Arkustangens auflösen

[Stefan N. (laser)]

Hallo,

ich bin seit längerem am Überlegen, wie ich die unten stehende Gleichung 
nach x auflösen könnte aber komme einfach zu keinem sinnvollen Ergebnis. 
Und die beiden Arkustangens darf man soweit ich weiß nicht einfach 
zusammenfassen, sonst wärs ja kein Problem mehr.
Hat vielleicht jemand eine Ansatz, was ich da machen könnte?

$$\frac{tan^{-1} \left(\frac{10}{x+5} \right)}{tan^{-1} \left(\frac{10}{x} \right)} = c$$

Viele Grüße
Stefan

[Johann L. (gjlayde)]

$$\arctan x + \arctan\frac 1x = \frac\pi2\cdot\sgn x$$

hilft nicht weiter? Und danach weiter mit Additionstheorem(en) für 
arctan.

[Stefan N. (laser)]

Vielen Dank für die Formel, die kannte ich bisher noch nicht.
Aber ich bin mir nicht sicher, ob mich das wirklich weiter gebracht hat. 
Zumindest hänge ich jetzt bei folgendem Term (für x > 0):

$$(c-1) * \frac{\pi}{2} = tan^{-1} \left( \frac{x}{10} + \frac{1}{2} \right) + c * tan^{-1} \left( \frac{x}{10} \right)$$

[Johann L. (gjlayde)]

Stefan N. schrieb:
> Vielen Dank für die Formel, die kannte ich bisher noch nicht.

Steht in meinem Bronstein. Allerdings nur mit Bleistift ;-)

> Aber ich bin mir nicht sicher, ob mich das wirklich weiter gebracht hat.

Gut, im Endeffekt also

$$a\cdot\arctan(x) + \arctan(x+1/2)\;=\;b$$

mit Parametern a und b. Wie das für a ≠ 1 geschlossen nach x lösbar sein 
soll seh ich jetzt nicht.  Numerisch geht ne ad-hoc Fixpunktiteration, 
z.B.

$$x\;\mapsto\;f_{a,b}(x) \;\stackrel\text{def}=\; \tan\left(\textstyle\frac1a\cdot(b - \arctan(x+1/2))\right)$$

Für a = b = 1 liefert das zum Beispiel x ≈ 0.3223137936
für a = 1, b = 2 gibt es x ≈ 1.3354653558,
für a = 2, b = 4.7 gibt es x ≈ 241.9828640529.

Falls b > (a+1)·π/2 >= π/2 gibt es natürlich keine (reelle) Lösung mehr.

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

Johann L. schrieb:

$$\arctan x + \arctan\frac 1x = \frac\pi2\cdot\sgn x$$

gilt aber nur solange

$$x\ne0$$

Just my 2 eurocents
Guido

[J. K. (rooot)]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve%5Barctan%5Bx%5D+%2B+arctan%5Bx+%2B1%2F2%5D+%3D%3D+b%2C+x%5D

so was in der Richtung sollte wohl rauskommen. Viel Spass noch, ohne 
mich ;-)