Schwingkreis Güte (brauche Hilfe)

[Simon S. (simon1990)]

Hallo Leute,

ich bin grad am lernen auf unsere Elektro-Technik Klausur und häng grad 
ein wenig bei der Güte von Schwingkreisen, die keine Parallel- oder 
Serienschwingkreise sind.

In unserem Skript haben wir nur Formeln für den Parallel- und 
Serienschwingkreis.
Ich habe z.B. die allgemeine Formel Q = |Pblind/Pwirk| im Internet 
gefunden.

Aber unser Prof knallt uns da in den Beispielaufgaben immer in 1-2 
Schritten was eigentlich total simpel aussehendes hin, was ich aber 
nicht verstehe.

Deswegen meine Hoffnung und bitte, dass mir das nochmal jemand erklären 
kann, wie man da drauf kommt.

Hier mal zwei Beispiele:

1)
       ---C---
       |     |
---L---|     |---
       |     |
       ---R---

Q = (wr*L)/Z(wr) = (wr*L*R*C)/L = wr*R*C

(wr = Resonanzfrequenz, Z(wr) = Komplexer Widerstand bei 
Resonanzfrequenz)

wie man auf wr und auf Z(wr) kommt ist mir klar. Nur den ersten Ansatz 
blicke ich nicht..


2)
   -----C-----
   |         |
---|         |---
   |         |
   ---R---L---

Q = 2*Pi*fr*C*R



Das ist alles was er uns dazu hingeschrieben hat. Da das mit Rechenweg 
sein soll, muss es ja eigentlich eine total simple Lösung geben, wie man 
da drauf kommt. Ich verstehs nur leider nicht.. :(

Hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.

VG
Simon

[Simon S. (simon1990)]

Keiner eine Idee? Bin bisher leider immer noch nicht schlauer und auch 
von meinen Mitstudenten hat bisher keiner eine Idee..

Sehe grad, dass ich wohl auch im falschen Forum gelandet bin. Sorry..
Vielleicht kanns ja ein Admin kurz verschieben. =)

[Martin S. (sirnails)]

Zu 1)

$$Q = 2 \cdot \pi \cdot f_0 \cdot \frac{L}{R}$$

 mit

$$2 \cdot \pi f_0 = \omega_0$$

Jetzt hast Du aber einen Widerstand parallel zum Kondensator, und nicht 
in Reihe. Somit gilt für das R dementsprechend ein komplexes Z. Also C 
|| R in die Formel einsetzen, umformen, fertig.

Zu 2) Analog zu 1)

[Simon S. (simon1990)]

Hallo Martin,

vielen Dank schonmal für deine Antwort. Aber so ganz steige ich leider 
immer noch nicht durch.
Wenn ich beim 1. Beispiel in die Formel für den Serienschwingkreis 
Q=2*PI*f*L/R für R ein komplexes Z = C||R einsetze, komme ich nicht auf 
das gleiche Ergebnis.

Wenn ich mir allerdings den komplexen Gesamtwiderstand der Schaltung 
ausrechnen und davon dann den Realteil nehme und für w dann wr einsetze 
und das dann für mein R oben in die Formel einsetze komme ich auf das 
Ergebnis.

$$\underline{Z}=\frac{R}{1+(wRC^{2})}+j\left ( wL-\frac{wR^{2}C}{1+(wRC)^{2}} \right )$$

Durch Null-Setzen des Imaginärteils erhalte ich:

$$w_{r}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{1}{(RC)^{2}}}$$

Und damit schließlich

$$\underline{Z}(w_{r})=\frac{R}{1+(w_{r}RC^{2})}=\frac{R}{1+(RC^{2})*\left ( \frac{1}{LC}-\frac{1}{(RC)^{2}} \right )}=\frac{L}{RC}$$

Somit erhalte ich für meine Güte:

$$Q=w_{r}*\frac{L}{\underline{Z}(w_{r})}=w_{r}*\frac{L*R*C}{L}=w_{r}*R*C$$

Wenn ich jetzt aber analog für das 2. Beispiel vorgehe, so komme ich auf 
ein anderes Ergebnis. Ist also das Ergebnis falsch, das ich 
aufgeschrieben habe, oder mein Weg?

$$\underline{Y}=\frac{R}{R^{2}+(wL)^{2}}+jw\left ( C-\frac{L}{R^{2}+(WL)^{2}} \right )$$

Damit ergibt sich

$$w_{r}=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left ( \frac{R}{L} \right )^{2}}$$

Eingesetzt in Y:

$$\underline{Y}(w_{r})=\frac{R}{R^{2}+(w_{r}L)^{2}}=\frac{R}{R^{2}+\left ( \frac{1}{LC}-\left ( \frac{R}{L} \right )^{2} \right )*L^{2}}=\frac{R}{R^{2}+\frac{L}{C}-R^{2}}=\frac{R}{L}*C$$

Ersetze ich nun in meiner Formel für den Parallelschwingkreis das G 
durch dieses Y(wr), so komme ich auf folgendes Ergebnis, das von dem aus 
unserer Vorlesung abweicht.

$$Q=w_{r}*\frac{C}{\underline{Y}(w_{r})}=w_{r}*\frac{C}{\frac{R}{L}*C}=w_{r}*\frac{L}{R}$$

Wär dir sehr dankbar, wenn du dir das nochmal kurz anschauen könntest 
und mir sagen, ob ich jetzt grundsätzlich falsch vorgehe, oder mich 
irgendwo verrechnet hab, oder vll unser Ergebnis aus der Vorlesung 
falsch ist. Das hat er nur so schnell irgendwohin geschludert.. könnte 
also durchaus auch sein, dass ich oder er es falsch abgeschrieben haben.

Gruß Simon

[Simon S. (simon1990)]

ich schiebs mal nochmal nach oben, da die prüfung immer näher rückt..

wär echt toll, wenn sich das jemand mal noch kurz anschauen könnte. =)

[Helmut S. (helmuts)]

2) Beachte 1/(...)

Q = 1/(2*Pi*fr*C*R)



Die andere Definition:

Q = 2*pi*fr*L/R


Gleichsetzen der beiden Q-Definitionen

(2*pi*fr)^2*L*C*R/R = 1

(2*pi*fr)^2*L*C = 1

fr = 1/(2*pi*sqrt(L*C))

Das bedeutet, wenn fr für die klassische LC Formel angenommen wird, dann 
sind beide Q-Definitionen äquivalent.

[Simon S. (simon1990)]

Hallo Helmut,

vielen Dank für deine Antwort.


Helmut S. schrieb:
> 2) Beachte 1/(...)
>
> Q = 1/(2*Pi*fr*C*R)

Bist du dir da sicher? Wir haben in unserem Skript 2 Formeln für die 
Güte stehen:
Q=(wr*L)/R und Q=(wr*C)/G

Dann wäre die zweite ja falsch, denn sie ist ja genau der Kehrwert von 
dem was du geschrieben hast. Dann wäre es ja auch kein Wunder, dass ich 
hier auf keinen grünen Zweig komme und immer wieder was anderes als 
Ergebnis hab..

[Helmut S. (helmuts)]

Die gelten für den Serienwiderstand Rs

Q = 1/(2*Pi*fr*C*R)

Q = 2*pi*fr*L/R

Beide Formeln stimmen exakt beim klassischen RLC Serienkreis R-L-C.


Die gelten für den Parallelwiderstand Rp

Q = 2*pi*fr*C*R

Q = R/(2*pi*fr*L)


Beide Formeln stimmen exakt beim klassischen RLC Parallelkreis R||L|||C.


Bei den klassischen Schwingkreisen führt man oft die charakteristische 
Impedanz Z ein.

Z = sqrt(L/C)

Q = Z/Rs

Q = Rp/Z

[Simon S. (simon1990)]

ok, aber wie komme ich dann von diesen Formeln, die ja anscheinend nur 
gelten, wenn R,L,C alle in Reihe sind (R-L-C) oder alle parallel 
(R||L||C), jetzt auf die Güte, für einen Schwingkreis, der eben nicht 
nach genau diesem Muster aufgebaut ist?

Also
       ---C---
       |     |
---L---|     |---
       |     |
       ---R---

oder

   -----C-----
   |         |
---|         |---
   |         |
   ---R---L---

Sorry, aber ich stehe immer noch auf dem Schlauch..

[Helmut S. (helmuts)]

Leider schwächeln alle Bücher und Skripte bezüglich Q bei diesen 
speziellen Fällen. Es wird immer der klassische Fall zitiert, wenn es um 
Q geht. Ich habe mal mit LTspice experimentiert. Der Unterschied bei 
idealer Berechnung und Simulation der Mittenfrequenz und Bandbreite ist 
so gering, dass das in der Praxis bedeutungslos ist. Bei einer wirklich 
lausigen Güte von z. B. 5 sind die Abweichungen bei der Mittenfrequenz 
nur 0,05%.

Ein Beispiel:
http://www.pes.ee.ethz.ch/uploads/tx_ethstudies/V4_II_final_as_presented_270209.pdf

Wenn euer Prof. eine spezielle Formel hat, die nicht gerade ganz falsch 
ist wegen Tippfehler oder falsch abgeschrieben, dann hat der Prof. 
Recht.

[Simon S. (simon1990)]

Hmm, ok. Alles klar. Vielen Dank für deine Hilfe!

[Abdul K. (ehydra)]

Q entspricht der Spannungsüberhöhung am Resonanzpunkt. Man kann also 
z.B. direkt aus einer FFT das Q bestimmen, in dem man die Spannung am 
Resonanzpunkt ermittelt und durch den durchschnittlichen Level teilt 
(Eigentlich müßte man den Bereich der Resonanz ausklammern. In der 
Praxis macht das aber bei großem Frequenzbereich der FFT keinen 
Unterschied). Das ist dann auch unabhängig von der eigentlichen Struktur 
des Schwingkreises.