Probleme bei einfacher Gleichung

[Bert S. (kautschuck)]

Hallo,
ich habe folgende einfache implizite Gleichung, die ich
nach y auflösen muss:

$$x + \frac{xy}{x+y} - y = 0$$

Ich sollte das eigentlich ohne Probleme lösen können, doch
irgendwie klappt es nicht.
Habe schon versucht zu Erweitern usw...
Doch ich weiss einfach nicht wie ich das lösen soll.
Ich habe mal das versucht:

$$y(x+y) = x(x+y) + xy$$

 =>

$$y(x+y) = x^2 + 2xy$$

 =>

$$y(x+y) = x(x + 2y)$$

 =>

$$y(x+y) = 2x(\frac{x}{2} + y)$$

 =>

$$y(x+y) = 2x(x + y) -x^2$$

 =>
???

[A. B. (funky)]

x + (xy)/(x+y) - y  = 0

=>  xy/(x+y) = -x + y

=> xy = -x² -xy + xy + y²

=> xy = -x² + y²

=> y² - xy - x² = 0

Das kann man dann mit der pq-Formel lösen.

[Marek N. (Gast)]

Hi,

wenn ich mich nicht ganz verhauen habe, läuft es auf eine quadratische 
Gleichung hinaus.

Umstellen:

$$\frac{x y} {x+y} = y -x$$

Multiplizieren mit

$$x+y$$

$$xy = (y-x)(y+x)$$

3. Binomische Formel

$$xy = y^2 - x^2$$

Subtrahieren von

$$xy$$

$$y^2 -xy - x^2 = 0$$

Die Quadratische Gleichung in y Lösen:

$$y_{12} = \frac{x}{2} \pm \sqrt{\frac{x^2}{4} + x^2}$$

Beste Grüße, Marek

[Bert S. (kautschuck)]

ok, da war ich auch schon, habe mir so ein Gedanken gemacht, es aber 
wegen y sein lassen :D Dabei kann man ja a = x^2, b= x und c = 1 setzen.
War eigentlich klar, danke.

[Michael K. (charles_b)]

Marek N. schrieb:
> Hi,
>
> wenn ich mich nicht ganz verhauen habe, läuft es auf eine quadratische
> Gleichung hinaus.
>
> Umstellen:
>

$$\frac{x y} {x+y} = y -x$$

>
> Multiplizieren mit

$$x+y$$

>

$$xy = (y-x)(y+x)$$

>
> 3. Binomische Formel
>

$$xy = y^2 - x^2$$

>
> Subtrahieren von

$$xy$$

>

$$y^2 -xy - x^2 = 0$$

>
> Die Quadratische Gleichung in y Lösen:
>

$$y_{12} = \frac{x}{2} \pm \sqrt{\frac{x^2}{4} + x^2}$$

>
> Beste Grüße, Marek

Kann man da nicht noch weiter vereinfachen und hat dann:

y = x/2 * (1+-Wurzel5)

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

wo landet denn das x in deinem wurzel5 therm?

aus summen kürzen nur die schlauen aber wenn dann nur wo es passt ;-)

[Kara B. (Firma: ...) (karabenemsi)]

>aus summen kürzen nur die schlauen

Wir vereinfachen: SQRT(X2/4 + X2) = SQRT(5X2/4) = X/2 * SQRT(5)

Damit wird: X/2 +- X/2 * SQRT(5) = X/2 * (1 +- SQRT(5))


Wenn du den Begriff "kürzen" duch "ausklammern ersetzt", wird es 
vielleicht klarer.

Immer dieses teutonische Kritisieren.

[Michael K. (charles_b)]

Winfried J. schrieb:
> wo landet denn das x in deinem wurzel5 therm?
>
> aus summen kürzen nur die schlauen aber wenn dann nur wo es passt ;-)

Das x² wird unter der Wurzel ausgeklammert. Und dann wird aus dem 
Produkt x²*(0,25 + 1)  das x aus der Wurzel herausgezogen.

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

ja so passts

danke für die Nachhilfe

[Johann L. (gjlayde)]

Ein Sonderfall bleibt: x = 0. Für den gehen die Rechnungen nicht

Die Originalgleichung hat für x = 0 keine Lösung.

[A. B. (funky)]

wieso hat

y² - xy - x² = 0    für x = 0 keine Lösung?

[Johann L. (gjlayde)]

A. B. schrieb:
> wieso hat
>
> y² - xy - x² = 0    für x = 0 keine Lösung?

Hab ich nicht geschrieben. Sondern: Die Originalgleichung hat für x = 
0 keine Lösung. Diese wiederum ist nur für y ≠ -x äquivalen zu der 
quadratischen Gleihgung, was für x = y = 0 nicht gegeben ist.

Oben steht ja schon:

$$x + \frac{xy}{x+y} - y = 0 \quad\Rightarrow\quad y(x+y) = x(x+y) + xy$$

Man brauch aber die umgekehrte Richtung, wenn man von Lösungen der 
quadratischen Gleichung zu Lösungen der Ausgangsgleichung kommen will.

[Michael K. (charles_b)]

Die vollständige Argumentation wäre ja, dass man wg. des Nenners sagt, 
dass x nicht -y sein darf. Die Sache mit der Null kommt dann noch 
erschwerend hinzu.