, das Ergebnis zu erhalten.

[Bert S. (kautschuck)]

Also hier leite ich das so her:

$$\frac{\partial}{\partial xi}||x|| = \frac{-1}{2} * \frac {1} {\sqrt{xi * xi}} * 2xi = \frac{xi}{||x||}$$

->

$$\frac{||x|| - \frac{xi^3}{||x||^2}}{||x||^4}$$

Oder ist das immer noch falsch?

[Johann L. (gjlayde)]

Und was soll das zweite Darstellen? In der ersten Zeile ist zumindest 
ein falscher Vorzeichenfehler.

Was du brauchst sind
 

$$\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x)$$

sowie
  

$$\frac{\partial f_2}{\partial x_1}(x)$$

Die beiden fehlenden ergeben sich dann aus Symmetrieüberlegungen.

Partielle Ableitungen wirst ja noch bilden können?

[Bert S. (kautschuck)]

Also in der ersten Zeile habe nur die Ableitung

$$\frac{\partial}{\partial xi}||x||$$

hergeleitet.
Das zweite soll dann die Ableitung von

$$\frac{\partial fi}{\partial xi}\frac{xi}{||x||^2}$$

sein.
Dann wäre doch

$$\frac{\partial f1}{\partial x1}\frac{x1}{||x||^2} = \frac{1*||x||^2-x1*\frac{x1^2}{||x||^2}}{||x||^4}$$

Ich weiss schon wie partiell abzuleiten, jedoch
sehe ich bei dieser aufgabe 2 Veränderliche in der Funktion?

[Claus P. (claus_p)]

Im Nenner steht doch das Quadrat der Norm, daher kannst du die Wurzel 
weglassen und die Sache wird einfacher.

Schreib doch einfach die beiden Komponenten der Funktion f(x) hin:

$$f_1(x)=\frac{x_1}{x_1^2+x_2^2}$$

$$f_2(x)=\frac{x_2}{x_1^2+x_2^2}$$

Dann bildest du die partiellen Ableitungen

$$\frac{\partial f_1(x)}{\partial x_1}$$

und

$$\frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1}$$

Die beiden anderen Elementen der Jacobi-Matrix folgen aus der Symmetrie.

Grüße
Claus

[Bert S. (kautschuck)]

Ok, ja dann ist es ziemlich einfach,
warum aber ist

$$||x||^2 = x1^2 + x2^2?$$

es gilt doch allgemein:

$$||x|| = \sqrt{<x1,x2>} \Rightarrow ||x||^2 = <x1,x2> = \sum\limits_{i = 1}^{n}{x1i * x2i}$$

Wie kommt dann

$$||x||^2 = x1^2 + x2^2$$

 zustande, nimmt man einfach die euklidische Norm?
Wie würde das dann in

$$R^3$$

 aussehen?

[Johann L. (gjlayde)]

Bert Siegfried schrieb:
> es gilt doch allgemein:
>

$$||x|| = \sqrt{<x1,x2>} \Rightarrow ||x||^2 = <x1,x2> = \sum\limits_{i = 1}^{n}{x1i * > x2i}$$

Nö, wirf mal die die ganzen ixxe durcheinander:

Für Euklidische Norm:

$$\|x\| = \sqrt{\langle x,x\rangle} \Rightarrow \|x\|^2 = \langle x,x\rangle = \sum_{i = 1}^n x_i^2$$