Ortskurve Übertragungsfunktion eines Tiefpass

[ma W. (d3xt3r)]

Es geht um eine Übung an der ich gerade dran sitze und das mit den 
komplexen Ortskurven will irgendwie noch nicht so ganz in mein kopf.
im anhang befindet sich ein teil der lösung zu der aufgabe.

wie im angehängten screen zu sehen ist, hab ich eine normierte 
übertragungsfunktion und zu der soll ich die komplexe ortskurve angeben. 
ansich würde ich einfach wie in der lösung jeweils grenzwerte für den 
real und Im. teil einsetzen und dann ist ja schon ein kreisbogen zu 
erkennen. jedoch verstehe ich den funktionalen verlauf der lösung nicht. 
als erstes wird der Realteil nach omega*tau umgeformt und in y 
eingesetzt, dann vereinfacht und in daraus wird => x²+y=x (bis hierhin 
alles soweit verständlich)

Jetzt frage ich mich, wie man jetzt daraus auf den radius und den 
mittelpunkt der Ortskurve kommt. Einige recherchen im internet haben 
mich auf die quadratische ergänzung gebracht aber so richtig weiter 
komme ich bei der lösung nicht.



hoffe ihr könnt mir helfen

danke schon mal

mfg

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Schnapp dir die Koordinatengleichung für den Kreis von hier:

  http://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Koordinatengleichung

und multiplizier sie aus, so dass sie die Form

  a·x² + b·x + c·y² + d·y + e = 0

hat.

Das Gleiche machst du mit der von dir ermittelten Koordinatengleichung
der Ortskurve. Damit beide Gleichung die gleiche Kurve beschreiben,
müssen a, b, c, d und e für beide Gleichungen jeweils gleich sein
(Koeffizientenvergleich). Für welche Werte von xm, ym und r ist dies der
Fall?

Alternativ kannst du mittels quadratischer Ergänzung versuchen, deine
Gleichung so umzuformen, dass sie die gleiche Form wie die im Wikipedia
angegebene Kreisgleichung hat. Dann kannst du die Werte von xm, ym und r
direkt ablesen.

[ma W. (d3xt3r)]

Yalu X. schrieb:
> Schnapp dir die Koordinatengleichung für den Kreis von hier:
>
>   http://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Koordinatengleichung
>
> und multiplizier sie aus, so dass sie die Form
>
>   a·x² + b·x + c·y² + d·y + e = 0
>
> hat.
>
> Das Gleiche machst du mit der von dir ermittelten Koordinatengleichung
> der Ortskurve. Damit beide Gleichung die gleiche Kurve beschreiben,
> müssen a, b, c, d und e für beide Gleichungen jeweils gleich sein
> (Koeffizientenvergleich). Für welche Werte von xm, ym und r ist dies der
> Fall?
>
> Alternativ kannst du mittels quadratischer Ergänzung versuchen, deine
> Gleichung so umzuformen, dass sie die gleiche Form wie die im Wikipedia
> angegebene Kreisgleichung hat. Dann kannst du die Werte von xm, ym und r
> direkt ablesen.

danke schon mal für deine antwort aber die hat mich noch nicht wirklich 
weiter gebracht. Dass es mit der quadratischen ergänzung geht weiss ich 
auch, aber bei meiner aufgabe hilft mir dieses erkenntnis nicht wirklich 
weiter, ein beispiel oder ähnliches wär sehr hilfreich.


mfg

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

1. Mit Koeffizientenvergleich

Ausmultiplizieren der Kreisgleichung:

$$\begin{align} && (x-x_\mathrm M)^2 + (y-y_\mathrm M)^2 &= r^2 \\ &\Rightarrow& x^2-2x_\mathrm Mx+x_\mathrm M^2+ y^2-2y_\mathrm My+y_\mathrm M^2 &= r^2 \\ &\Rightarrow& x^2-2x_\mathrm Mx+ y^2-2y_\mathrm My+ x_\mathrm M^2+y_\mathrm M^2-r^2&=0 \end{align}$$

Die ausmultiplizierte und deine Gleichung übereinander gestellt:

$$\begin{align} 1&\cdot x^2&&-&2x_\mathrm M&\cdot x&&+&1&\cdot y^2&&-&2y_\mathrm M&\cdot y&&+&x_\mathrm M^2+y_\mathrm M^2-r^2&&=0 \\ 1&\cdot x^2&&-&1&\cdot x&&+&1&\cdot y^2&&-&0&\cdot y&&+&0&&=0 \\ \end{align}$$

Damit beide Gleichungen identisch sind, muss gelten:

$$\begin{align} 2x_\mathrm M &= 1 \\ 2y_\mathrm M &= 0 \\ x_\mathrm M^2+y_\mathrm M^2-r^2 &= 0 \end{align}$$

2. Mit quadratischer Ergänzung

Deine Gleichung:

$$\begin{align} &&x^2+y^2&=x\\ &\Rightarrow& x^2-x+y^2&=0\\ &\Rightarrow& x^2-x+\Big(\frac 12\Big)^2-\Big(\frac 12\Big)^2+y^2&=0\\ &\Rightarrow& \Big(x-\underset{x_\mathrm M}{\frac 12}\Big)^2+ (y-\underset {y_\mathrm M}0)^2&=\Big(\underset r{\frac 12}\Big)^2& \end{align}$$

Nun hat deine Gleichung die gleiche Form wie die Kreisgleichung mit
eingesetzten Werten für xm, ym und r.

[ma W. (d3xt3r)]

Ah ok jetzt hab ich es verstanden, danke auf jeden fall.

rein theoretisch würde es ja auch reichen die berechneten funktionswerte 
von dem real- und imaginärteil aufzutragen und schon hätte ich ja den 
kreis.


super schnelle hilfe hier:-)



mfg