Hallo Forum, einfache Mathematikkenntnisse gefragt... Also, liege ich richtig in der Annahme: e^(2x) - 1 Ableitung = e^(2x)*2 Also -1 ist gar nicht zu beachten ...???
-1 ist einen Konstante. Die Steigung einer Konstante ist immer 0. Steigung = Ableitung
Das kannst du dir ganz einfach in einem Gedankenexperiment selbst herleiten. Die Addition / Subtraktion eines konstanten Wertes gibt der Funktion lediglich einen Offset, verschiebt die Funktion also als ganzes parallel zur y-Achse. Der Kurvenverlauf ändert sich dadurch nicht. Da die Ableitung einer Funktion aber deren Kurvenverlauf auswertet, ändert sie sich durch diese Operation auch nicht.
> Die Addition / Subtraktion eines konstanten Wertes gibt der Funktion > lediglich einen Offset, verschiebt die Funktion also als ganzes parallel > zur y-Achse. Der Kurvenverlauf ändert sich dadurch nicht. > Da die Ableitung einer Funktion aber deren Kurvenverlauf auswertet, > ändert sie sich durch diese Operation auch nicht. Gut erläutert! Für diesen Zusammenhang hat mein Mathe-Prof damals etwa 1 Stunde lang unverständlich gestammelt und 2qm dummes Zeug aufgetafelt. Ich werde Dich für irgendeinen Didaktik-Preis vorschlagen! ;-)
Bödefeld (Gast) schrieb:
...
> Gut erläutert!
Nein, nicht gut erläutert. Die Ableitung einer Funktion "wertet" keinen
Kurvenverlauf aus, sie beschreibt die Steigung der Funktion.
Der einzige der es kurz und richtig erläuterte war Helmut S.
(kein Wunder, Helmut ist der LTSpice Guru ;))
Bödefeld schrieb: >> Die Addition / Subtraktion eines konstanten Wertes gibt der Funktion >> lediglich einen Offset, verschiebt die Funktion also als ganzes parallel >> zur y-Achse. Der Kurvenverlauf ändert sich dadurch nicht. >> Da die Ableitung einer Funktion aber deren Kurvenverlauf auswertet, >> ändert sie sich durch diese Operation auch nicht. > > Gut erläutert! Nein, wirklich nicht gut erläutert. Weil falsch. Schliesslich gehört der Offset auch zum Kurvenverlauf. Richtig wäre, wenn du "Kurvenverlauf" durch "Kurvensteigung" ersetzt. Wofür ein Matheprof dafür eine Tafel vollschreiben muss, ist mir schleierhaft. Erstens sieht man es schon grafisch bzw. im Begriff der Ableitung, zweitens kann man es auch ganz einfach mit der Definition einer Ableitung in der Differenzen- bzw. Differentialformel sofort sehen. Und das gilt dann auch für Ableitungen verallgemeinerter Form.
Ok, ich formuliere um:
1 | Das kannst du dir ganz einfach in einem Gedankenexperiment selbst |
2 | herleiten. |
3 | |
4 | Die Addition / Subtraktion eines konstanten Wertes gibt der Funktion |
5 | lediglich einen Offset, verschiebt die Funktion also als ganzes parallel |
6 | zur y-Achse. |
7 | Die Kurvenform ändert sich dadurch nicht. |
8 | |
9 | Da die Ableitung einer Funktion aber deren Form auswertet, |
10 | ändert sie sich durch diese Operation auch nicht. |
Machs dir einfach, TE. An eine Konstante kannst du immer ein * x^0 anhängen. Und mit den Ableitungsregeln sollte klar sein warum eine Konstante hierbei dann auch verschwindet ;). Und die Erklärung von Bödefeld finde ich nicht schlecht, die ist IMO OK.
Das währe eine mathematische Herleitung. Interessant und einfach, als Erklärung aber auch ein wenig gefährlich. Das verleitet schnell zu der Annahme es verstanden zu haben, obwohl man in Wirklichkeit nichts verstanden hat ;)
Michael Köhler schrieb: > Machs dir einfach, TE. An eine Konstante kannst du immer ein * x^0 > anhängen. Und mit den Ableitungsregeln sollte klar sein warum eine > Konstante hierbei dann auch verschwindet ;). Und die Erklärung von > Bödefeld finde ich nicht schlecht, die ist IMO OK. > > > > Beitrag melden Bearbeiten Löschen Da sind wir jetzt aber etwas durcheinander gekommen! Bödefeld hat nichts erklärt, nur kommentiert. Die Erklärung stammt von Thomas.
Vielleicht ist es für mich Montags noch zu früh, aber ist die Verschiebung nicht parallel zur X-Achse?
> aber ist die Verschiebung nicht parallel zur X-Achse?
Nein, sie ist senkrecht zur x-Achse, parallel zur y-Achse.
Mal dir Gedanklich mal einen Pfeil in Verschiebungsrichtung in den
Graphen.
Parallel zu welcher Achse liegt er?
da muss man mal definieren was man mit parallel meint. Wenn ich von einer Verschiebung parallel zur X-Achse spreche meine ich, dass die Funktion nach oben/unten verschoben wird. Manch einer meint vielleicht, dass die Funktion dann nach links/rechts verschoben wird.
Thomas schrieb: > Mal dir Gedanklich mal einen Pfeil in Verschiebungsrichtung in den > Graphen. Parallel zu welcher Achse liegt er? Ganz schön kompliziert... Und jeder hat nach seiner Definition recht.
1 | ^ |
2 | | _ |
3 | | / \ |
4 | | / \ |
5 | | / _ \___ |
6 | | / \ ^ |
7 | | / \ | |
8 | | / \___ |
9 | '------------> |
10 | x |
Ein Offset (=Verschiebung) ist parallel zur x-Achse. Die Verschiebungsrichtung ist allerdings parallel zur y-Achse. Nur interessiert die in der Regel niemanden...
Toll danke... Habe hier eine Aufgabe, wenn das -1 bleiben würde käme ich auf die richtige Lösung Nunja, dann muss ich nochmals alles durchrechnen und hoffe finde den Fehler...
>>Ein Offset (=Verschiebung) ist parallel zur x-Achse. >>Die Verschiebungsrichtung ist allerdings parallel zur y-Achse. >>Nur interessiert die in der Regel niemanden... Doch z.B. den Mathe-Lehrer und das ist ja auch eine grundsätzlich elementare Sache. Also war die Definition von Thomas falsch und der Einwand des ausgeschlafenen Torsten richtig und wichtig!
> Also war die Definition von Thomas falsch und der Einwand des > ausgeschlafenen Torsten richtig und wichtig! Du hast unrecht. Meine Aussage war folgende: > Die Addition / Subtraktion eines konstanten Wertes gibt der Funktion > lediglich einen Offset, verschiebt die Funktion also als ganzes parallel > zur y-Achse. Und das stimmt so auch, und ist auch keine Auslegungssache. Quellen: http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/VS/K5_Funktion/K5_QuadratischeFunktionen/K3_VerschobeneNormalparabeln/VerschobeneNormalparabeln.html http://www-math.uni-paderborn.de/~thilop/wiwi1.06/graph/graph.html
Thomas schrieb: > Meine Aussage war folgende: >> Die Addition / Subtraktion eines konstanten Wertes gibt der Funktion >> lediglich einen Offset, verschiebt die Funktion also als ganzes parallel >> zur y-Achse. > > Und das stimmt so auch, und ist auch keine Auslegungssache. > Quellen: > http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/VS/K5_Funk... > http://www-math.uni-paderborn.de/~thilop/wiwi1.06/... Deshalb fomuliere ich es lieber (von mir aus mathematisch nicht ganz korrekt) als "Verschiebung in positiver/negativer Y-Richtung"
Trotzdem ist die Aussage, dass die Ableitung die Form der Kurve beschreibt, eher unpräzise. Dafür gibt es das Krümmungsverhältnis.
Jens schrieb: > Krümmungsverhältnis da hab ich in Mathe wohl gerade gefehlt, was ist denn das Krümmungsverhältnis?
Jens schrieb: > Trotzdem ist die Aussage, dass die Ableitung die Form der Kurve > beschreibt, eher unpräzise Stimmt, das ist unpräzise. Die 1. Ableitung spiegelt die Steigung der Kurve wieder...hab ich zumindest so mal gelernt. Aber ein Krümmungsverhältnis? Was soll das denn bitte schön sein bei einer Differentialrechnung? Ich kenn da nur ein Krümmungsverhalten (was ja den Verlauf der Kurve beschreibt) aber kein Verhältnis. Was wird denn da zu was ins Verhältnis gesetzt?
> Trotzdem ist die Aussage, dass die Ableitung die Form der Kurve > beschreibt, eher unpräzise. Du musst einen anderen Thread gelesen haben. Diese Aussage hat hier niemand gemacht. Es wurde auch nicht nach einer Definition von "Ableitung" gefragt.
Tom schrieb: > Toll danke... > > Habe hier eine Aufgabe, wenn das -1 bleiben würde käme ich auf die > richtige Lösung > > Nunja, dann muss ich nochmals alles durchrechnen und hoffe finde den > Fehler... Schreib doch mal die Aufgabe und deine Lösung auf. Dann kann man dir vielleicht einen Tip geben. Jens schrieb: > Trotzdem ist die Aussage, dass die Ableitung die Form der Kurve > beschreibt, eher unpräzise. Dafür gibt es das Krümmungsverhältnis. Fail! ;-) Grüße Max
Thomas schrieb: >> Trotzdem ist die Aussage, dass die Ableitung die Form der Kurve >> beschreibt, eher unpräzise. > Du musst einen anderen Thread gelesen haben. > Diese Aussage hat hier niemand gemacht. > Es wurde auch nicht nach einer Definition von "Ableitung" gefragt. Ja nee is klar: Thomas schrieb: > Da die Ableitung einer Funktion aber deren Kurvenverlauf auswertet, Ihr habt Recht, das Wort "Krümmungsverhältnis" scheint es dafür nicht zu geben. Besser ist wohl (extrinsischer) Krümmungsskalar. Gruß Jens
Jens schrieb: > Ihr habt Recht, das Wort "Krümmungsverhältnis" scheint es dafür nicht zu > geben. Besser ist wohl (extrinsischer) Krümmungsskalar. Weißt du eigentlich von was du da sprichst?
> Ja nee is klar: Jetzt ist die Generation PISA also auch schon hier im Forum angekommen... Klarer Fall von Leseschwäche. Thomas schrieb: > Da die Ableitung einer Funktion aber deren Form auswertet Jens versteht: > Da die Ableitung einer Funktion aber deren Form beschreibt Spätestens nach meinem Beitrag von 17.07.2012 13:20 hättest du den Unterschied auch selbst bemerken müssen. Aber vielleicht willst du ja auch einfach nur Recht behalten, da spielen dann solch feine Unterschiede natürlich keine Rolle mehr.
Max TBA schrieb: > Weißt du eigentlich von was du da sprichst? Ja. Jede stetig differenzierbare Kurve lässt sich als eindimensionaler Raum auffassen, genauer, als differenzierbare Mannigfaltigkeit. Wird nun der Krümmungsskalar an einem beliebigen Punkt der Kurve ausgerechnet, kann dies auf zwei Arten geschehen. Zum einen intrinsisch, d.h. die Krümmung des 1D-Unterraumes in sich selbst, und die ist natürlich null. Daher sollte hier der exstrinsische Krümmungsskalar verwendet werden, der die Krümmung der Kurve beschreibt, wenn sie als in einen höherdimensionalen Raum eingebettete Mannigfaltikkeit interpretiert wird. Hängt dann natürlich von der Kurve ab, ob das der R2 oder der R3 ist, oder vielleicht nur lokal der R2. Thomas schrieb: > Da die Ableitung einer Funktion aber deren Form auswertet Das ist - mit Verlaub - laues Gewäsch, weder präzise, noch irgendwie quantifizierbar. Verzeihe mir meine Anmaßung das etwas umzuformulieren. Gruß Jens
> Das ist - mit Verlaub - laues Gewäsch, weder präzise, noch irgendwie > quantifizierbar. Wie ich bereits schrieb ist das auch keine Definition von "Ableitung". Soll also auch gar nicht "präzise, noch irgendwie quantifizierbar" sein. Es ging lediglich darum, Tom zu erklären warum ein Offset auf eine Funktion keinen Einfluss auf deren Ableitung hat. Nämlich weil sich die Ableitung nur die Kurvenform anschaut, und ein Offset die Form der Kurve beibehält. Wenn Tom gefragt hätte was eine Ableitung ist, dann währe dies sicher keine gute Antwort gewesen. Das war aber nicht die Frage, und wenn, dann währe meine Antwort auch anders ausgefallen. So, jetzt habe ich keine Lust mehr auf Wortklauberei, auch wenn ich der Meinung bin, dass man sich das in der Mathematik ruhig mal gönnen soll.
Ableitung: f'(x) = 2*e^(2x) Schreibweise beachten ! Man sollte bei den korrekten Begriffen bleiben und diese sind nun einmal "Steigung" und "Verschiebung" nach oben oder unten. Thomas schrieb: > Nämlich weil sich die Ableitung nur die Kurvenform anschaut, und ein > Offset die Form der Kurve beibehält. Wenn ich so etwas und auch vorherige Formulierungen lese, dann stehen mir die Haare zu Berge. Joe
Jens schrieb: > Max TBA schrieb: >> Weißt du eigentlich von was du da sprichst? > > Ja. Jede stetig differenzierbare Kurve lässt sich als eindimensionaler > Raum auffassen, genauer, als differenzierbare Mannigfaltigkeit. Wird nun > der Krümmungsskalar an einem beliebigen Punkt der Kurve ausgerechnet, > kann dies auf zwei Arten geschehen. Zum einen intrinsisch, d.h. die > Krümmung des 1D-Unterraumes in sich selbst, und die ist natürlich null. > Daher sollte hier der exstrinsische Krümmungsskalar verwendet werden, > der die Krümmung der Kurve beschreibt, wenn sie als in einen > höherdimensionalen Raum eingebettete Mannigfaltikkeit interpretiert > wird. Hängt dann natürlich von der Kurve ab, ob das der R2 oder der R3 > ist, oder vielleicht nur lokal der R2. Du willst dich doch nur wichtig machen. Statt von "Krümmung", oder zweiter Ableitung zu reden, schmeißt du so einen Kram in den Raum, bei dem du nur hoffst, dass niemand was damit anfangen kann. Warum sonst solltest du bei einer Funktion einer Variable mit Krümmungen von Manigfaltigkeiten anfangen? Und dann noch so einen Quatsch, ob sie in R2 oder R3 oder lokal in R2 eingebettet seien... Es ist doch klar, dass es sich hier um den R2 handelt; warum schreibst du sowas überhaupt? Das einzige was du hier (unglaubwürdig) versuchst zu machen ist alles auf eine viel zu komplizierte Ebene zu heben um dich wichtig zu machen. Grüße Max
Als Wortklauberei war das ja gar nicht gedacht, ich wollte nur ausdrücken, dass die Form einer Kurve durch andere, wenn auch verwandte mathematische Vorgehensweisen zu beschreiben ist. Es ist jedoch so, dass die Mathematik auch nur eine Sprache ist, die logische Zusammenhänge beschreibt. Ich finde es daher vollkommen OK, mathematische Aspekte mit Alltags-Sprache zu erklären, aber wenn etwas dabei nicht exakt ist, sollte es dazu gesagt werden, finde ich zumindest. Gruß Jens
Max TBA schrieb: > Du willst dich doch nur wichtig machen. Entschuldige mal bitte, aber der obige Text entstand auf deine Nachfrage hin. Wenn du das nicht verstehst oder nicht verstehen willst, ist das deine Sache, aber bitte lass mich dann mit deinen Anschuldigungen in Ruhe. Es stimmt, es ist für diese Aufgabe natürlich zu "kompliziert", auch wenn ich es lieber als "zu exakt" ausdrücken würde. Es geht mir nur darum, ein mathematisch halbwegs fundiertes Gegenargument zur "Steigung = Kurvenform"-Aussage zu bieten. Max TBA schrieb: > Das einzige was du hier (unglaubwürdig) versuchst zu machen ist alles > auf eine viel zu komplizierte Ebene zu heben um dich wichtig zu machen. Nochmal: die Ausführungen hast du doch erfragt mit deinem "weißt du überhaupt, wovon du redest?". Ich habe dir gezeigt, dass ich sehr wohl weiß, wovon ich rede. Wenn du jetzt ein Problem damit hast, ist das deine Sache. Gruß Jens
Tut mir leid, ich habe etwas überreagiert. Ich wollte dich nicht beleidigen! Sorry, bin gerade total im Klausurstress und sowieso etwas gereizt. Trotzdem ist deine Formulierung keinesfalls exakter als die, wenn du von der Krümmung einer Kurve sprichst. Und das beschreibt ebenso "wenig" den Verlauf der Kurve wie die erste Ableitung. Auch nicht, wenn du die Kurve als eingebettete 1-D Manigfaltigkeit in eine 2-D Manigfaltigkeit siehst. Das war der Punkt, bei dem ich mich anfangs fragte, ob du überhaupt weißt von was du da redest.
Wenn die Kurve stetig differenzierbar ist (wovon wir hier mal ausgehen wollen), dann sagt dir der Krümmungsskalar über sein Vorzeichen, ob die Kurve in der Umgebung um diesen Punkt konkav oder konvex ist. Wo meinst du, ist der Fehler? Gruß Jens PS: Mach dir keinen Kopf, wir stehen alle mal mit dem falschen Fuß auf.
Jens schrieb: > Wenn die Kurve stetig differenzierbar ist (wovon wir hier mal ausgehen > wollen), dann sagt dir der Krümmungsskalar über sein Vorzeichen, ob die > Kurve in der Umgebung um diesen Punkt konkav oder konvex ist. > > Wo meinst du, ist der Fehler? Ich verstehe einfach nicht wieso dies die "Form" der Kurve mehr oder weniger beschreiben soll als die Steigung. Ich glaube diese ganze Diskussion ist total am Thema vorbei.
Naja, konkav oder konvex würde ich schon eher als Form beschreiben als den Wert der Steigung. Aber du hast wohl Recht, interessieren tut das hier wohl leider niemanden mehr ;-) Gruß Jens
>Habe hier eine Aufgabe, wenn das -1 bleiben würde käme ich auf die >richtige Lösung Steht das -1 vielleicht mit im Exponent?
Jens schrieb: > Ja. Jede stetig differenzierbare Kurve lässt sich als eindimensionaler > Raum auffassen, genauer, als differenzierbare Mannigfaltigkeit. Hallo, dies ist falsch. Manche "Lissajousche Figuren" gehören zu den Gegenbeispielen. MfG egonotto
Thomas schrieb: > Es ging lediglich darum, Tom zu erklären warum ein Offset auf eine > Funktion keinen Einfluss auf deren Ableitung hat. > Nämlich weil sich die Ableitung nur die Kurvenform anschaut, und ein > Offset die Form der Kurve beibehält. Trotzdem ist das falsch! Wenn man z.B. eine Kurve um einen bestimmten Winkel um den Ursprung dreht, dann ändert sich die "Form" der Kurve dadurch nicht. Die Ableitung dieser gedrehten Kurve ändert sich allerdings schon. Wenn sich die Ableitung nur die Kurvenform anschauen würde, wäre das nicht so. Hängt natürlich auch davon ab, wie man den Begriff "Form" definiert...
egonotto schrieb: > Manche "Lissajousche Figuren" gehören zu den > Gegenbeispielen. Du hast Recht. Wenn sich die Kurve schneidet findest du lokal keine Karte. Habe ich übersehen, danke! Gruß Jens
Tja, habe gesehen reges Interesse ;) Hm, nach mehrmaligen Durchrechnen finde ich nicht den Fehler, vielleicht könnt ja Ihr mir helfen... Ich vermute ich habe nur eine Kleinigkeit übersehen...!? Wer den Tietze Schenk besitzt, Formeln sind auf S.12 und S.13 Im Anhang meine Rechnung...siehe Tabelle 1 und Tabelle 2 ..
Da fragt jemand ob bei ne Konstante bei der Ableitung wegfällt und innerhalb von 1 Stunde wird mit 50 Posts diskutiert. Leute ihr seid hier echt die Krönung der Schöpfung und solche Couchpotaetoes die den ganzen Tag nix anderes zu tun haben und jeder freut sich, dass er mal ne Antwort parat hat und nicht nur Fragen stellt. Ich finds köstlich amüsant und muss natürlich auch mal noch alles Wiederkäuen Ja, deine Annahme von vor 50 Posts (dem allerersten sozusagen), stimmt. Und ich finde die 49 Vorgänger haben das auch fast alle richtig erfasst. Hier werden sie geholfen!
Tom schrieb: > Im Anhang meine Rechnung...siehe Tabelle 1 und Tabelle 2 Hallo Tom, ich hab nicht genau nachgerechnet, aber Deine Berechnung kann schon stimmen. Woher hast Du die "richtige Lösung"? Es könnte sein, dass die "richtige Lösung" nur eine Näherungslösung im "Durchlassbereich" (> 200mV). Dann isr exp(...) >> 1 und daher ist (exp(...)) ungefähr gleich (exp(...)-1) MfG egonotto
Hallo egonotto, habe jetzt die Formel zuerst ausmultipliziert und dann differenziert und siehe da komme auf die richtige Lösung Kann es nicht sein dass die Ableitung von (e^(Ud/(n*UT))) -1 doch (e^(Ud/(n*UT)) -1)* Ud*q/(n*k*T^2) ist...
>Kann es nicht sein dass die Ableitung von (e^(Ud/(n*UT))) -1 doch >(e^(Ud/(n*UT)) -1)* Ud*q/(n*k*T^2) ist... Nein, aber e^(Ud/(n*UT))*(-1)* Ud*q/(n*k*T^2). Du hast im Argument der e-Funktion 1/T also T^(-1). Mit der Kettenregel abgeleitet führt das auf einen Faktor (-1)/T^2 in der Ableitung.
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