Polarform von z = -1 ?

[Bert S. (kautschuck)]

Hallo,
ich habe schon länger mit komplexen Zahlen zu tun, aber
irgendwie komme ich nicht drauf, wie man die Polarform von
z = -1 berechnet?
Rein bildlich sollte es ja

$$e^{i\pi}$$

geben?
Rechnerisch:
|z| = 1
arg(z) = arctan(0/-1) = arctan(0) = 0????
Wie kommt man auf das Argument pi?

Gruss

[Karl H. (kbuchegg)]

Nicht Pi.

Phi!

Und Phi ist der Winkel des Zahlenvektors zur X-Achse

  z = r * e^(i * phi) = r * ( cos(phi) + i*sin(phi) )

[Johann L. (gjlayde)]

Karl Heinz Buchegger schrieb:
> Nicht Pi.
>
> Phi!
>
> Und Phi ist der Winkel des Zahlenvektors zur X-Achse
>
>   z = r * e^(i * phi) = r * ( cos(phi) + i*sin(phi) )

Wobei für z = -1 dann aber phi = pi ;-)

Bert Siegfried schrieb:

> Rechnerisch:
> |z| = 1
> arg(z) = arctan(0/-1) = arctan(0) = 0????

Der reelle atan hat (-π,π) als Wertebereich.  Deine Formel kann folglich 
nich funktionieren für komplexe Zahlen, deren Argument ausserhalb dieses 
Intervalls liegt — so etwa für -1 oder generell für alle z mit Re (z) < 
0.

Zum Rechnen siehe atan2:

http://de.wikipedia.org/wiki/Atan2#atan2

[Bert S. (kautschuck)]

Ah ok danke, jetzt wirds mir klar ;)

[Sven P. (Gast)]

Um es pragmatischer auszudrücken: Kennst du das Quadrantenproblem mit 
dem Arcustangens?

Vergleiche doch mal die komplexen Zahlen a=-1+j und b=1-j. Beide Male 
erhälst du als Betrag für die Polarform Wurzel-2. Jetzt kommt deine 
Gleichung für das Argument:

arg(a) = arctan( 1/ (-1) ) und
arg(b) = arctan( (-1) / 1 ).

Beides liefert arctan(-1), also für den reellen arctan den Winkel -45°. 
Das Problem ist, dass der reelle Arcustankens nur auf einem Ast 
definiert ist und blöderweise nicht sieht, woher das negative Vorzeichen 
kommt. Praktisch bedeutet das, dass er nur im ersten und vierten 
Quadranten funktioniert (linke Hälfte der Gauss-Ebene). So würdest du 
nun grob schätzen, ob der komplexe Zeiger eher links oder rechts liegt 
und nötigenfalls noch 180° auf den Winkel addieren.

Für deinen Fall mit z=-1 kommst du für den Winkel auf arctan(0/(-1))=0°. 
Der Zeiger liegt augenscheinlich links, also 180° dazu addieren, schon 
stimmts.

[Achim M. (minifloat)]

Sven P. schrieb:
> grob schätzen, ob der komplexe Zeiger eher links oder rechts liegt

Schätzen? (Vorzeichen der) Realteile vergleichen genügt doch:

Sven P. schrieb:
> Vergleiche doch mal die komplexen Zahlen a=-1+j und b=1-j.

mfg mf